登录
15. (2025春·雁塔区阶段考)如图所示，在△ABC中，D是AB上的一点，且AD=AC，DE//BC，CD平分∠EDF，求证：AF垂直平分CD。
答案
15. 证明:
∵ DE//BC,
∴ ∠CDE = ∠DCF.
∵ CD 平分∠EDF,
∴ ∠CDF = ∠CDE,
∴ ∠CDF = ∠DCF,
∴ DF = CF,
∴ 点 F 在线段 CD 的垂直平分线上.
∵ AD=AC,
∴ 点 A 在线段 CD 的垂直平分线上,
∴ AF 垂直平分 CD.
∵ DE//BC,
∴ ∠CDE = ∠DCF.
∵ CD 平分∠EDF,
∴ ∠CDF = ∠CDE,
∴ ∠CDF = ∠DCF,
∴ DF = CF,
∴ 点 F 在线段 CD 的垂直平分线上.
∵ AD=AC,
∴ 点 A 在线段 CD 的垂直平分线上,
∴ AF 垂直平分 CD.
16. (2024春·秦都区期中)如图,在$△ ABC$中,$AC⊥ BC$,$AD$平分$∠ BAC$,$DE⊥ AB$于点$E$,求证:直线$AD$是$CE$的垂直平分线.
答案
16. 证明:
∵ DE⊥AB, AC⊥BC,
∴ ∠AED = ∠ACB = 90°. 又
∵ AD 平分 ∠BAC,
∴ ∠DAE = ∠DAC.
∵ AD = AD, 在△AED 和△ACD 中,
$\begin{cases}∠AED=∠ACD,\\∠DAE=∠DAC,\\AD=AD,\end{cases}$
∴ △AED≅△ACD (AAS),
∴ AE=AC, DE=DC,
∴ AD 平分线段 EC, 即直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线.
∵ DE⊥AB, AC⊥BC,
∴ ∠AED = ∠ACB = 90°. 又
∵ AD 平分 ∠BAC,
∴ ∠DAE = ∠DAC.
∵ AD = AD, 在△AED 和△ACD 中,
$\begin{cases}∠AED=∠ACD,\\∠DAE=∠DAC,\\AD=AD,\end{cases}$
∴ △AED≅△ACD (AAS),
∴ AE=AC, DE=DC,
∴ AD 平分线段 EC, 即直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线.
17. (2024秋·防城区期中)【教材呈现】以下是苏科版八年级上册数学教材第35页的部分内容.
如图1,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB.我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.
【性质探究】
(1) 如图1,连接筝形ABCD的对角线AC,BD交于点O,试探究筝形ABCD的性质,并填空:对角线AC,BD的位置关系是:
【知识应用】
秀秀想要做一个“筝形”风筝,她先固定中间的“十字架”,再确定四周.
(2) ①从数学的角度看,秀秀确定“十字架”对角线EG和HF时应满足的条件是
②借助图2以及①中所写条件,说明四边形EHGF是个“筝形”.
【应用拓展】
(3) 在“筝形”风筝EHGF中,已知EG=60 cm,HF=40 cm,求“筝形”风筝EHGF的面积.
如图1,在四边形ABCD中,AD=CD,AB=CB.我们把两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”.
【性质探究】
(1) 如图1,连接筝形ABCD的对角线AC,BD交于点O,试探究筝形ABCD的性质,并填空:对角线AC,BD的位置关系是:
AC⊥BD
;AO与CO的数量关系是:AO=CO
.【知识应用】
秀秀想要做一个“筝形”风筝,她先固定中间的“十字架”,再确定四周.
(2) ①从数学的角度看,秀秀确定“十字架”对角线EG和HF时应满足的条件是
EG垂直平分HF
;②借助图2以及①中所写条件,说明四边形EHGF是个“筝形”.
【应用拓展】
(3) 在“筝形”风筝EHGF中,已知EG=60 cm,HF=40 cm,求“筝形”风筝EHGF的面积.
答案
17. (1) $AC⊥ BD$,$AO=CO$
(2) ①EG 垂直平分 HF; ②证明:
∵ EG 垂直平分 HF,
∴ EH = EF, GH = GF,
∴ 四边形 EHGF 是个“筝形”;
(3)
∵ 四边形 EHGF 是筝形,
∴ EG ⊥ HF,
∴ “筝形”风筝 EHGF 的面积 = △EHF 的面积 + △HGF 的面积 = $\frac{1}{2}HF· EI + \frac{1}{2}HF· IG = \frac{1}{2}HF· (EI+IG) = \frac{1}{2}HF· EG = \frac{1}{2}×40×60=1200(\mathrm{cm}^2)$.
(2) ①EG 垂直平分 HF; ②证明:
∵ EG 垂直平分 HF,
∴ EH = EF, GH = GF,
∴ 四边形 EHGF 是个“筝形”;
(3)
∵ 四边形 EHGF 是筝形,
∴ EG ⊥ HF,
∴ “筝形”风筝 EHGF 的面积 = △EHF 的面积 + △HGF 的面积 = $\frac{1}{2}HF· EI + \frac{1}{2}HF· IG = \frac{1}{2}HF· (EI+IG) = \frac{1}{2}HF· EG = \frac{1}{2}×40×60=1200(\mathrm{cm}^2)$.
