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1 [2025眉山]如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB=6,BC=10.按图中尺规作图痕迹作射线AP交BC于点G,则CG的长为 (
A.4
B.5
C.6
D.8
（第1题）
A
)A.4
B.5
C.6
D.8
（第1题）答案
1. A
解析
【分析】
首先识别尺规作图的结果：图中作图痕迹是作∠BAD的角平分线，因此AG平分∠BAD。接下来结合AD//BC的条件，利用平行线的内错角相等的性质，可得到角的等量关系，进而判定△ABG为等腰三角形，求出BG的长度，最后用BC的长度减去BG的长度即可得到CG的长。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，AG是∠BAD的角平分线，因此$∠ BAG=∠ DAG$。
$\because AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DAG=∠ AGB$。
$\therefore ∠ BAG=∠ AGB$，根据“等角对等边”，可得$AB=BG$。
已知$AB=6$，$\therefore BG=6$。
又$\because BC=10$，$\therefore CG=BC-BG=10-6=4$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的尺规作图；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是正确识别尺规作图的类型，再结合平行线性质和等腰三角形的判定推导边长关系，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
首先识别尺规作图的结果：图中作图痕迹是作∠BAD的角平分线，因此AG平分∠BAD。接下来结合AD//BC的条件，利用平行线的内错角相等的性质，可得到角的等量关系，进而判定△ABG为等腰三角形，求出BG的长度，最后用BC的长度减去BG的长度即可得到CG的长。
【解析】
由尺规作图痕迹可知，AG是∠BAD的角平分线，因此$∠ BAG=∠ DAG$。
$\because AD// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DAG=∠ AGB$。
$\therefore ∠ BAG=∠ AGB$，根据“等角对等边”，可得$AB=BG$。
已知$AB=6$，$\therefore BG=6$。
又$\because BC=10$，$\therefore CG=BC-BG=10-6=4$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的尺规作图；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是正确识别尺规作图的类型，再结合平行线性质和等腰三角形的判定推导边长关系，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2 如图，AC，BD 相交于点O，$∠ A = ∠ D$. 若再补充一个条件，使得$△ BOC$为等腰三角形，则该条件不能是（
A.$OA = OD$
B.$AB = CD$
C.$∠ ABO = ∠ DCO$
D.$∠ ABC = ∠ DCB$
C
）A.$OA = OD$
B.$AB = CD$
C.$∠ ABO = ∠ DCO$
D.$∠ ABC = ∠ DCB$
答案
2. C
解析
【分析】
要使△BOC为等腰三角形，需证OB=OC或∠OBC=∠OCB。已知∠A=∠D，且∠AOB与∠DOC是对顶角、两角相等，我们可通过补充条件判断△AOB与△DOC是否全等，或直接推导∠OBC、∠OCB相等，逐一验证选项即可得出结论。
【解析】
已知∠A=∠D，∠AOB=∠DOC（对顶角相等），逐个分析选项：
选项A：补充OA=OD，可通过ASA证明△AOB≌△DOC，得OB=OC，故△BOC为等腰三角形，不符合题意；
选项B：补充AB=CD，可通过AAS证明△AOB≌△DOC，得OB=OC，故△BOC为等腰三角形，不符合题意；
选项C：补充∠ABO=∠DCO，仅能得到△AOB和△DOC三个角对应相等，无法证明两三角形全等，也推导不出∠OBC=∠OCB或OB=OC，不能判定△BOC为等腰三角形，符合题意；
选项D：补充∠ABC=∠DCB，结合∠A=∠D、BC为公共边，可通过AAS证明△ABC≌△DCB，得∠ACB=∠DBC，即∠OCB=∠OBC，故OB=OC，△BOC为等腰三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；对顶角的性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定展开，需要结合全等三角形的判定方法逐一验证选项，解题时需注意“三个角对应相等”不能作为三角形全等的判定依据，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
要使△BOC为等腰三角形，需证OB=OC或∠OBC=∠OCB。已知∠A=∠D，且∠AOB与∠DOC是对顶角、两角相等，我们可通过补充条件判断△AOB与△DOC是否全等，或直接推导∠OBC、∠OCB相等，逐一验证选项即可得出结论。
【解析】
已知∠A=∠D，∠AOB=∠DOC（对顶角相等），逐个分析选项：
选项A：补充OA=OD，可通过ASA证明△AOB≌△DOC，得OB=OC，故△BOC为等腰三角形，不符合题意；
选项B：补充AB=CD，可通过AAS证明△AOB≌△DOC，得OB=OC，故△BOC为等腰三角形，不符合题意；
选项C：补充∠ABO=∠DCO，仅能得到△AOB和△DOC三个角对应相等，无法证明两三角形全等，也推导不出∠OBC=∠OCB或OB=OC，不能判定△BOC为等腰三角形，符合题意；
选项D：补充∠ABC=∠DCB，结合∠A=∠D、BC为公共边，可通过AAS证明△ABC≌△DCB，得∠ACB=∠DBC，即∠OCB=∠OBC，故OB=OC，△BOC为等腰三角形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；对顶角的性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定展开，需要结合全等三角形的判定方法逐一验证选项，解题时需注意“三个角对应相等”不能作为三角形全等的判定依据，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
3 新情境 生活实际 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东$60°$方向上，轮船沿正东方向前进30海里后到达B处，测得灯塔P位于其北偏东$30°$方向上，此时轮船与灯塔P的距离为
30
海里。答案
3. 30
解析
【分析】
解题时先根据方向角的定义计算△ABP的两个内角∠PAB和∠ABP的度数，再利用三角形内角和定理求出第三个内角∠APB的度数，发现∠PAB和∠APB相等，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得到BP和AB的长度相等，从而求出轮船与灯塔P的距离。
【解析】
解：由方向角的含义可知：
∠PAB = 90° - 60° = 30°，
∠ABP = 90° + 30° = 120°，
在△ABP中，由三角形内角和为180°得：
∠APB = 180° - ∠PAB - ∠ABP = 180° - 30° - 120° = 30°，
∴ ∠PAB = ∠APB，
根据等角对等边，可得BP = AB，
已知AB = 30海里，故BP = 30海里。
【答案】
30
【知识点】
方向角的识别；等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题结合航行实际场景考查方向角的应用和等腰三角形的判定，解题核心是准确根据方向角算出三角形内角度数，利用等角对等边得到边的等量关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题时先根据方向角的定义计算△ABP的两个内角∠PAB和∠ABP的度数，再利用三角形内角和定理求出第三个内角∠APB的度数，发现∠PAB和∠APB相等，最后根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，即可得到BP和AB的长度相等，从而求出轮船与灯塔P的距离。
【解析】
解：由方向角的含义可知：
∠PAB = 90° - 60° = 30°，
∠ABP = 90° + 30° = 120°，
在△ABP中，由三角形内角和为180°得：
∠APB = 180° - ∠PAB - ∠ABP = 180° - 30° - 120° = 30°，
∴ ∠PAB = ∠APB，
根据等角对等边，可得BP = AB，
已知AB = 30海里，故BP = 30海里。
【答案】
30
【知识点】
方向角的识别；等腰三角形的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题结合航行实际场景考查方向角的应用和等腰三角形的判定，解题核心是准确根据方向角算出三角形内角度数，利用等角对等边得到边的等量关系，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
4 [2024重庆B卷]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$。若$BC=2$，则$AD$的长为
2
。答案
4. 2
解析
【分析】
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知顶角∠A的度数算出△ABC两个底角的度数；再根据角平分线的定义得到∠ABD、∠DBC的度数；接下来通过角度计算分别判定△ABD和△BDC为等腰三角形，利用“等角对等边”得到AD=BD、BD=BC，最后通过等量代换即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵$BD$平分$∠ABC$，
∴$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
∴$∠ A=∠ ABD=36°$，
∴$AD=BD$（等角对等边），
在$△ BDC$中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ BDC=∠ C$，
∴$BD=BC$（等角对等边），
∵$BC=2$，
∴$BD=2$，
∴$AD=BD=2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础题型，解题核心是通过角度推导得到等角，进而利用等腰三角形的判定得到相等的线段，多次运用等腰三角形的性质与判定实现线段的等量代换，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合已知顶角∠A的度数算出△ABC两个底角的度数；再根据角平分线的定义得到∠ABD、∠DBC的度数；接下来通过角度计算分别判定△ABD和△BDC为等腰三角形，利用“等角对等边”得到AD=BD、BD=BC，最后通过等量代换即可求出AD的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠A=36°$，
∴$∠ ABC=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$，
∵$BD$平分$∠ABC$，
∴$∠ ABD=∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
∴$∠ A=∠ ABD=36°$，
∴$AD=BD$（等角对等边），
在$△ BDC$中，$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
∴$∠ BDC=∠ C$，
∴$BD=BC$（等角对等边），
∵$BC=2$，
∴$BD=2$，
∴$AD=BD=2$。
【答案】
2
【知识点】
等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础题型，解题核心是通过角度推导得到等角，进而利用等腰三角形的判定得到相等的线段，多次运用等腰三角形的性质与判定实现线段的等量代换，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5 [2025 姑苏区期中]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，点$E$在$AD$上，求证：$△ BEC$是等腰三角形。
答案
5. $\because AB = AC, D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore ∠ BAE = ∠ EAC$. 在
$△ ABE$ 和 $△ ACE$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ ACE$
(SAS),$\therefore BE=CE,\therefore △ BEC$ 是等腰三角形
$△ ABE$ 和 $△ ACE$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ ACE$
(SAS),$\therefore BE=CE,\therefore △ BEC$ 是等腰三角形
解析
【分析】
要证明△BEC是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即证BE=CE。首先观察已知条件：AB=AC说明△ABC是等腰三角形，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出AD是∠BAC的角平分线，得到∠BAE=∠CAE。此时BE和CE分别在△ABE和△ACE中，已知AB=AC，∠BAE=∠CAE，还有公共边AE，可通过SAS判定两个三角形全等，全等三角形对应边相等即可得到BE=CE，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠BAE=∠EAC。
在△ABE和△ACE中：
$\begin{cases}AB=AC, \\∠BAE=∠CAE, \\AE=AE,\end{cases}$
∴△ABE ≌ △ACE（SAS），
∴BE=CE，
∴△BEC是等腰三角形。
【答案】
$\because AB = AC, D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore ∠ BAE = ∠ EAC$. 在$△ ABE$ 和 $△ ACE$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ ACE$(SAS),$\therefore BE=CE,\therefore △ BEC$ 是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础证明题，考查的知识点都是几何部分的核心基础内容，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质得到等角，再通过全等三角形得到等边，进而判定等腰三角形，是常规的几何证明题型。
【难度系数】
0.8
要证明△BEC是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即证BE=CE。首先观察已知条件：AB=AC说明△ABC是等腰三角形，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可推出AD是∠BAC的角平分线，得到∠BAE=∠CAE。此时BE和CE分别在△ABE和△ACE中，已知AB=AC，∠BAE=∠CAE，还有公共边AE，可通过SAS判定两个三角形全等，全等三角形对应边相等即可得到BE=CE，从而完成证明。
【解析】
证明：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，即∠BAE=∠EAC。
在△ABE和△ACE中：
$\begin{cases}AB=AC, \\∠BAE=∠CAE, \\AE=AE,\end{cases}$
∴△ABE ≌ △ACE（SAS），
∴BE=CE，
∴△BEC是等腰三角形。
【答案】
$\because AB = AC, D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore ∠ BAE = ∠ EAC$. 在$△ ABE$ 和 $△ ACE$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ ACE$(SAS),$\therefore BE=CE,\therefore △ BEC$ 是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于等腰三角形相关的基础证明题，考查的知识点都是几何部分的核心基础内容，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质得到等角，再通过全等三角形得到等边，进而判定等腰三角形，是常规的几何证明题型。
【难度系数】
0.8
6 教材P45练习T1变式 如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中的等腰三角形共有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
D
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
6. D 【解析】$\because AB=AC,∠ A=36°,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形,$∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2} × (180°-36°)=72°$. $\because BD$ 是$△ ABC$ 的角平分线, $\therefore ∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$, $\therefore ∠ A=∠ ABD,\therefore AD=BD,\therefore △ ABD$ 是等腰三角形. $\because$ 在$△ BCD$中,$∠ BDC=180°-∠ CBD-∠ C=180°-36°-72°=72°$,$\therefore ∠ BDC=∠ C,\therefore BD=BC,\therefore △ BCD$ 是等腰三角形. 又$\because BE=BC,\therefore BD=BE,\therefore △ BDE$ 是等腰三角形,$∠ BDE=∠ BED=\frac{1}{2} × (180°-36°)=72°$. $\because ∠ BED$ 是$△ AED$ 的外角,$∠ A=36°,\therefore ∠ ADE=∠ BED-∠ A=72°-36°=36°$,$\therefore ∠ A=∠ ADE,\therefore AE=DE,\therefore △ ADE$ 是等腰三角形.综上所述,等腰三角形共有 5 个.
解析
【分析】
要找出图中的等腰三角形，可依据等腰三角形的判定方法（两边相等或两角相等可判定为等腰三角形），结合已知条件逐步推导各角的度数，按固定顺序逐一排查所有三角形，避免遗漏。首先从已知边相等的△ABC入手，再利用角平分线的性质推导角的等量关系，依次判断其余三角形，最后结合BE=BC的条件和三角形外角性质完成剩余三角形的判定。
【解析】
$\because AB=AC,∠ A=36°,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形，
$∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2} × (180°-36°)=72°$。
$\because BD$是$△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
$\therefore ∠ A=∠ ABD,\therefore AD=BD,\therefore △ ABD$ 是等腰三角形。
在$△ BCD$中，$∠ BDC=180°-∠ CBD-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
$\therefore ∠ BDC=∠ C,\therefore BD=BC,\therefore △ BCD$ 是等腰三角形。
又$\because BE=BC,\therefore BD=BE,\therefore △ BDE$ 是等腰三角形，
$∠ BDE=∠ BED=\frac{1}{2} × (180°-36°)=72°$。
$\because ∠ BED$ 是$△ AED$ 的外角，
$\therefore ∠ ADE=∠ BED-∠ A=72°-36°=36°$，
$\therefore ∠ A=∠ ADE,\therefore AE=DE,\therefore △ ADE$ 是等腰三角形。
综上所述，等腰三角形共有5个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，需要结合角度计算和给定的边相等条件逐一验证，解题时按顺序排查三角形可有效避免漏数，熟练掌握“等角对等边”的判定规则是解题的核心。
【难度系数】
0.6
要找出图中的等腰三角形，可依据等腰三角形的判定方法（两边相等或两角相等可判定为等腰三角形），结合已知条件逐步推导各角的度数，按固定顺序逐一排查所有三角形，避免遗漏。首先从已知边相等的△ABC入手，再利用角平分线的性质推导角的等量关系，依次判断其余三角形，最后结合BE=BC的条件和三角形外角性质完成剩余三角形的判定。
【解析】
$\because AB=AC,∠ A=36°,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形，
$∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2} × (180°-36°)=72°$。
$\because BD$是$△ ABC$ 的角平分线，
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$，
$\therefore ∠ A=∠ ABD,\therefore AD=BD,\therefore △ ABD$ 是等腰三角形。
在$△ BCD$中，$∠ BDC=180°-∠ CBD-∠ C=180°-36°-72°=72°$，
$\therefore ∠ BDC=∠ C,\therefore BD=BC,\therefore △ BCD$ 是等腰三角形。
又$\because BE=BC,\therefore BD=BE,\therefore △ BDE$ 是等腰三角形，
$∠ BDE=∠ BED=\frac{1}{2} × (180°-36°)=72°$。
$\because ∠ BED$ 是$△ AED$ 的外角，
$\therefore ∠ ADE=∠ BED-∠ A=72°-36°=36°$，
$\therefore ∠ A=∠ ADE,\therefore AE=DE,\therefore △ ADE$ 是等腰三角形。
综上所述，等腰三角形共有5个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题重点考查等腰三角形的判定，需要结合角度计算和给定的边相等条件逐一验证，解题时按顺序排查三角形可有效避免漏数，熟练掌握“等角对等边”的判定规则是解题的核心。
【难度系数】
0.6
