7 新考向 探究题 [2025吴中区段考]在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,点M,N在格点上.若以MN为边,在方格纸中取一点P(P在格点上),使得△MNP为等腰三角形,则点P的个数为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6
（第7题）

7. C

8 [2024广州]如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$AB = AC = 6$，$D$为边$BC$的中点，点$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$上，$AE = CF$，则四边形$AEDF$的面积为。

8. 9

9 如图,在$△ ABC$中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,$∠ B=∠ ADB$.若$AB=4$,则DC的长为.

9. 4

10 [2025 苏州期末]如图，$△ ABC$ 的角平分线$BO$和$CO$相交于点$O$，$OE// AB$，$OF// AC$，分别交$BC$于点$E$，$F$。若$BC=2a$，则$△ OEF$的周长为________。

10. 2a 【解析】$\because BO$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ OBE=∠ OBA$.
$\because OE// AB,\therefore ∠ EOB=∠ OBA,\therefore ∠ OBE=∠ EOB,\therefore BE=OE$.同理,可得$OF=FC,\therefore △ OEF$ 的周长$=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=2a$.

11 [2024苏州工业园区段考]如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$于点$D$，$BE$平分$∠ ABC$交$AC$于点$E$，$AD$，$BE$相交于点$F$，$G$为$EF$的中点，求证：$AG⊥ EF$。

11. $\because BE$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABE=∠ CBE. \because ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ AEF=90°-∠ ABE. \because AD⊥ BC,\therefore ∠ AFE=∠ DFB=90°-∠ CBE,\therefore ∠ AFE=∠ AEF,\therefore △ AFE$ 为等腰三角形. 又$\because G$ 为$EF$ 的中点,$\therefore AG⊥ EF$

12 如图,在锐角三角形ABC中,E是AB边上一点,BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G.求证:
(1) ∠BEC=2∠AGE；
(2) 一题多解 △AEG是等腰三角形.

12. (1) 如图,过点 $E$ 作 $EF⊥ BC$ 于点 $F$. $\because BE=CE,EF⊥ BC,\therefore ∠ CEF=∠ BEF=\frac{1}{2}∠ BEC. \because EF⊥ BC,AD⊥ BC$,$\therefore EF// AD,\therefore ∠ CEF=∠ AGE,\therefore ∠ AGE=\frac{1}{2}∠ BEC$,即$∠ BEC=2∠ AGE$
(2) 解法一:由(1),得$∠ CEF=∠ BEF,EF// AD,\therefore ∠ BEF=∠ BAD,∠ CEF=∠ AGE,\therefore ∠ AGE=∠ BAD,\therefore EA=EG$,$\therefore △ AEG$ 是等腰三角形
解法二:$\because ∠ BEC$ 是$△ AEG$ 的外角,$\therefore ∠ BEC=∠ EAG+∠ AGE$. 由(1),得$∠ BEC=2∠ AGE$. $\therefore ∠ EAG+∠ AGE=2∠ AGE$,即$∠ EAG=∠ AGE,\therefore EA=EG,\therefore △ AEG$ 是等腰三角形