7 新考向 探究题 [2025吴中区段考]在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,点M,N在格点上.若以MN为边,在方格纸中取一点P(P在格点上),使得△MNP为等腰三角形,则点P的个数为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6
（第7题）

7. C

【分析】要使△MNP为等腰三角形且MN为边，需分两种情况讨论：①MN为等腰三角形的腰，此时分别以M、N为圆心，MN的长度为半径画弧，弧经过的、在方格纸内的格点（排除M、N本身）即为符合要求的P点；②MN为等腰三角形的底，此时P点在MN的垂直平分线上，找出垂直平分线上在方格纸内的格点即可，最后统计所有符合条件的P点总数。
【解析】首先由勾股定理计算MN的长度：已知每个小正方形边长为1，M、N的水平距离为1，竖直距离为3，故$MN=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
1. 当MN为腰时：
以M为圆心，$\sqrt{10}$为半径画弧，方格纸内弧经过的格点除N外共有2个，均符合要求；
以N为圆心，$\sqrt{10}$为半径画弧，方格纸内弧经过的格点除M外共有1个符合要求，其余点超出方格纸范围。
2. 当MN为底时：
作MN的垂直平分线，在方格纸内共找到2个在垂直平分线上的格点，两点到M、N的距离相等，符合要求。
综上，符合条件的点P共有$2+1+2=5$个。
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质
【点评】本题解题关键是根据等腰三角形的特点分类讨论，避免漏解，同时要结合方格纸的范围筛选符合要求的格点。
【难度系数】0.65

8 [2024广州]如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 90°$，$AB = AC = 6$，$D$为边$BC$的中点，点$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$上，$AE = CF$，则四边形$AEDF$的面积为。

8. 9

【分析】
解题时先观察图形特征：△ABC是等腰直角三角形，D为斜边BC中点，首先考虑连接辅助线AD，利用等腰直角三角形斜边中线的性质，可得到相等的边和角，再结合已知条件AE=CF，证明△AED和△CFD全等，将四边形面积转化为△ADC的面积，最后通过计算三角形面积得到结果。
【解析】
连接AD，
∵ 在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为BC中点，
∴ AD=CD，∠EAD=∠C=45°，
又
∵ AE=CF，
∴ △AED ≌ △CFD（SAS），
∴ $S_{△ AED} = S_{△ CFD}$，
∴ $S_{四边形AEDF} = S_{△ AED} + S_{△ ADF} = S_{△ CFD} + S_{△ ADF} = S_{△ ADC}$，
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × AC = \frac{1}{2} × 6 × 6 = 18$，
D为BC中点，
∴ $S_{△ ADC} = \frac{1}{2} S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 18 = 9$，
即四边形AEDF的面积为9。
【答案】
9
【知识点】
等腰直角三角形性质；全等三角形判定与性质；面积计算
【点评】
本题是典型的几何面积转化题型，解题核心是通过连接等腰直角三角形斜边中线构造全等三角形，将不规则四边形的面积转化为易求的三角形面积，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定是解题的关键。
【难度系数】
0.7

9 如图,在$△ ABC$中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,$∠ B=∠ ADB$.若$AB=4$,则DC的长为.

9. 4

【分析】
解题时先从已知条件“AC的垂直平分线交BC于D”入手，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD=DC，因此求DC的长可转化为求AD的长。再结合条件∠B=∠ADB，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，可推出AB=AD，结合已知AB的长度即可通过等量代换得到DC的长。
【解析】
∵DE是AC的垂直平分线，点D在DE上
∴AD=DC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
在△ABD中，
∵∠B=∠ADB
∴AB=AD（等角对等边）
∵AB=4
∴AD=4
又
∵AD=DC
∴DC=4
【答案】
4
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定定理，通过两次线段等量代换即可求得结果。
【难度系数】
0.8

10 [2025 苏州期末]如图，$△ ABC$ 的角平分线$BO$和$CO$相交于点$O$，$OE// AB$，$OF// AC$，分别交$BC$于点$E$，$F$。若$BC=2a$，则$△ OEF$的周长为________。

10. 2a 【解析】$\because BO$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ OBE=∠ OBA$.
$\because OE// AB,\therefore ∠ EOB=∠ OBA,\therefore ∠ OBE=∠ EOB,\therefore BE=OE$.同理,可得$OF=FC,\therefore △ OEF$ 的周长$=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=2a$.

【分析】
解题时先梳理已知条件：①BO、CO分别是△ABC的角平分线，可得两组相等的角；②OE//AB、OF//AC，可利用平行线的内错角相等得到角的等量关系。将两组角的关系结合，可推出△OBE和△OCF都是等腰三角形，得到OE=BE、OF=FC，再把△OEF的周长的三条边等量替换为BC上的线段之和，即可求出结果。
【解析】
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠OBE=∠OBA。
∵ OE//AB，
∴ ∠EOB=∠OBA，
∴ ∠OBE=∠EOB，
∴ BE=OE。
同理可得，∠OCF=∠COF，
∴ OF=FC。
∴ △OEF的周长 = OE + EF + OF = BE + EF + FC = BC。
又
∵ BC=2a，
∴ △OEF的周长为2a。
【答案】
2a
【知识点】
角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，解题的核心是通过角平分线和平行线的组合特征推导出等腰三角形，将未知三角形的周长转化为已知线段的长度，该类模型是几何中非常常见的基础模型。
【难度系数】
0.8

11 [2024苏州工业园区段考]如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AD⊥ BC$于点$D$，$BE$平分$∠ ABC$交$AC$于点$E$，$AD$，$BE$相交于点$F$，$G$为$EF$的中点，求证：$AG⊥ EF$。

11. $\because BE$ 平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABE=∠ CBE. \because ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ AEF=90°-∠ ABE. \because AD⊥ BC,\therefore ∠ AFE=∠ DFB=90°-∠ CBE,\therefore ∠ AFE=∠ AEF,\therefore △ AFE$ 为等腰三角形. 又$\because G$ 为$EF$ 的中点,$\therefore AG⊥ EF$

【分析】
要证明AG⊥EF，已知G是EF的中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需先证明△AEF是等腰三角形，即证∠AEF=∠AFE。首先利用角平分线的定义得到∠ABE=∠CBE，再结合直角三角形两锐角互余的性质，分别用∠ABE和∠CBE表示出∠AEF和∠AFE，通过等量代换即可推出两角相等，得到等腰△AEF，最后利用等腰三角形三线合一的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠CBE。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠AEF=90°-∠ABE。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠AFE=∠DFB=90°-∠CBE，
∴ ∠AFE=∠AEF，
∴ △AFE为等腰三角形。
又
∵ G为EF的中点，
∴ AG⊥EF。
【答案】
AG⊥EF
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的核心是通过角的等量代换证明三角形为等腰三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质证明垂直，能够很好地考查学生对基础几何定理的掌握和综合运用能力。
【难度系数】
0.7

12 如图,在锐角三角形ABC中,E是AB边上一点,BE=CE,AD⊥BC于点D,AD与EC交于点G.求证:
(1) ∠BEC=2∠AGE；
(2) 一题多解 △AEG是等腰三角形.

12. (1) 如图,过点 $E$ 作 $EF⊥ BC$ 于点 $F$. $\because BE=CE,EF⊥ BC,\therefore ∠ CEF=∠ BEF=\frac{1}{2}∠ BEC. \because EF⊥ BC,AD⊥ BC$,$\therefore EF// AD,\therefore ∠ CEF=∠ AGE,\therefore ∠ AGE=\frac{1}{2}∠ BEC$,即$∠ BEC=2∠ AGE$
(2) 解法一:由(1),得$∠ CEF=∠ BEF,EF// AD,\therefore ∠ BEF=∠ BAD,∠ CEF=∠ AGE,\therefore ∠ AGE=∠ BAD,\therefore EA=EG$,$\therefore △ AEG$ 是等腰三角形
解法二:$\because ∠ BEC$ 是$△ AEG$ 的外角,$\therefore ∠ BEC=∠ EAG+∠ AGE$. 由(1),得$∠ BEC=2∠ AGE$. $\therefore ∠ EAG+∠ AGE=2∠ AGE$,即$∠ EAG=∠ AGE,\therefore EA=EG,\therefore △ AEG$ 是等腰三角形

【分析】
(1) 要证∠BEC=2∠AGE，先结合已知BE=CE，可知△BEC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，作EF⊥BC可将∠BEC平分为两个相等的角，得到∠BEC=2∠CEF；再由EF、AD都垂直于BC，可判定EF//AD，利用平行线的性质即可得到∠CEF=∠AGE，代入角的数量关系即可得证。
(2) 要证△AEG是等腰三角形，只需证明三角形有两个内角相等即可：方法一可利用(1)中平行线的性质，得到∠BEF=∠BAD，结合∠BEF=∠CEF=∠AGE，可推出∠BAD=∠AGE，即可得EA=EG；方法二利用三角形外角的性质，∠BEC是△AEG的外角，等于∠EAG+∠AGE，结合(1)的结论∠BEC=2∠AGE，即可推出∠EAG=∠AGE，得证等腰三角形。
【解析】
(1) 过点E作EF⊥BC于点F。
∵ BE=CE，EF⊥BC，
∴ ∠CEF=∠BEF=$\frac{1}{2}$∠BEC。
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，
∴ EF//AD，
∴ ∠CEF=∠AGE，
∴ ∠AGE=$\frac{1}{2}$∠BEC，即∠BEC=2∠AGE。
(2) 解法一：
由(1)得∠CEF=∠BEF，EF//AD，
∴ ∠BEF=∠BAD，∠CEF=∠AGE，
∴ ∠AGE=∠BAD，
∴ EA=EG，
∴ △AEG是等腰三角形。
解法二：
∵ ∠BEC是△AEG的外角，
∴ ∠BEC=∠EAG+∠AGE。
由(1)得∠BEC=2∠AGE，
∴ ∠EAG+∠AGE=2∠AGE，即∠EAG=∠AGE，
∴ EA=EG，
∴ △AEG是等腰三角形。
【答案】
12. (1) 如图,过点 $E$ 作 $EF⊥ BC$ 于点 $F$. $\because BE=CE,EF⊥ BC,\therefore ∠ CEF=∠ BEF=\frac{1}{2}∠ BEC. \because EF⊥ BC,AD⊥ BC$,$\therefore EF// AD,\therefore ∠ CEF=∠ AGE,\therefore ∠ AGE=\frac{1}{2}∠ BEC$,即$∠ BEC=2∠ AGE$
(2) 解法一:由(1),得$∠ CEF=∠ BEF,EF// AD,\therefore ∠ BEF=∠ BAD,∠ CEF=∠ AGE,\therefore ∠ AGE=∠ BAD,\therefore EA=EG$,$\therefore △ AEG$ 是等腰三角形
解法二:$\because ∠ BEC$ 是$△ AEG$ 的外角,$\therefore ∠ BEC=∠ EAG+∠ AGE$. 由(1),得$∠ BEC=2∠ AGE$. $\therefore ∠ EAG+∠ AGE=2∠ AGE$,即$∠ EAG=∠ AGE,\therefore EA=EG,\therefore △ AEG$ 是等腰三角形

【知识点】
等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、平行线、三角形外角的相关知识，构造等腰三角形三线合一的辅助线是解题的突破口，第二问提供两种解题思路，能够锻炼多角度思考问题的能力。
【难度系数】
0.7