1 [2025眉山]如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB=6,BC=10.按图中尺规作图痕迹作射线AP交BC于点G,则CG的长为 ()

A.4
B.5
C.6
D.8
（第1题）

1. A

2 如图，AC，BD 相交于点O，$∠ A = ∠ D$. 若再补充一个条件，使得$△ BOC$为等腰三角形，则该条件不能是（）

A.$OA = OD$
B.$AB = CD$
C.$∠ ABO = ∠ DCO$
D.$∠ ABC = ∠ DCB$

2. C

3 新情境 生活实际 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东$60°$方向上，轮船沿正东方向前进30海里后到达B处，测得灯塔P位于其北偏东$30°$方向上，此时轮船与灯塔P的距离为海里。

3. 30

4 [2024重庆B卷]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$。若$BC=2$，则$AD$的长为。

4. 2

5 [2025 姑苏区期中]如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，点$E$在$AD$上，求证：$△ BEC$是等腰三角形。

5. $\because AB = AC, D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore ∠ BAE = ∠ EAC$. 在
$△ ABE$ 和 $△ ACE$ 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$ $\therefore △ ABE ≌ △ ACE$
(SAS),$\therefore BE=CE,\therefore △ BEC$ 是等腰三角形

6 教材P45练习T1变式 如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中的等腰三角形共有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

6. D 【解析】$\because AB=AC,∠ A=36°,\therefore △ ABC$ 是等腰三角形,$∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2} × (180°-36°)=72°$. $\because BD$ 是$△ ABC$ 的角平分线, $\therefore ∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=36°$, $\therefore ∠ A=∠ ABD,\therefore AD=BD,\therefore △ ABD$ 是等腰三角形. $\because$ 在$△ BCD$中,$∠ BDC=180°-∠ CBD-∠ C=180°-36°-72°=72°$,$\therefore ∠ BDC=∠ C,\therefore BD=BC,\therefore △ BCD$ 是等腰三角形. 又$\because BE=BC,\therefore BD=BE,\therefore △ BDE$ 是等腰三角形,$∠ BDE=∠ BED=\frac{1}{2} × (180°-36°)=72°$. $\because ∠ BED$ 是$△ AED$ 的外角,$∠ A=36°,\therefore ∠ ADE=∠ BED-∠ A=72°-36°=36°$,$\therefore ∠ A=∠ ADE,\therefore AE=DE,\therefore △ ADE$ 是等腰三角形.综上所述,等腰三角形共有 5 个.