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8 [2025 昆山段考]如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，则下列结论不一定正确的是（
A.$BD=CD$
B.$∠ BAC=∠ ABC$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
B
）A.$BD=CD$
B.$∠ BAC=∠ ABC$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
答案
8. B
解析
【分析】
本题可根据等腰三角形的性质逐一分析选项：首先明确等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合（三线合一），再结合三角形面积公式判断各结论是否成立，选出不一定正确的选项即可。
【解析】
已知在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高：
1. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD既是BC边上的中线，也是∠BAC的角平分线，因此可得BD=CD，AD平分∠BAC，故A、C选项结论正确；
2. △ABD和△ACD的底BD=CD，高均为AD，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，故D选项结论正确；
3. ∠BAC是等腰△ABC的顶角，∠ABC是底角，仅当△ABC为等边三角形时才有∠BAC=∠ABC，普通等腰三角形中顶角与底角不一定相等，故B选项结论不一定正确。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题时需注意区分等腰三角形和等边三角形的性质差异，不要混淆顶角和底角的数量关系。
【难度系数】
0.8
本题可根据等腰三角形的性质逐一分析选项：首先明确等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合（三线合一），再结合三角形面积公式判断各结论是否成立，选出不一定正确的选项即可。
【解析】
已知在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高：
1. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD既是BC边上的中线，也是∠BAC的角平分线，因此可得BD=CD，AD平分∠BAC，故A、C选项结论正确；
2. △ABD和△ACD的底BD=CD，高均为AD，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，故D选项结论正确；
3. ∠BAC是等腰△ABC的顶角，∠ABC是底角，仅当△ABC为等边三角形时才有∠BAC=∠ABC，普通等腰三角形中顶角与底角不一定相等，故B选项结论不一定正确。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题时需注意区分等腰三角形和等边三角形的性质差异，不要混淆顶角和底角的数量关系。
【难度系数】
0.8
9 新考向 新定义题 [2025苏州期末]若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，则我们把这样的等腰三角形叫作“k倍边等腰三角形”。如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18 cm，那么该等腰三角形的底边长为 （
A.12 cm
B.12 cm或2 cm
C.2 cm
D.4 cm或12 cm
C
）A.12 cm
B.12 cm或2 cm
C.2 cm
D.4 cm或12 cm
答案
9. C
解析
【分析】
本题是结合新定义的等腰三角形计算问题，解题思路如下：首先明确“4倍边等腰三角形”意味着等腰三角形的两条边存在4倍的数量关系，结合等腰三角形两腰相等的特点，需要分两类讨论：①腰长是底边长的4倍；②底边长是腰长的4倍。再根据周长为18cm分别列方程计算边长，最后用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况是否成立，排除不符合的情况即可得到底边长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：设等腰三角形的底边长为x cm，腰长为底边长的4倍，即腰长为4x cm。
根据周长为18cm列方程：
$x + 4x + 4x = 18$
解得$x=2$
此时三边长为2cm、8cm、8cm，满足$2+8＞8$，符合三角形三边关系，底边长为2cm。
情况2：设等腰三角形的腰长为y cm，底边长为腰长的4倍，即底边长为4y cm。
根据周长为18cm列方程：
$y + y + 4y = 18$
解得$y=3$
此时三边长为3cm、3cm、12cm，因为$3+3=6＜12$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的底边长为2cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查等腰三角形的边长计算，解题时需注意分类讨论思想的应用，求出边长后一定要验证是否符合三角形三边关系，避免忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.6
本题是结合新定义的等腰三角形计算问题，解题思路如下：首先明确“4倍边等腰三角形”意味着等腰三角形的两条边存在4倍的数量关系，结合等腰三角形两腰相等的特点，需要分两类讨论：①腰长是底边长的4倍；②底边长是腰长的4倍。再根据周长为18cm分别列方程计算边长，最后用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证两种情况是否成立，排除不符合的情况即可得到底边长。
【解析】
解：分两种情况讨论：
情况1：设等腰三角形的底边长为x cm，腰长为底边长的4倍，即腰长为4x cm。
根据周长为18cm列方程：
$x + 4x + 4x = 18$
解得$x=2$
此时三边长为2cm、8cm、8cm，满足$2+8＞8$，符合三角形三边关系，底边长为2cm。
情况2：设等腰三角形的腰长为y cm，底边长为腰长的4倍，即底边长为4y cm。
根据周长为18cm列方程：
$y + y + 4y = 18$
解得$y=3$
此时三边长为3cm、3cm、12cm，因为$3+3=6＜12$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，该等腰三角形的底边长为2cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质，三角形三边关系，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查等腰三角形的边长计算，解题时需注意分类讨论思想的应用，求出边长后一定要验证是否符合三角形三边关系，避免忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.6
10 [2025 吴中区期中]如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$在$AB$上，$AC=AE$，$BC=BD$.若$∠ DCE=20°$，则$∠ ACB$的度数为________.
答案
10. $140°$
解析
【分析】
首先观察题中给出的等腰三角形条件：AC=AE、BC=BD，可直接利用等腰三角形“等边对等角”的性质，得到两组等角：∠ACE=∠AEC、∠BCD=∠BDC。再结合△CDE的内角和为180°，先求出∠BDC与∠AEC的和，进而得到∠BCD与∠ACE的和。最后分析角的组成关系：∠BCD+∠ACE恰好等于∠ACB与已知∠DCE的和，通过等量代换即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ AC=AE，
∴ △ACE为等腰三角形，∠ACE=∠AEC（等腰三角形两底角相等）。
∵ BC=BD，
∴ △BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC（等腰三角形两底角相等）。
在△CDE中，∠DCE=20°，根据三角形内角和定理：
∠BDC + ∠AEC = 180° - ∠DCE = 180° - 20° = 160°，
∴ ∠BCD + ∠ACE = 160°。
又
∵ ∠BCD + ∠ACE = (∠BCE + ∠DCE) + (∠ACD + ∠DCE) = ∠ACD + ∠DCE + ∠BCE + ∠DCE = ∠ACB + ∠DCE，
代入∠DCE=20°，∠BCD+∠ACE=160°得：
160° = ∠ACB + 20°，
解得 ∠ACB = 160° - 20° = 140°。
【答案】
140°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题的核心是利用等腰三角形的性质实现等角转化，再通过拆分角、找角的和差关系建立已知角和未知角的联系，计算过程中要注意避免漏算重叠的∠DCE。
【难度系数】
0.6
首先观察题中给出的等腰三角形条件：AC=AE、BC=BD，可直接利用等腰三角形“等边对等角”的性质，得到两组等角：∠ACE=∠AEC、∠BCD=∠BDC。再结合△CDE的内角和为180°，先求出∠BDC与∠AEC的和，进而得到∠BCD与∠ACE的和。最后分析角的组成关系：∠BCD+∠ACE恰好等于∠ACB与已知∠DCE的和，通过等量代换即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ AC=AE，
∴ △ACE为等腰三角形，∠ACE=∠AEC（等腰三角形两底角相等）。
∵ BC=BD，
∴ △BCD为等腰三角形，∠BCD=∠BDC（等腰三角形两底角相等）。
在△CDE中，∠DCE=20°，根据三角形内角和定理：
∠BDC + ∠AEC = 180° - ∠DCE = 180° - 20° = 160°，
∴ ∠BCD + ∠ACE = 160°。
又
∵ ∠BCD + ∠ACE = (∠BCE + ∠DCE) + (∠ACD + ∠DCE) = ∠ACD + ∠DCE + ∠BCE + ∠DCE = ∠ACB + ∠DCE，
代入∠DCE=20°，∠BCD+∠ACE=160°得：
160° = ∠ACB + 20°，
解得 ∠ACB = 160° - 20° = 140°。
【答案】
140°
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，解题的核心是利用等腰三角形的性质实现等角转化，再通过拆分角、找角的和差关系建立已知角和未知角的联系，计算过程中要注意避免漏算重叠的∠DCE。
【难度系数】
0.6
11（易错题）[2025哈尔滨]在$△ ABC$中，$∠ A=80°$，点D在射线AB上，$AD=AC$，连接CD，$∠ BCD=10°$，则$∠ ABC$的度数为
40°或60°
。答案
11. $40°或60°$
易错分析：解答本题时,需要分“点D在线段AB上”和“点D在线段AB的延长线上”两种情况讨论.
易错分析：解答本题时,需要分“点D在线段AB上”和“点D在线段AB的延长线上”两种情况讨论.
解析
【分析】
本题已知点D在射线AB上，射线包含线段AB和AB的延长线两部分，因此需分两种情况讨论求解。解题时先根据AD=AC得出△ACD是等腰三角形，结合∠A=80°可求出等腰△ACD的底角度数，再结合∠BCD=10°求出∠ACB的度数，最后利用三角形内角和定理计算∠ABC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
∵ $AD=AC$，$∠ A=80°$
∴ $∠ ACD=∠ ADC=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$
∵ $∠ BCD=10°$
∴ $∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=50°+10°=60°$
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-60°=40°$
② 当点D在线段AB的延长线上时：
∵ $AD=AC$，$∠ A=80°$
∴ $∠ ACD=∠ ADC=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$
∵ $∠ BCD=10°$
∴ $∠ ACB=∠ ACD-∠ BCD=50°-10°=40°$
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-40°=60°$
综上，$∠ ABC$的度数为$40°$或$60°$。
【答案】
$40°$或$60°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略射线包含两种位置情况导致漏解。解题的关键是先明确点D的所有可能位置，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理逐步计算即可。
【难度系数】
0.6
本题已知点D在射线AB上，射线包含线段AB和AB的延长线两部分，因此需分两种情况讨论求解。解题时先根据AD=AC得出△ACD是等腰三角形，结合∠A=80°可求出等腰△ACD的底角度数，再结合∠BCD=10°求出∠ACB的度数，最后利用三角形内角和定理计算∠ABC的度数即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当点D在线段AB上时：
∵ $AD=AC$，$∠ A=80°$
∴ $∠ ACD=∠ ADC=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$
∵ $∠ BCD=10°$
∴ $∠ ACB=∠ ACD+∠ BCD=50°+10°=60°$
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-60°=40°$
② 当点D在线段AB的延长线上时：
∵ $AD=AC$，$∠ A=80°$
∴ $∠ ACD=∠ ADC=(180°-∠ A)÷2=(180°-80°)÷2=50°$
∵ $∠ BCD=10°$
∴ $∠ ACB=∠ ACD-∠ BCD=50°-10°=40°$
在$△ ABC$中，$∠ ABC=180°-∠ A-∠ ACB=180°-80°-40°=60°$
综上，$∠ ABC$的度数为$40°$或$60°$。
【答案】
$40°$或$60°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略射线包含两种位置情况导致漏解。解题的关键是先明确点D的所有可能位置，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理逐步计算即可。
【难度系数】
0.6
12 [2025河北]如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,∠ACB=∠ADB,点F在ED上,∠BAF=∠EAD.
（1）求证：$△ ABC ≌ △ AFD$；
（2）若$BE=FE$,求证：$AC ⊥ BD$.
（1）求证：$△ ABC ≌ △ AFD$；
（2）若$BE=FE$,求证：$AC ⊥ BD$.
答案
12. (1) $\because ∠BAF=∠EAD,\therefore ∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF,\therefore ∠BAC = ∠FAD.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ AFD$ 中，$\begin{cases} ∠BAC=∠FAD, \\ AC=AD, \ \ \ \ \ \therefore △ ABC≌△ AFD(\mathrm{ASA}) \\ ∠ACB=∠ADF, \end{cases}$
(2) 由(1),得$△ ABC≌△ AFD,\therefore AB=AF. \because BE=FE,\therefore AC⊥ BD$
(2) 由(1),得$△ ABC≌△ AFD,\therefore AB=AF. \because BE=FE,\therefore AC⊥ BD$
解析
【分析】
（1）要证明△ABC≌△AFD，已知AC=AD、∠ACB=∠ADB，已有一组边相等和一组角相等，只需再推导一组对应角相等即可。结合已知∠BAF=∠EAD，通过角的和差运算可得到∠BAC=∠FAD，满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明AC⊥BD，先由（1）的全等结论得到AB=AF，可知△ABF是等腰三角形，已知BE=FE，说明AE是等腰△ABF底边BF上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE垂直于BD，即AC⊥BD。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠BAF=∠EAD$，
$\therefore ∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF$，即$∠BAC = ∠FAD$。
在$△ ABC$ 和 $△ AFD$ 中：
$\begin{cases} ∠BAC=∠FAD, \\AC=AD, \\∠ACB=∠ADF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AFD(\mathrm{ASA})$。
（2）证明：
由（1）得$△ ABC≌△ AFD$，$\therefore AB=AF$。
$\because BE=FE$，即AE为等腰$△ ABF$底边BF的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，$AE ⊥ BF$，
$\because$点E在AC上，
$\therefore AC ⊥ BD$。
【答案】
（1）$△ ABC≌△ AFD$，证明见解析；
（2）$AC⊥BD$，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的ASA判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于三角形章节的基础综合证明题，解题的关键是通过角的和差关系推导全等所需的对应角，再结合全等性质和等腰三角形的性质完成结论推导，能有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABC≌△AFD，已知AC=AD、∠ACB=∠ADB，已有一组边相等和一组角相等，只需再推导一组对应角相等即可。结合已知∠BAF=∠EAD，通过角的和差运算可得到∠BAC=∠FAD，满足ASA全等判定的条件，即可完成证明。
（2）要证明AC⊥BD，先由（1）的全等结论得到AB=AF，可知△ABF是等腰三角形，已知BE=FE，说明AE是等腰△ABF底边BF上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE垂直于BD，即AC⊥BD。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠BAF=∠EAD$，
$\therefore ∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF$，即$∠BAC = ∠FAD$。
在$△ ABC$ 和 $△ AFD$ 中：
$\begin{cases} ∠BAC=∠FAD, \\AC=AD, \\∠ACB=∠ADF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ AFD(\mathrm{ASA})$。
（2）证明：
由（1）得$△ ABC≌△ AFD$，$\therefore AB=AF$。
$\because BE=FE$，即AE为等腰$△ ABF$底边BF的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，$AE ⊥ BF$，
$\because$点E在AC上，
$\therefore AC ⊥ BD$。
【答案】
（1）$△ ABC≌△ AFD$，证明见解析；
（2）$AC⊥BD$，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的ASA判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于三角形章节的基础综合证明题，解题的关键是通过角的和差关系推导全等所需的对应角，再结合全等性质和等腰三角形的性质完成结论推导，能有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13 如图，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE.求证：DE=FB.
答案
13. $\because △ ACD,△ BCE$ 分别是以AC,BC 为底边的等腰三角形，$\therefore AD=CD,CE=EB,\therefore ∠A=∠DCA. \because ∠A=∠CBE,\therefore ∠CBE=∠DCA,\therefore CD// BE,\therefore ∠DCE=∠FEB. \because EF=AD,\therefore CD=EF.$ 在 $△ DCE$ 和 $△ FEB$ 中，$\begin{cases} CD=EF, \\ ∠DCE=∠FEB, \\ CE=EB, \end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ FEB(\mathrm{SAS}),\therefore DE=FB$
$\therefore △ DCE≌△ FEB(\mathrm{SAS}),\therefore DE=FB$
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合已知的两个等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角、两腰相等”的性质，得到边和角的等量关系；再通过角的等量关系证明CD与BE平行，得到全等需要的一组对应角相等；结合已知EF=AD，等量代换得到全等需要的一组对应边相等，最后利用SAS判定两个三角形全等，即可推出对应边DE=FB。
【解析】
证明：
$\because △ACD,△BCE$分别是以AC,BC为底边的等腰三角形，
$\therefore AD=CD,CE=EB,∠A=∠DCA$，
$\because ∠A=∠CBE$，
$\therefore ∠CBE=∠DCA$，
$\therefore CD// BE$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠DCE=∠FEB$（两直线平行，内错角相等），
$\because EF=AD,AD=CD$，
$\therefore CD=EF$，
在$△DCE$和$△FEB$中，
$\begin{cases} CD=EF \\ ∠DCE=∠FEB \\ CE=EB \end{cases}$
$\therefore △DCE≌△FEB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=FB$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DE=FB$
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合证明题，解题核心是明确“证线段相等优先考虑三角形全等”的思路，从已知条件逐步推导得到全等所需的边、角相等条件，能够帮助学生巩固等腰三角形、平行线、全等三角形的相关性质与判定方法。
【难度系数】
0.75
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合已知的两个等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角、两腰相等”的性质，得到边和角的等量关系；再通过角的等量关系证明CD与BE平行，得到全等需要的一组对应角相等；结合已知EF=AD，等量代换得到全等需要的一组对应边相等，最后利用SAS判定两个三角形全等，即可推出对应边DE=FB。
【解析】
证明：
$\because △ACD,△BCE$分别是以AC,BC为底边的等腰三角形，
$\therefore AD=CD,CE=EB,∠A=∠DCA$，
$\because ∠A=∠CBE$，
$\therefore ∠CBE=∠DCA$，
$\therefore CD// BE$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠DCE=∠FEB$（两直线平行，内错角相等），
$\because EF=AD,AD=CD$，
$\therefore CD=EF$，
在$△DCE$和$△FEB$中，
$\begin{cases} CD=EF \\ ∠DCE=∠FEB \\ CE=EB \end{cases}$
$\therefore △DCE≌△FEB(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=FB$（全等三角形对应边相等）。
【答案】
$DE=FB$
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合证明题，解题核心是明确“证线段相等优先考虑三角形全等”的思路，从已知条件逐步推导得到全等所需的边、角相等条件，能够帮助学生巩固等腰三角形、平行线、全等三角形的相关性质与判定方法。
【难度系数】
0.75
