1. 下列四组线段是成比例线段的是 （）

A.1 dm,2 cm,3 cm,4 cm
B.2 cm,3 cm,4 cm,6 cm
C.5 cm,6 cm,7 cm,8 cm
D.7 cm,8 cm,9 cm,10 cm

1.B

2.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，且$m≠0$，则下列比例式中成立的是（）

A.$\frac{a}{b+m}=\frac{c}{d+m}$
B.$\frac{a-m}{b}=\frac{c-m}{d}$
C.$\frac{a+m}{b+m}=\frac{c+m}{d+m}$
D.$\frac{a+bm}{b}=\frac{c+dm}{d}$

2.D

3.如图,有甲、乙、丙三个矩形,其中相似的是()


A.甲与丙
B.甲与乙
C.乙与丙
D.三个矩形都不相似

3.A

4. 母题 教材$P_{102}$复习题$T_{18}$ 如图，已知$△ ABC$，$△ DCE$，$△ FEG$是三个全等的等腰三角形，底边$BC$，$CE$，$EG$在同一直线上，且$AB=3$，$BC=\sqrt{3}$，连接$BF$，分别交$AC$，$DC$，$DE$于点$P$，$Q$，$R$。有下列结论：①$△ BFG∽ △ ABC$；②$BQ=FQ$；③$AP=2PC$；④$FE$平分$∠ BFG$。其中正确的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（第4题）

4.C 【点拨】$\because △ ABC,△ DCE,△ FEG$ 是三个全等的等腰三角形,$\therefore BC=CE=EG=\sqrt{3},FG=AC=AB=3.$
$\therefore BG=3\sqrt{3}.\therefore \frac{BG}{FG}=\sqrt{3}=\frac{FG}{EG}.$ 又 $\because ∠ G=∠ G,\therefore △ BFG∽△ FEG. \therefore △ BFG∽△ ABC$,故 ① 正确;由题意得 $∠ FEG=∠ DCE,\therefore CD// EF. \therefore \frac{BC}{CE}=\frac{BQ}{QF}.\because BC=CE,\therefore BQ=FQ$,故②正确;易知 $AC// FG,\therefore △ BPC∽△ BFG. \therefore \frac{PC}{FG}=\frac{BC}{BG}=\frac{1}{3}.\because AC=FG,\therefore \frac{PC}{AC}=\frac{1}{3}.\therefore AP=2PC$,故 ③ 正确;$\because △ BFG∽△ FEG,\therefore ∠ EBF=∠ EFG. \because EF=AB=3$,$BE=BC+CE=2\sqrt{3},\therefore EF≠ BE. \therefore ∠ BFE≠∠ EBF. \therefore ∠ EFG≠∠ BFE$,故 ④ 错误. 故选 C.

5.[2025宜宾]如图,一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分,则$\frac{AE}{EC}$的值为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

5.C 【点拨】如图所示,过点 D 作 $DF// BC$ 交 AC 于点F,$\because AD=2DB,\therefore \frac{AD}{BD}=2. \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}. \because DF// BC$,$\therefore$ 易得$△ AFD∽△ ACB. \therefore \frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{3}. \therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ACB}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{4}{9}. \therefore$ 设 $S_{△ AFD}=4s$,则 $S_{△ ACB}=9s. \because$ 沿 DE 将$△ ABC$ 剪成面积相等的两部分,$\therefore S_{△ ADE}=\frac{9}{2}s. \therefore \frac{S_{△ AFD}}{S_{△ ADE}}=\frac{4s}{\frac{9}{2}s}=\frac{8}{9}=\frac{AF}{AE}. \therefore \frac{AF}{AE}÷\frac{AF}{AC}=\frac{AF}{AE}·\frac{AC}{AF}=\frac{AC}{AE}=\frac{8}{9}÷\frac{2}{3}=\frac{4}{3}. \therefore \frac{AE}{EC}=3.$
故选 C.

6. 新考法 作差法 如图，已知正方形ABCD，AB=3，E在BC上，BE=1，连接BD，AE交于F，连接DE，则图中阴影部分的面积是。

6.$\frac{9}{4}$ 【点拨】$\because$ 四边形 ABCD 是正方形,$\therefore AD// BC$,$AD=AB=3$. 如图,过点 F 作 $MN⊥ AD$ 于点 M,交 BC于点 N,则易得 $MN=AB=3. \because AD// BC,\therefore ∠ ADF=∠ EBF,∠ DAF=∠ BEF. \therefore △ ADF∽△ EBF. \therefore \frac{FM}{FN}=\frac{AD}{EB}$,即$\frac{FM}{FN}=\frac{3}{1},\therefore FM=3FN$. 又 $\because FM+FN=3,\therefore FN=\frac{3}{4},FM=\frac{9}{4}. \therefore S_{阴影}=S_{梯形ABED}-S_{△ ADF}-S_{△ BEF}=\frac{(1+3)×3}{2}-\frac{1}{2}×3×\frac{9}{4}-\frac{1}{2}×1×\frac{3}{4}=\frac{9}{4}.$

7. [2025 扬州] 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.
(1)求证:四边形AFCE是菱形；
(2)若$AB=3,BC=5,CE$平分$∠ ACD$,求DE的长.

7.(1)【证明】$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore AD// BC. \therefore ∠ AEO=∠ CFO.$
$\because$ 对角线 AC 的垂直平分线是 EF,$\therefore AO=OC,EA=EC.$
$\because ∠ AOE=∠ COF,\therefore △ AOE≌△ COF(AAS).$
$\therefore AE=CF. \therefore$ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又 $\because EA=EC,\therefore$ 四边形 AFCE 是菱形.
(2)【解】如图,$\because CE$ 平分$∠ ACD,\therefore ∠ 1=∠ 2.$
$\because$ 四边形 AFCE 是菱形,$\therefore ∠ 1=∠ 3.$
$\therefore ∠ 2=∠ 3.$
$\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形，
$\therefore ∠ B=∠ D,AB=CD=3.$
$\therefore △ CBA∽△ CDE.$
$\therefore \frac{CB}{CD}=\frac{AB}{DE}. \therefore \frac{5}{3}=\frac{3}{DE}. \therefore DE=\frac{9}{5}.$

8. 情境题生活应用 一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距(任意相邻两根木条之间的距离相等)且平行的木条构成.已知$AC=50\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长度为 ()


A.$20\ \mathrm{cm}$
B.$25\ \mathrm{cm}$
C.$30\ \mathrm{cm}$
D.$\frac{100}{3}\ \mathrm{cm}$

8.C