9. 新考向 过程性学习 作业本中有一道题:“如图,在△ABC中,D为AC的中点,点E在BC上,且BE=3CE,AE,BD交于点F,求$\frac{AF}{EF}$的值.”小明解决时碰到了困难,哥哥提示他过点E作EG//BD,交AC于点G,最后小明求解正确,则$\frac{AF}{EF}=$.

(第9题) (第11题)

9.$\frac{4}{3}$ 【点拨】$\because EG// BD,\therefore \frac{CE}{BC}=\frac{CG}{CD}. \because BE=3CE$,$\therefore BC=4CE. \therefore \frac{CG}{CD}=\frac{CE}{BC}=\frac{1}{4}. \because D$ 为 AC 的中点,$\therefore \frac{AD}{DG}=\frac{4}{3}. \because EG// BD,\therefore \frac{AF}{EF}=\frac{AD}{DG}=\frac{4}{3}.$

10. 新考法 分类讨论法 若$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于点$O$位似，其相似比是$1:3$，$AO=5\ \mathrm{cm}$，则对应点$A,A'$之间的距离是。

10.20 cm 或 10 cm 【点拨】$\because △ ABC$ 和 $△ A'B'C'$ 关于点O 位似,且相似比为 $1:3,AO=5\ \mathrm{cm},\therefore A'O=15\ \mathrm{cm}.$
当$△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 在点 O 的异侧时,$AA'=AO+A'O=20\ \mathrm{cm}$;当$△ ABC$ 与 $△ A'B'C'$ 在点 O 的同侧时,$AA'=A'O-AO=10\ \mathrm{cm}.$

11. 2025·烟台 新视角·规律探究题 如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为$(6,\dfrac{3}{2})$,$△ ABC$的顶点A的坐标为(4,3).以点P为位似中心作$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$位似,相似比为2,且与$△ ABC$位于点P同侧;以点P为位似中心作$△ A_2B_2C_2$与$△ A_1B_1C_1$位似,相似比为2,且与$△ A_1B_1C_1$位于点P同侧……按照以上规律作图,点$A_3$的坐标为.

11.$(-10,\frac{27}{2})$ 【点拨】依题意, $A_1P=2AP=2×\sqrt{(6-4)^2+(\frac{3}{2}-3)^2}=5,\therefore A_2P=2A_1P=10$,$A_3P=2A_2P=20$,设直线 AP 的表达式为 $y=kx+b$($k≠0$),代入 $(6,\frac{3}{2}),(4,3),\therefore \begin{cases}\frac{3}{2}=6k+b,\\3=4k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=6.\end{cases}\therefore y=-\frac{3}{4}x+6$. 设 $A_3(m,-\frac{3}{4}m+6)$,$\therefore (m-6)^2+(-\frac{3}{4}m+6-\frac{3}{2})^2=20^2$, 解得 $m_1=-10,m_2=22(舍去). \therefore A_3(-10,\frac{27}{2}).$

12.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB.他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边DE=40 cm,EF=20 cm,测得边DF离地面的高度AC=1 m,CD=8 m,则树高AB=m.

12.5 【点拨】$\because ∠ DEF=∠ BCD=90°,∠ D=∠ D$,$\therefore △ DCB∽△ DEF. \therefore \frac{BC}{EF}=\frac{DC}{DE}. \because DE=40\ \mathrm{cm}=0.4\ \mathrm{m},EF=20\ \mathrm{cm}=0.2\ \mathrm{m},CD=8\ \mathrm{m},\therefore \frac{BC}{0.2}=\frac{8}{0.4}.$$\therefore BC=4\ \mathrm{m}. \therefore AB=AC+BC=1+4=5(\mathrm{m}).$

13.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=60 mm，高AD=40 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是 mm.

13.24 【点拨】设 AD 与 PN 的交点为 E,正方形的边长为 x mm,则易得 $DE=PQ=PN=x\ \mathrm{mm},\therefore AE=AD-x=(40-x)\mathrm{mm}. \because$ 四边形 PNMQ 是正方形,$\therefore PN// QM,\therefore AE⊥ PN$,易得 $△ APN∽△ ABC,\therefore \frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$,即 $\frac{x}{60}=\frac{40-x}{40}$,解得 $x=24,\therefore$ 这个正方形零件的边长是 24 mm.

14. 新视角 动点探究题 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$的两条直角边，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$AC=3\ \mathrm{cm}$，点$D$沿$AB$从$A$向$B$运动，速度是$1\ \mathrm{cm/s}$，同时，点$E$沿$BC$从$B$向$C$运动，速度为$2\ \mathrm{cm/s}$。动点$E$到达点$C$时运动终止。连接$DE$，$CD$，$AE$。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，解答下列问题：
(1)$BE=$，$BD=$.(用含$t$的代数式表示)
(2)求当动点运动多少秒时，$△ BDE$与$△ ABC$相似？
(3)在运动过程中，当$CD⊥ DE$时，求$t$的值.

14.【解】(1)$2t\ \mathrm{cm};(4-t)\ \mathrm{cm}$
(2)$\mathrm{Rt}△ ABC$ 的两条直角边,$AB=4\ \mathrm{cm},AC=3\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=5\ \mathrm{cm}.$
当$∠ BDE=∠ BAC$, 即 $ED⊥ AB$ 时, $\mathrm{Rt}△ BDE∽\mathrm{Rt}△ BAC,\therefore \frac{BD}{BA}=\frac{BE}{BC}. \therefore \frac{4-t}{4}=\frac{2t}{5}$,解得 $t=\frac{20}{13}$;
当$∠ BDE=∠ BCA$, 即 $DE⊥ BC$ 时, $\mathrm{Rt}△ BDE∽\mathrm{Rt}△ BCA,\therefore \frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}.$$\therefore \frac{4-t}{5}=\frac{2t}{4}$,解得 $t=\frac{8}{7}.$
$\therefore$ 当动点运动 $\frac{20}{13}\ \mathrm{s}$ 或 $\frac{8}{7}\ \mathrm{s}$ 时,$△ BDE$ 与 $△ ABC$ 相似.
(3)过点 $E$ 作 $EF⊥ AB$ 于点 $F,\therefore ∠ EFB=∠ CAB=90°.$
又 $\because ∠ B=∠ B,\therefore △ EFB∽△ CAB.$$\therefore \frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{AB}. \therefore \frac{EF}{3}=\frac{2t}{5}=\frac{BF}{4}$,
解得 $BF=\frac{8t}{5}\ \mathrm{cm},EF=\frac{6t}{5}\ \mathrm{cm}.$
$\therefore DF=AB-AD-BF=4-t-\frac{8t}{5}=(4-\frac{13t}{5})\mathrm{cm}.$
$\because CD⊥ DE,\therefore ∠ CDE=90°. \therefore ∠ ADC+∠ EDF=90°.$
$\because ∠ BAC=90°,\therefore ∠ ADC+∠ ACD=90°.$
$\therefore ∠ ACD=∠ FDE.$
$\because ∠ CAD=∠ DFE=90°,\therefore △ ACD∽△ FDE.$
$\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{AD}{EF}. \therefore \frac{3}{4-\frac{13t}{5}}=\frac{t}{\frac{6t}{5}}. \therefore t=\frac{2}{13}.$