10.如图,在平面直角坐标系中,边长为1的菱形ABCD与边长为3的菱形EFGH是位似图形,点P是位似中心,若点F的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,2),则位似中心P的坐标为.

10.$(-2,3)$ 【点拨】$\because$ 边长为 1 的菱形 $ABCD$ 与边长为 3 的菱形 $EFGH$ 是位似图形,点 $P$ 是位似中心, $\therefore \frac{PB}{PF}=\frac{1}{3}. \therefore \frac{PB}{BF}=\frac{1}{2}, \frac{PF}{BF}=\frac{3}{2}. \because$ 点 $F$ 的坐标为 $(4,0)$,点 $B$ 的坐标为 $(0,2), \therefore OF=4, OB=2$. 如图,过点 $P$ 作 $PM ⊥ x$ 轴, $PN ⊥ y$ 轴, 则 $PM // y$ 轴, $PN // x$ 轴, $\therefore$ 易得 $△ PMF ∽ △ BOF, △ PNB ∽ △ FOB. \therefore \frac{PM}{OB}=\frac{PF}{BF}=\frac{3}{2}, \frac{PN}{OF}=\frac{PB}{BF}=\frac{1}{2}. \therefore PM=\frac{3}{2}OB=3, PN=\frac{1}{2}OF=2. \therefore P(-2,3).$

11. [2025 广安] 已知$△ ABC$的面积是1.
(1)如图①,若 D,E分别是边 BC 和 AC 的中点,AD与 BE 相交于点 F,则四边形 CDFE 的面积为.
(2)如图②,若 M,N 分别是边 BC 和 AC 上距离 C点最近的6等分点,AM 与 BN 相交于点 G,则四边形 CMGN 的面积为.

11.(1)$\frac{1}{3}$ (2)$\frac{1}{21}$ 【点拨】(1)如图①,连接 $DE$, $\because D,E$ 分别是边 $BC$ 和 $AC$ 的中点, $\therefore DE$ 是 $△ ABC$ 的中位线, $\therefore DE // AB, DE=\frac{1}{2}AB. \therefore$ 易得 $△ CDE ∽ △ CBA$, $\therefore \frac{S_{△ CDE}}{S_{△ CBA}}=(\frac{DE}{AB})^2=(\frac{\frac{1}{2}AB}{AB})^2=\frac{1}{4}. \because △ ABC$ 的面积是 $1, \therefore S_{△ CDE}=\frac{1}{4}. \because D$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore S_{△ BDE}=S_{△ CDE}=\frac{1}{4}. \because DE // AB, \therefore$ 易得 $△ DEF ∽ △ ABF. \therefore \frac{EF}{BF}=\frac{DE}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AB}{AB}=\frac{1}{2}. \therefore BF=2EF. \therefore BE=BF+EF=3EF. \therefore \frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BDE}}=\frac{EF}{BE}=\frac{EF}{3EF}=\frac{1}{3}. \therefore S_{△ DEF}=\frac{1}{12}. \therefore S_{四边形CDFE}=S_{△ DEF}+S_{△ CDE}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}.$
(2)如图②,连接 $MN$,$\because M,N$ 分别是边 $BC$ 和 $AC$ 上距离 $C$ 点最近的 6 等分点,
$\therefore CM=\frac{1}{6}BC, CN=\frac{1}{6}AC. \therefore \frac{CM}{CB}=\frac{CN}{CA}=\frac{1}{6}.$ 又 $\because ∠ C=∠ C, \therefore △ CMN ∽ △ CBA. \therefore \frac{S_{△ CMN}}{S_{△ ABC}}=(\frac{CM}{BC})^2=(\frac{\frac{1}{6}BC}{BC})^2=\frac{1}{36}, \frac{MN}{AB}=\frac{CM}{BC}=\frac{\frac{1}{6}BC}{BC}=\frac{1}{6}, ∠ CMN=∠ CBA. \therefore MN // AB. \because △ ABC$ 的面积是 $1, \therefore S_{△ CMN}=\frac{1}{36}. \because M$ 是 $BC$ 靠近点 $C$ 的六等分点, $\therefore \frac{BM}{CM}=5. \therefore \frac{S_{△ BMN}}{S_{△ CMN}}=\frac{BM}{CM}=5. \therefore S_{△ BMN}=\frac{5}{36}.$
$\because MN // AB, \therefore$ 易得 $△ MNG ∽ △ ABG, \therefore \frac{NG}{BG}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{6}. \therefore BG=6NG. \therefore BN=BG+NG=7NG.$
$\therefore \frac{S_{△ MNG}}{S_{△ BMN}}=\frac{NG}{BN}=\frac{NG}{7NG}=\frac{1}{7}. \therefore S_{四边形CMGN}=S_{△ MNG}+S_{△ CMN}=\frac{5}{36} × \frac{1}{7}+\frac{1}{36}=\frac{5}{252}+\frac{1}{36}=\frac{1}{21}.$

三、解答题(共50分)
12.(16分)新视角动手操作题 已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A,B,C的坐标分别为(1,0),(4,-1),(3,2).△A₁B₁C₁与△ABC是以点P为位似中心的位似图形.
(1)请写出点P的坐标:;
(2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A₂B₂C₂，使相似比为2:1;
(3)若点M(a,b)为△ABC内一点，则点M在△A₂B₂C₂内的对应点的坐标为.
(4)计算△A₂B₂C₂的面积.(写出计算过程)

12.【解】(1)$(0,-2)$ (2)如图,$△ A_2 B_2 C_2$ 即为所求. (3)$(-2a,-2b)$
(4)$S_{△ A_2 B_2 C_2}=6 × 6-\frac{1}{2} × 4 × 4-\frac{1}{2} × 2 × 6-\frac{1}{2} × 2 × 6=16.$

13.(16分)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点E,点F在BD上,且∠BAF=∠DBC,$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}$.
(1)求证:$△ ABC ∽ △ AFD$;
(2)若$AD=2$,$BC=5$,$△ ADE$的周长为20,求$△ BCE$的周长.

13.(1)【证明】$\because ∠ BAF=∠ DBC$,
$\therefore ∠ BAF+∠ ABF=∠ DBC+∠ ABF$,
即$∠ AFD=∠ ABC$.
又$\because \frac{AB}{AF}=\frac{BC}{FD}, \therefore △ ABC ∽ △ AFD.$
(2)【解】$\because △ ABC ∽ △ AFD, \therefore ∠ ADE=∠ ACB.$
又$\because ∠ AED=∠ BEC, \therefore △ AED ∽ △ BEC.$
又$\because AD=2, BC=5, \therefore \frac{C_{△ AED}}{C_{△ BEC}}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{5}.$
$\because △ ADE$ 的周长为 $20, \therefore △ BCE$ 的周长为 $50.$

14.(18分)乐乐去西安旅游,当他看见宏伟的古城墙后,他想要测量城墙的高度.如图,他拿着一根笔直的小棍BC,站在距城墙约30 m的点N处(即EN=30 m),把手臂向前伸直且让小棍BC竖直,BC//DE,乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上,点C和底端E在一条直线上.已知乐乐的臂长CM约为60 cm,小棍BC的长为24 cm,AN⊥EN,CM⊥AN,DE⊥EN,求城墙的高度DE.

14.【解】如图,过点 $A$ 作 $AH ⊥ DE$ 于点 $H$,交 $BC$ 于点 $G$.
则易得 $AG=CM=60\ \mathrm{cm}=0.6\ \mathrm{m}, AH=NE=30\ \mathrm{m}, BC=24\ \mathrm{cm}=0.24\ \mathrm{m}.$
$\because BC // DE, \therefore ∠ ABC=∠ ADE, ∠ ACB=∠ AED.$
$\therefore △ ABC ∽ △ ADE.$
$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{AG}{AH}, 即 \frac{0.24}{DE}=\frac{0.6}{30}.$
$\therefore DE=12\ \mathrm{m},$
因此,城墙的高度 $DE$ 为 $12\ \mathrm{m}.$