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9. 有若干个数,第一个数记为$a_{1}$,第二个数记为$a_{2}$,…,依次类推,若$a_{1}=-\frac {1}{2}$,从第二个数起,每个数都等于“1与前面的那个数的差的倒数”。
(1)试计算$a_{2}=$______；$a_{3}=$______；$a_{4}=$______。
(2)试计算$a_{2020}=$______；$a_{2022}=$______。
(3)请写出$a_{n}$(用含n的代数式表示,其中n为正整数)。
(1)试计算$a_{2}=$______；$a_{3}=$______；$a_{4}=$______。
(2)试计算$a_{2020}=$______；$a_{2022}=$______。
(3)请写出$a_{n}$(用含n的代数式表示,其中n为正整数)。
答案
【解析】：
(1)已知$a_{1}=-\frac{1}{2}$，根据“从第二个数起，每个数都等于‘$1$与前面的那个数的差的倒数’”来计算$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$。
$a_{2}=\frac{1}{1 - a_{1}}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{1}{1 + \frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$；
$a_{3}=\frac{1}{1 - a_{2}}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$；
$a_{4}=\frac{1}{1 - a_{3}}=\frac{1}{1 - 3}=-\frac{1}{2}$。
(2)由(1)可知该数列以$-\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$3$依次循环，循环节长度为$3$。
因为$2020\div3 = 673\cdots\cdots1$，其中$1$是余数，说明$a_{2020}$是循环节的第$1$个数，所以$a_{2020}=a_{1}=-\frac{1}{2}$；
因为$2022\div3=674$，没有余数，说明$a_{2022}$是循环节的最后一个数，所以$a_{2022}=a_{3}=3$。
(3)当$n\div3$的余数为$1$时，$a_{n}=-\frac{1}{2}$；当$n\div3$的余数为$2$时，$a_{n}=\frac{2}{3}$；当$n\div3$没有余数时，$a_{n}=3$。
用数学语言表示为：当$n = 3k + 1$（$k$为自然数）时，$a_{n}=-\frac{1}{2}$；当$n = 3k + 2$（$k$为自然数）时，$a_{n}=\frac{2}{3}$；当$n = 3k$（$k$为正整数）时，$a_{n}=3$。
【答案】：(1)$\frac{2}{3}$；$3$；$-\frac{1}{2}$；(2)$-\frac{1}{2}$；$3$；(3)当$n = 3k + 1$（$k$为自然数）时，$a_{n}=-\frac{1}{2}$；当$n = 3k + 2$（$k$为自然数）时，$a_{n}=\frac{2}{3}$；当$n = 3k$（$k$为正整数）时，$a_{n}=3$。
(1)已知$a_{1}=-\frac{1}{2}$，根据“从第二个数起，每个数都等于‘$1$与前面的那个数的差的倒数’”来计算$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$。
$a_{2}=\frac{1}{1 - a_{1}}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{1}{1 + \frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$；
$a_{3}=\frac{1}{1 - a_{2}}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$；
$a_{4}=\frac{1}{1 - a_{3}}=\frac{1}{1 - 3}=-\frac{1}{2}$。
(2)由(1)可知该数列以$-\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$3$依次循环，循环节长度为$3$。
因为$2020\div3 = 673\cdots\cdots1$，其中$1$是余数，说明$a_{2020}$是循环节的第$1$个数，所以$a_{2020}=a_{1}=-\frac{1}{2}$；
因为$2022\div3=674$，没有余数，说明$a_{2022}$是循环节的最后一个数，所以$a_{2022}=a_{3}=3$。
(3)当$n\div3$的余数为$1$时，$a_{n}=-\frac{1}{2}$；当$n\div3$的余数为$2$时，$a_{n}=\frac{2}{3}$；当$n\div3$没有余数时，$a_{n}=3$。
用数学语言表示为：当$n = 3k + 1$（$k$为自然数）时，$a_{n}=-\frac{1}{2}$；当$n = 3k + 2$（$k$为自然数）时，$a_{n}=\frac{2}{3}$；当$n = 3k$（$k$为正整数）时，$a_{n}=3$。
【答案】：(1)$\frac{2}{3}$；$3$；$-\frac{1}{2}$；(2)$-\frac{1}{2}$；$3$；(3)当$n = 3k + 1$（$k$为自然数）时，$a_{n}=-\frac{1}{2}$；当$n = 3k + 2$（$k$为自然数）时，$a_{n}=\frac{2}{3}$；当$n = 3k$（$k$为正整数）时，$a_{n}=3$。
10. 我们平时用的是十进制数,表示十进制数要用10个数字:0,1,2,…,9。例如,$235908=2×10^{5}+3×10^{4}+5×10^{3}+9×10^{2}+0×10^{1}+8×10^{0}$。在电子计算机中使用的是二进制数,只用两个数字:0,1。例如,在二进制中,$1101=1×2^{3}+1×2^{2}+0×2^{1}+1×2^{0}$,等于十进制数13;$110011=1×2^{5}+1×2^{4}+0×2^{3}+0×2^{2}+1×2^{1}+1×2^{0}$,等于十进制数51。
(1)二进制中的数110101等于十进制的数多少?
(2)仿照二进制的说明与算法,请你计算一下,八进制中的数1507等于十进制的数多少?
(1)二进制中的数110101等于十进制的数多少?
(2)仿照二进制的说明与算法,请你计算一下,八进制中的数1507等于十进制的数多少?
答案
【解析】：
(1)根据二进制数转化为十进制数的方法，对于二进制数$110101$，从右至左每一位的数字乘以$2$的相应次幂（幂次从$0$开始递增），然后将结果相加。
即$110101 = 1\times2^{5}+1\times2^{4}+0\times2^{3}+1\times2^{2}+0\times2^{1}+1\times2^{0}$
$=1\times32 + 1\times16+0\times8 + 1\times4+0\times2 + 1\times1$
$=32 + 16+0 + 4+0 + 1$
$=53$。
(2)八进制数转化为十进制数的方法与二进制类似，从右至左每一位的数字乘以$8$的相应次幂（幂次从$0$开始递增），然后将结果相加。
对于八进制数$1507$，则$1507=1\times8^{3}+5\times8^{2}+0\times8^{1}+7\times8^{0}$
$=1\times512+5\times64 + 0\times8+7\times1$
$=512+320+0 + 7$
$=839$。
【答案】：(1)53；(2)839
(1)根据二进制数转化为十进制数的方法，对于二进制数$110101$，从右至左每一位的数字乘以$2$的相应次幂（幂次从$0$开始递增），然后将结果相加。
即$110101 = 1\times2^{5}+1\times2^{4}+0\times2^{3}+1\times2^{2}+0\times2^{1}+1\times2^{0}$
$=1\times32 + 1\times16+0\times8 + 1\times4+0\times2 + 1\times1$
$=32 + 16+0 + 4+0 + 1$
$=53$。
(2)八进制数转化为十进制数的方法与二进制类似，从右至左每一位的数字乘以$8$的相应次幂（幂次从$0$开始递增），然后将结果相加。
对于八进制数$1507$，则$1507=1\times8^{3}+5\times8^{2}+0\times8^{1}+7\times8^{0}$
$=1\times512+5\times64 + 0\times8+7\times1$
$=512+320+0 + 7$
$=839$。
【答案】：(1)53；(2)839
卡布列克常数
495是一个神秘的数,记住它,你可以玩许多游戏。例如,请几个同学各自想一个三位数(要求各位上的数字不完全相同),然后做下列运算:将3个数字从大到小和从小到大分别排列,得到一个最大的三位数和最小的三位数(如果三个数字中出现0,将0默认为最小三位数的首位,但仍将其看作三位数),然后两个数相减,得到一个新的三位数,继续以上的过程直到循环结束为止。最后将495这个神秘的数告诉他们,你们会惊奇地发现最终结果全部和这个数相同。这个数叫作卡布列克常数。你能找出四位数的卡布列克常数吗?
495是一个神秘的数,记住它,你可以玩许多游戏。例如,请几个同学各自想一个三位数(要求各位上的数字不完全相同),然后做下列运算:将3个数字从大到小和从小到大分别排列,得到一个最大的三位数和最小的三位数(如果三个数字中出现0,将0默认为最小三位数的首位,但仍将其看作三位数),然后两个数相减,得到一个新的三位数,继续以上的过程直到循环结束为止。最后将495这个神秘的数告诉他们,你们会惊奇地发现最终结果全部和这个数相同。这个数叫作卡布列克常数。你能找出四位数的卡布列克常数吗?
答案
【解析】：
我们按照题目给定的规则来寻找四位数的卡布列克常数。
任意选取一个各位数字不完全相同的四位数，例如$3528$。
1. 首先将这四个数字从大到小排列得到最大的四位数$8532$，从小到大排列得到最小的四位数$2358$。
2. 然后做减法：$8532 - 2358 = 6174$。
3. 接着对$6174$重复上述操作，从大到小排列为$7641$，从小到大排列为$1467$，再做减法：$7641-1467 = 6174$，此时出现了循环。
我们可以多尝试几个不同的四位数，比如$1234$。
1. 从大到小排列得到$4321$，从小到大排列得到$1234$，相减：$4321 - 1234 = 3087$。
2. 对$3087$操作，从大到小是$8730$，从小到大是$0378$（即$378$），相减：$8730 - 378 = 8352$。
3. 对$8352$操作，从大到小是$8532$，从小到大是$2358$，相减：$8532 - 2358 = 6174$。
4. 再对$6174$操作，又会得到$7641 - 1467 = 6174$，进入循环。
经过大量不同四位数的尝试，最终都会得到$6174$并进入循环。所以四位数的卡布列克常数是$6174$。
【答案】：$6174$
我们按照题目给定的规则来寻找四位数的卡布列克常数。
任意选取一个各位数字不完全相同的四位数，例如$3528$。
1. 首先将这四个数字从大到小排列得到最大的四位数$8532$，从小到大排列得到最小的四位数$2358$。
2. 然后做减法：$8532 - 2358 = 6174$。
3. 接着对$6174$重复上述操作，从大到小排列为$7641$，从小到大排列为$1467$，再做减法：$7641-1467 = 6174$，此时出现了循环。
我们可以多尝试几个不同的四位数，比如$1234$。
1. 从大到小排列得到$4321$，从小到大排列得到$1234$，相减：$4321 - 1234 = 3087$。
2. 对$3087$操作，从大到小是$8730$，从小到大是$0378$（即$378$），相减：$8730 - 378 = 8352$。
3. 对$8352$操作，从大到小是$8532$，从小到大是$2358$，相减：$8532 - 2358 = 6174$。
4. 再对$6174$操作，又会得到$7641 - 1467 = 6174$，进入循环。
经过大量不同四位数的尝试，最终都会得到$6174$并进入循环。所以四位数的卡布列克常数是$6174$。
【答案】：$6174$
