1. (2024·广元)如果单项式$-x^{2m}y^{3}$与单项式$2x^{4}y^{2-n}$的和仍是一个单项式,那么在平面直角坐标系中点$(m,n)$在(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.D
解析
因为单项式$-x^{2m}y^{3}$与单项式$2x^{4}y^{2 - n}$的和仍是一个单项式，所以这两个单项式是同类项。
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$2m = 4$，解得$m = 2$；
$3 = 2 - n$，解得$n = -1$。
所以点$(m,n)$为$(2,-1)$，在第四象限。
D
同类项要求相同字母的指数相同，可得：
$2m = 4$，解得$m = 2$；
$3 = 2 - n$，解得$n = -1$。
所以点$(m,n)$为$(2,-1)$，在第四象限。
D
2. (新情境·现实生活)如图,这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图.若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向,且综合楼和食堂的坐标分别是$(4,1)$和$(5,4)$,则教学楼的坐标是(
A.$(1,1)$
B.$(1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(2,2)$
D
)A.$(1,1)$
B.$(1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(2,2)$
答案
2.D
3. 点$Q(-3,-1)$到x轴的距离为
1
,到原点O的距离为$\sqrt{10}$
.答案
3. 1 $\sqrt{10}$
4. (2023·日照)若点$M(m+3,m-1)$在第四象限,则m的取值范围是
-3＜m＜1
.答案
4. -3＜m＜1
解析
解：
∵点$M(m+3,m-1)$在第四象限，
∴$\begin{cases}m+3＞0 \\ m-1＜0\end{cases}$，
解得$-3＜m＜1$。
$-3＜m＜1$
∵点$M(m+3,m-1)$在第四象限，
∴$\begin{cases}m+3＞0 \\ m-1＜0\end{cases}$，
解得$-3＜m＜1$。
$-3＜m＜1$
5. 如图,在长方形ABCD中,点A,B,C的坐标分别为$(-3,2),(3,2),(3,-1)$,则点D的坐标为
(-3,-1)
.答案
5.(-3,-1)
解析
解：在长方形ABCD中，AB与CD平行且相等，AD与BC平行且相等。
已知点A(-3,2)，B(3,2)，C(3,-1)。
因为AB在直线y=2上，且AB的长度为3 - (-3) = 6，所以CD也应在某条水平直线上，长度为6，且点C的坐标为(3,-1)，则点D的横坐标为3 - 6 = -3，纵坐标与点C相同为-1。
故点D的坐标为(-3,-1)。
已知点A(-3,2)，B(3,2)，C(3,-1)。
因为AB在直线y=2上，且AB的长度为3 - (-3) = 6，所以CD也应在某条水平直线上，长度为6，且点C的坐标为(3,-1)，则点D的横坐标为3 - 6 = -3，纵坐标与点C相同为-1。
故点D的坐标为(-3,-1)。
6. (2024·临夏)如图,在$\triangle ABC$中,点A的坐标为$(0,1)$,点B的坐标为$(4,1)$,点C的坐标为$(3,4)$,点D在第一象限(不与点C重合),且$\triangle ABD$与$\triangle ABC$全等,点D的坐标是
(1,4)
.答案
6.(1,4)
解析
解：已知点$A(0,1)$，$B(4,1)$，$C(3,4)$。
$AB$的长度为$\sqrt{(4 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = 4$。
$AC$的长度为$\sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$。
$BC$的长度为$\sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$。
因为$\triangle ABD$与$\triangle ABC$全等，且点$D$在第一象限（不与点$C$重合），所以分两种情况：
情况一：$AB = AB$，$AC = AD$，$BC = BD$。
设$D(x,y)$，则$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{10}$。
解得$x = 1$，$y = 4$（$x = 3$，$y = 4$为点$C$，舍去）。
情况二：$AB = AB$，$AC = BD$，$BC = AD$。
$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{10}$，$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 1)^2} = 3\sqrt{2}$。
解得$x = 3$，$y = -2$（不在第一象限，舍去）或$x = 1$，$y = -2$（不在第一象限，舍去）。
综上，点$D$的坐标是$(1,4)$。
$(1,4)$
$AB$的长度为$\sqrt{(4 - 0)^2 + (1 - 1)^2} = 4$。
$AC$的长度为$\sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt{2}$。
$BC$的长度为$\sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$。
因为$\triangle ABD$与$\triangle ABC$全等，且点$D$在第一象限（不与点$C$重合），所以分两种情况：
情况一：$AB = AB$，$AC = AD$，$BC = BD$。
设$D(x,y)$，则$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{10}$。
解得$x = 1$，$y = 4$（$x = 3$，$y = 4$为点$C$，舍去）。
情况二：$AB = AB$，$AC = BD$，$BC = AD$。
$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{10}$，$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 1)^2} = 3\sqrt{2}$。
解得$x = 3$，$y = -2$（不在第一象限，舍去）或$x = 1$，$y = -2$（不在第一象限，舍去）。
综上，点$D$的坐标是$(1,4)$。
$(1,4)$
7. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标(如图,单位:km).笔直铁路经过A,B两地.
(1) A,B两地间的距离为
(2) 计划修一条从C地到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使维修站D到A,C两地的距离相等,求C,D两地间的距离.
(1) A,B两地间的距离为
20
km;(2) 计划修一条从C地到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使维修站D到A,C两地的距离相等,求C,D两地间的距离.
答案
7.(1)20 (2)如图，过点C作CE⊥AB于点E,连接AC,作AC的垂直平分线，交CE于点D,连接AD.由图，易知CE=1-(-17)=18(km).设CD=x km,则ED=(18-x)km.在Rt△EDA中,ED=(18-x)km,AD=CD=x km,AE=12 km,
∴x²=(18-x)²+12²,解得x=13,
∴C,D两地间的距离为13 km
