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1. 如图所示是一个用来测量小管口径的量具。AB 长为 5 mm，AC 被分为 50等份。若小管口径 DE 正好对着量具上 30 等份处(DE // AB)，则小管口径DE 的长为
3
mm。答案
1. 3
解析
【分析】
解题时首先观察到DE//AB，结合公共角∠C，可判定△CDE与△CAB相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，将已知的AB长度、CD与AC的份数比代入比例式，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE = ∠CAB，
又
∵ ∠C是△CDE和△CAB的公共角，
∴ △CDE ∽ △CAB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{CA}$。
由题意知，AB=5mm，AC共50等份，CD对应30等份，即$\frac{CD}{CA}=\frac{30}{50}$，
代入得：$\frac{DE}{5}=\frac{30}{50}$，
解得：$DE=5×\frac{30}{50}=3$（mm）。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用题，解题核心是通过平行条件找到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式计算，熟练掌握相似三角形的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到DE//AB，结合公共角∠C，可判定△CDE与△CAB相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，将已知的AB长度、CD与AC的份数比代入比例式，即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE = ∠CAB，
又
∵ ∠C是△CDE和△CAB的公共角，
∴ △CDE ∽ △CAB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{AB} = \frac{CD}{CA}$。
由题意知，AB=5mm，AC共50等份，CD对应30等份，即$\frac{CD}{CA}=\frac{30}{50}$，
代入得：$\frac{DE}{5}=\frac{30}{50}$，
解得：$DE=5×\frac{30}{50}=3$（mm）。
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用题，解题核心是通过平行条件找到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例的性质列式计算，熟练掌握相似三角形的基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法。如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像$A'B'$，设$AB=36\ \mathrm{cm}$，$A'B'=24\ \mathrm{cm}$，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到$A'B'$的距离为(
A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.26 cm
A
)。A.20 cm
B.22 cm
C.24 cm
D.26 cm
答案
2. A
解析
【分析】
首先根据小孔成像的特点，可知蜡烛AB和所成的像A'B'互相平行，由此可判定△OAB与△OA'B'相似；再结合相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应边上高的比，我们设小孔O到A'B'的距离为x cm，代入已知数据列比例式求解即可。
【解析】
解：由题意得$AB// A'B'$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OA'B'$，$∠ OBA=∠ OB'A'$，
$\therefore △ AOB ∽ △ A'OB'$（两角分别相等的两个三角形相似）。
设小孔O到$A'B'$的距离为$x\ \mathrm{cm}$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\mathrm{小孔O到AB的距离}}{\mathrm{小孔O到}A'B'\mathrm{的距离}}$
代入$AB=36\ \mathrm{cm}$，$A'B'=24\ \mathrm{cm}$，小孔O到AB的距离为$30\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{36}{24}=\frac{30}{x}$
交叉相乘得：$36x=24×30$
解得：$x=20$
即小孔O到$A'B'$的距离为20 cm。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题结合物理学科的小孔成像背景考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别相似三角形，找到对应边与对应高的比例关系，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
首先根据小孔成像的特点，可知蜡烛AB和所成的像A'B'互相平行，由此可判定△OAB与△OA'B'相似；再结合相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于对应边上高的比，我们设小孔O到A'B'的距离为x cm，代入已知数据列比例式求解即可。
【解析】
解：由题意得$AB// A'B'$，
$\therefore ∠ OAB=∠ OA'B'$，$∠ OBA=∠ OB'A'$，
$\therefore △ AOB ∽ △ A'OB'$（两角分别相等的两个三角形相似）。
设小孔O到$A'B'$的距离为$x\ \mathrm{cm}$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\mathrm{小孔O到AB的距离}}{\mathrm{小孔O到}A'B'\mathrm{的距离}}$
代入$AB=36\ \mathrm{cm}$，$A'B'=24\ \mathrm{cm}$，小孔O到AB的距离为$30\ \mathrm{cm}$，得：
$\frac{36}{24}=\frac{30}{x}$
交叉相乘得：$36x=24×30$
解得：$x=20$
即小孔O到$A'B'$的距离为20 cm。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题结合物理学科的小孔成像背景考查相似三角形的实际应用，解题关键是准确识别相似三角形，找到对应边与对应高的比例关系，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB是斜靠在墙壁上的梯子，梯脚B距墙脚1 m，梯子上一点D距墙0.6 m，BD长为0.8 m。求梯子AB的长。
答案
3. 2 m
解析
【分析】
首先观察图形，DE和BC都垂直于墙面AC，可得DE//BC，进而可判定△ADE与△ABC相似。根据相似三角形对应边成比例的性质，我们可以设梯子AB的长为未知数，结合已知的线段长度列出比例式，解方程即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得，DE⊥AC，BC⊥AC，
∴ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C=90°，
∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
设梯子AB的长为$x$ m，则AD = AB - BD = $(x-0.8)$ m，
已知BC=1 m，DE=0.6 m，BD=0.8 m，代入比例式得：
$\frac{x-0.8}{x}=\frac{0.6}{1}$，
解得：$x - 0.8 = 0.6x$，
$0.4x = 0.8$，
$x=2$。
【答案】
2 m
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，准确找到相似三角形的对应边，利用对应边成比例建立方程求解。
【难度系数】
0.75
首先观察图形，DE和BC都垂直于墙面AC，可得DE//BC，进而可判定△ADE与△ABC相似。根据相似三角形对应边成比例的性质，我们可以设梯子AB的长为未知数，结合已知的线段长度列出比例式，解方程即可求出AB的长度。
【解析】
解：由题意得，DE⊥AC，BC⊥AC，
∴ DE//BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C=90°，
∴ △ADE ∽ △ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
设梯子AB的长为$x$ m，则AD = AB - BD = $(x-0.8)$ m，
已知BC=1 m，DE=0.6 m，BD=0.8 m，代入比例式得：
$\frac{x-0.8}{x}=\frac{0.6}{1}$，
解得：$x - 0.8 = 0.6x$，
$0.4x = 0.8$，
$x=2$。
【答案】
2 m
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的应用类题目，解题的核心是将实际问题转化为相似三角形的数学模型，准确找到相似三角形的对应边，利用对应边成比例建立方程求解。
【难度系数】
0.75
