9. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$。将$△ ABC$绕点C按逆时针方向旋转得到$△ A'B'C$，点A的对应点$A'$恰好为$△ ABC$的重心，$A'B'$与BC相交于点E。连结$AA'$并延长，交BC于点D。
（1）求证：$AD// CB'$。
（2）求$DE:EC$的值。

（1）因为$DA=DC$,所以$∠ ACD=∠ CAD$。因为$CA=CA'$,所以$∠ CAA'=∠ AA'C$。因为$∠ ACD=∠ B'CA'$,所以$∠ B'CA'=∠ CA'A$,所以$AD// B'C$。
（2）因为点$A'$为$△ ABC$的重心,所以 AD 为 BC 边上的中线,$AA'=2DA'$,所以$DA'=\frac{1}{3}AD$。因为$∠ BAC=90°$,所以$AD=BD=CD$,所以$DA'=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{6}BC=\frac{1}{6}B'C$。因为$AD// B'C$,所以$△ A'ED∽△ B'EC$,所以$DE:CE= A'D:B'C=\frac{1}{6}$。

【分析】
（1）要证明$AD// CB'$，可通过证明内错角相等推导。首先$A'$是$△ ABC$的重心，可知$AD$是$BC$边上的中线，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得$AD=DC$，推出$∠ ACD=∠ CAD$；再结合旋转的性质得$CA=CA'$、$∠ ACD=∠ B'CA'$，可推得$∠ B'CA'=∠ CA'A$，即可依据内错角相等证明两直线平行。
（2）要求$DE:EC$的值，由（1）的平行关系可证$△ A'ED∽△ B'EC$，相似三角形对应边成比例，因此只需推导$A'D$与$B'C$的比值即可。结合重心分中线为$2:1$的性质、直角三角形斜边中线性质、旋转前后对应边相等的性质，即可求出$A'D$与$B'C$的比值，即$DE$与$EC$的比值。
【解析】
（1）证明：
$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，$A'$是$△ ABC$的重心，
$\therefore AD$是$BC$边上的中线，$\therefore AD=DC=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore ∠ ACD=∠ CAD$。
由旋转的性质可知：$CA=CA'$，$∠ ACD=∠ B'CA'$，
$\therefore ∠ CAA'=∠ CA'A$，
$\therefore ∠ B'CA'=∠ CA'A$，
$\therefore AD// CB'$（内错角相等，两直线平行）。
（2）解：
$\because A'$是$△ ABC$的重心，
$\therefore AD$为$BC$边上的中线，且$AA':A'D=2:1$，即$DA'=\frac{1}{3}AD$。
$\because ∠ BAC=90°$，$AD$是$BC$边上的中线，
$\therefore AD=BD=CD=\frac{1}{2}BC$，
$\therefore DA'=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}BC=\frac{1}{6}BC$。
由旋转的性质得$BC=B'C$，
$\therefore DA'=\frac{1}{6}B'C$。
由（1）知$AD// CB'$，
$\therefore ∠ DA'E=∠ CB'E$，$∠ A'DE=∠ B'CE$，
$\therefore △ A'ED∽△ B'EC$，
$\therefore DE:EC=A'D:B'C=\frac{1}{6}B'C:B'C=1:6$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$DE:EC=1:6$（或$\frac{1}{6}$）
【知识点】
旋转的性质，三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，综合考查了旋转、直角三角形性质、重心性质、相似三角形的相关知识，解题的核心是熟练掌握基础知识点，通过导角证明平行，再结合相似性质求解线段比，能有效考察几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6