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5. 如图，在$△ ABC$中，$BD$是$∠ ABC$的平分线，过点$D$作$DE// AB$，交$BC$于点$E$。若$AB=5$，$BE=3$，求$EC$的长。
答案
由角平分线的定义和平行线的性质可知 $DE=BE=3$。由 $DE// AB$,得$△ CDE∽△ CAB$,则$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{BC}$,即$\frac{3}{5}=\frac{EC}{3+EC}$,解得$EC=\frac{9}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先利用“角平分线+平行线”的常见几何模型推导等腰三角形，得到DE的长度：BD是∠ABC的平分线，结合DE//AB，可推出∠EDB=∠EBD，从而得到DE=BE；再由DE//AB可证△CDE与△CAB相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，将已知边长和含EC的表达式代入比例式，建立方程即可求解EC的长度。
【解析】
1. 求DE的长度：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠EBD
∵ DE//AB，
∴ ∠ABD=∠EDB
∴ ∠EDB=∠EBD，
∴ DE=BE=3
2. 证明相似并列式求解：
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE=∠A，又
∵ ∠C为公共角
∴ △CDE∽△CAB
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{BC}$
设EC的长为$x$，则$BC=BE+EC=3+x$，代入$DE=3$，$AB=5$得：
$\frac{3}{5}=\frac{x}{3+x}$
交叉相乘得：$3(3+x)=5x$
展开得：$9+3x=5x$
移项计算得：$2x=9$，即$x=\frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查了“角平分线+平行线得等腰”的常用模型，以及相似三角形的性质应用，通过建立方程求解未知边长，是几何中求线段长度的典型考法，熟练掌握相关模型和性质能快速理清解题思路。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用“角平分线+平行线”的常见几何模型推导等腰三角形，得到DE的长度：BD是∠ABC的平分线，结合DE//AB，可推出∠EDB=∠EBD，从而得到DE=BE；再由DE//AB可证△CDE与△CAB相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，将已知边长和含EC的表达式代入比例式，建立方程即可求解EC的长度。
【解析】
1. 求DE的长度：
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠EBD
∵ DE//AB，
∴ ∠ABD=∠EDB
∴ ∠EDB=∠EBD，
∴ DE=BE=3
2. 证明相似并列式求解：
∵ DE//AB，
∴ ∠CDE=∠A，又
∵ ∠C为公共角
∴ △CDE∽△CAB
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{BC}$
设EC的长为$x$，则$BC=BE+EC=3+x$，代入$DE=3$，$AB=5$得：
$\frac{3}{5}=\frac{x}{3+x}$
交叉相乘得：$3(3+x)=5x$
展开得：$9+3x=5x$
移项计算得：$2x=9$，即$x=\frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查了“角平分线+平行线得等腰”的常用模型，以及相似三角形的性质应用，通过建立方程求解未知边长，是几何中求线段长度的典型考法，熟练掌握相关模型和性质能快速理清解题思路。
【难度系数】
0.7
6. 如图,点G是△ABC的重心,过点G作GE//BC,交AC于点E。如果BC=12,那么GE的长是
4
。答案
4。提示:连结AG并延长,交BC于点D。因为点G是△ABC重心,BC=12,所以$CD=\frac{1}{2}BC=6$,$\frac{AG}{GD}=2$。因为$GE// BC$,所以$△ AEG∽△ ACD$,所以$\frac{GE}{CD}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$,所以$GE=4$。
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形重心的相关性质：重心是三角形三条中线的交点，分每条中线为长度比2:1的两段，且中线会平分对应边。已知GE//BC，可推出包含GE和BC的两个三角形相似，因此我们可以先连接AG并延长交BC于D，先得到BC中点D的线段长度，再借助相似三角形的对应边成比例求解GE的长度。
【解析】
1. 作辅助线：连接AG并延长，交BC于点D。
2. 利用重心性质求线段长度：
∵点G是△ABC的重心，
∴AD是△ABC中BC边上的中线，且$\frac{AG}{GD}=\frac{2}{1}$，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，$\frac{AG}{AD}=\frac{AG}{AG+GD}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
3. 证明相似并计算GE：
∵$GE// BC$，
∴$∠ AGE=∠ ADC$，$∠ AEG=∠ C$，
∴$△ AEG ∽ △ ACD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{GE}{CD}=\frac{AG}{AD}$，
代入$CD=6$，$\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$，得：
$GE=\frac{2}{3}× CD=\frac{2}{3}×6=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形重心的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线，结合重心的性质得到线段比例关系，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形的对应边成比例即可求出未知线段长，是同类知识点考查的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆三角形重心的相关性质：重心是三角形三条中线的交点，分每条中线为长度比2:1的两段，且中线会平分对应边。已知GE//BC，可推出包含GE和BC的两个三角形相似，因此我们可以先连接AG并延长交BC于D，先得到BC中点D的线段长度，再借助相似三角形的对应边成比例求解GE的长度。
【解析】
1. 作辅助线：连接AG并延长，交BC于点D。
2. 利用重心性质求线段长度：
∵点G是△ABC的重心，
∴AD是△ABC中BC边上的中线，且$\frac{AG}{GD}=\frac{2}{1}$，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，$\frac{AG}{AD}=\frac{AG}{AG+GD}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$。
3. 证明相似并计算GE：
∵$GE// BC$，
∴$∠ AGE=∠ ADC$，$∠ AEG=∠ C$，
∴$△ AEG ∽ △ ACD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{GE}{CD}=\frac{AG}{AD}$，
代入$CD=6$，$\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$，得：
$GE=\frac{2}{3}× CD=\frac{2}{3}×6=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形重心的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线，结合重心的性质得到线段比例关系，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形的对应边成比例即可求出未知线段长，是同类知识点考查的常见题型。
【难度系数】
0.7
7. (多选题)如图,在$Rt△ ACB$中,$∠ ACB=90°$,边$AC$,$AB$上的中线$BE$,$CD$相交于点$F$。若已知$AC$,$BC$的长,则下列线段可求的是(
A.CD
B.BE
C.BF
D.DF
ABCD
)。A.CD
B.BE
C.BF
D.DF
答案
ABCD。提示:因为CD 是斜边AB 上的中线,可得$CD=\frac{1}{2}AB$。已知AC,BC,可由勾股定理求出AB,因此CD 可求。故 A 正确。BE 是AC 边上的中线,故$CE=\frac{1}{2}AC$。在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,由勾股定理可求 BE。故B 正确。三角形重心 F 分中线的比为 2:1,即$BF:FE=2:1$,故$BF=\frac{2}{3}BE$。因为 BE 可求,所以 BF 可求。故 C 正确。同理,重心 F 分 CD 的比为$CF:FD=2:1$,故$DF=\frac{1}{3}CD$。因为 CD 可求,所以DF 可求。故 D 正确。
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理可用的性质：首先已知Rt△ACB的两条直角边AC、BC长，可先通过勾股定理求出斜边AB的长度；再逐个分析选项：①CD是斜边AB的中线，可借助直角三角形斜边中线的性质判断CD是否可求；②BE是AC边上的中线，先得到CE的长度，再在Rt△BCE中用勾股定理判断BE是否可求；③中线BE、CD的交点F是三角形的重心，结合重心分中线为2:1的比例性质，即可判断BF、DF是否可求。
【解析】
已知在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，AC、BC长度已知：
1. 求AB：由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}$，因此AB长度可求。
2. 判断选项A：CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$，AB可求，因此CD可求，A正确。
3. 判断选项B：BE是AC边上的中线，因此$CE=\frac{1}{2}AC$，CE长度可求；在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}$，BC、CE均已知，因此BE可求，B正确。
4. 判断选项C、D：BE、CD是$△ ABC$的两条中线，交点F是$△ ABC$的重心，根据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为$2:1$，因此$BF:FE=2:1$，$CF:FD=2:1$，即$BF=\frac{2}{3}BE$，$DF=\frac{1}{3}CD$。因为BE、CD均可求，所以BF、DF也可求，C、D正确。
综上，四个选项的线段都可求。
【答案】
ABCD
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质；三角形重心的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形的性质和三角形重心的性质结合考查，解题时需从已知条件出发，先推导可直接求出的线段，再结合比例关系推导其余线段，要求熟练掌握相关基础定理。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件梳理可用的性质：首先已知Rt△ACB的两条直角边AC、BC长，可先通过勾股定理求出斜边AB的长度；再逐个分析选项：①CD是斜边AB的中线，可借助直角三角形斜边中线的性质判断CD是否可求；②BE是AC边上的中线，先得到CE的长度，再在Rt△BCE中用勾股定理判断BE是否可求；③中线BE、CD的交点F是三角形的重心，结合重心分中线为2:1的比例性质，即可判断BF、DF是否可求。
【解析】
已知在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，AC、BC长度已知：
1. 求AB：由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}$，因此AB长度可求。
2. 判断选项A：CD是AB边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CD=\frac{1}{2}AB$，AB可求，因此CD可求，A正确。
3. 判断选项B：BE是AC边上的中线，因此$CE=\frac{1}{2}AC$，CE长度可求；在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}$，BC、CE均已知，因此BE可求，B正确。
4. 判断选项C、D：BE、CD是$△ ABC$的两条中线，交点F是$△ ABC$的重心，根据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为$2:1$，因此$BF:FE=2:1$，$CF:FD=2:1$，即$BF=\frac{2}{3}BE$，$DF=\frac{1}{3}CD$。因为BE、CD均可求，所以BF、DF也可求，C、D正确。
综上，四个选项的线段都可求。
【答案】
ABCD
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线的性质；三角形重心的性质
【点评】
本题属于基础综合题，将直角三角形的性质和三角形重心的性质结合考查，解题时需从已知条件出发，先推导可直接求出的线段，再结合比例关系推导其余线段，要求熟练掌握相关基础定理。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在等边三角形ABC中,P是△ABC的重心,过点P作PD//AB,PE//BC,PF//AC,分别交AC,AB,BC于点D,E,F。
(1) 求$\frac{PD}{AB}$的值。
(2) 若AB=12 cm,求PD+PE+PF的值。
(1) 求$\frac{PD}{AB}$的值。
(2) 若AB=12 cm,求PD+PE+PF的值。
答案
（1）如图,连结CP并延长,交AB于M,可知$\frac{CP}{CM}=\frac{2}{3}$,且 M是AB的中点,从而得$\frac{DP}{AM}=\frac{2}{3}$,即$\frac{PD}{AB}=\frac{1}{3}$。（2）$PD=PE=PF=4$,即$PD+PE+PF=12(\mathrm{cm})$。
解析
【分析】
（1）求$\frac{PD}{AB}$的比值时，首先利用等边三角形重心的性质：重心是三条中线的交点，分中线为2:1（顶点到重心:重心到对边中点）的比例，因此作辅助线延长CP交AB于中点M，可得$\frac{CP}{CM}=\frac{2}{3}$；再结合$PD// AB$可证△CDP与△CAM相似，利用相似三角形对应边成比例得到PD与AM的比值，再结合AM是AB的一半，即可求出PD与AB的比值。
（2）求$PD+PE+PF$的长度时，可沿用第一问的推导思路，分别证明PE、PF的长度均为等边三角形边长的$\frac{1}{3}$，相加即可得到结果。
【解析】
（1）连结CP并延长，交AB于点M。
∵P是等边△ABC的重心，
∴CM是AB边上的中线，M为AB中点，即$AM=\frac{1}{2}AB$，且重心分中线的比为$CP:PM=2:1$，因此$\frac{CP}{CM}=\frac{2}{3}$。
∵$PD// AB$，
∴$∠ CDP=∠ A$，$∠ CPD=∠ CMA$，
∴$△ CDP ∽ △ CAM$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{PD}{AM}=\frac{CP}{CM}=\frac{2}{3}$，
将$AM=\frac{1}{2}AB$代入得：$\frac{PD}{\frac{1}{2}AB}=\frac{2}{3}$，
化简得$PD=\frac{1}{3}AB$，即$\frac{PD}{AB}=\frac{1}{3}$。
（2）已知$AB=12\mathrm{cm}$，由（1）得$PD=\frac{1}{3}×12=4\mathrm{cm}$。
同理，延长AP交BC于中点，结合$PE// BC$可证$PE=\frac{1}{3}BC$；延长BP交AC于中点，结合$PF// AC$可证$PF=\frac{1}{3}AC$。
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=BC=AC=12\mathrm{cm}$，
∴$PE=4\mathrm{cm}$，$PF=4\mathrm{cm}$，
∴$PD+PE+PF=4+4+4=12\mathrm{cm}$。
【答案】
【知识点】
等边三角形性质、三角形重心性质、相似三角形的性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、重心性质与相似三角形的应用，解题的关键是合理作出辅助线，利用重心的线段比例关系结合平行线构造相似三角形求解，也可通过线段平移的方法推导三条线段的和等于等边三角形的边长，是几何部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）求$\frac{PD}{AB}$的比值时，首先利用等边三角形重心的性质：重心是三条中线的交点，分中线为2:1（顶点到重心:重心到对边中点）的比例，因此作辅助线延长CP交AB于中点M，可得$\frac{CP}{CM}=\frac{2}{3}$；再结合$PD// AB$可证△CDP与△CAM相似，利用相似三角形对应边成比例得到PD与AM的比值，再结合AM是AB的一半，即可求出PD与AB的比值。
（2）求$PD+PE+PF$的长度时，可沿用第一问的推导思路，分别证明PE、PF的长度均为等边三角形边长的$\frac{1}{3}$，相加即可得到结果。
【解析】
（1）连结CP并延长，交AB于点M。
∵P是等边△ABC的重心，
∴CM是AB边上的中线，M为AB中点，即$AM=\frac{1}{2}AB$，且重心分中线的比为$CP:PM=2:1$，因此$\frac{CP}{CM}=\frac{2}{3}$。
∵$PD// AB$，
∴$∠ CDP=∠ A$，$∠ CPD=∠ CMA$，
∴$△ CDP ∽ △ CAM$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{PD}{AM}=\frac{CP}{CM}=\frac{2}{3}$，
将$AM=\frac{1}{2}AB$代入得：$\frac{PD}{\frac{1}{2}AB}=\frac{2}{3}$，
化简得$PD=\frac{1}{3}AB$，即$\frac{PD}{AB}=\frac{1}{3}$。
（2）已知$AB=12\mathrm{cm}$，由（1）得$PD=\frac{1}{3}×12=4\mathrm{cm}$。
同理，延长AP交BC于中点，结合$PE// BC$可证$PE=\frac{1}{3}BC$；延长BP交AC于中点，结合$PF// AC$可证$PF=\frac{1}{3}AC$。
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=BC=AC=12\mathrm{cm}$，
∴$PE=4\mathrm{cm}$，$PF=4\mathrm{cm}$，
∴$PD+PE+PF=4+4+4=12\mathrm{cm}$。
【答案】
【知识点】
等边三角形性质、三角形重心性质、相似三角形的性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、重心性质与相似三角形的应用，解题的关键是合理作出辅助线，利用重心的线段比例关系结合平行线构造相似三角形求解，也可通过线段平移的方法推导三条线段的和等于等边三角形的边长，是几何部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
