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1. 如图，在$△ ABC$中，中线$AD$，$BE$相交于点$O$。若$S_{△ BOD}=5$，则$S_{△ AOB}=$，$S_{△ ABC}=$。
答案
10;30
解析
【分析】
首先明确三角形中线的交点是重心，重心的核心性质是分每条中线为2:1的两段（顶点到重心的距离:重心到对边中点的距离=2:1）。其次，同高的两个三角形的面积比等于对应底边长的比，我们可以利用这个性质先求△AOB的面积；再根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，即可求出△ABC的总面积。
【解析】
解：
∵AD、BE是△ABC的中线，交点O为△ABC的重心
∴重心分中线的比$ AO:OD=2:1 $
△AOB和△BOD同高（均以B为顶点，底边在直线AD上）
∴$ S_{△ AOB}:S_{△ BOD}=AO:OD=2:1 $
已知$ S_{△ BOD}=5 $，因此$ S_{△ AOB}=2×5=10 $
可得$ S_{△ ABD}=S_{△ AOB}+S_{△ BOD}=10+5=15 $
又
∵AD是△ABC的中线，D为BC中点，中线将三角形分成面积相等的两部分
∴$ S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}=2×15=30 $
【答案】
10；30
【知识点】
三角形重心的性质，三角形面积与底高的关系，三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握三角形重心和中线的性质，结合同高三角形面积比等于底之比的规律求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
首先明确三角形中线的交点是重心，重心的核心性质是分每条中线为2:1的两段（顶点到重心的距离:重心到对边中点的距离=2:1）。其次，同高的两个三角形的面积比等于对应底边长的比，我们可以利用这个性质先求△AOB的面积；再根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，即可求出△ABC的总面积。
【解析】
解：
∵AD、BE是△ABC的中线，交点O为△ABC的重心
∴重心分中线的比$ AO:OD=2:1 $
△AOB和△BOD同高（均以B为顶点，底边在直线AD上）
∴$ S_{△ AOB}:S_{△ BOD}=AO:OD=2:1 $
已知$ S_{△ BOD}=5 $，因此$ S_{△ AOB}=2×5=10 $
可得$ S_{△ ABD}=S_{△ AOB}+S_{△ BOD}=10+5=15 $
又
∵AD是△ABC的中线，D为BC中点，中线将三角形分成面积相等的两部分
∴$ S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}=2×15=30 $
【答案】
10；30
【知识点】
三角形重心的性质，三角形面积与底高的关系，三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握三角形重心和中线的性质，结合同高三角形面积比等于底之比的规律求解，难度较低。
【难度系数】
0.7
2. 已知直角三角形的两条直角边长分别为6 cm,8 cm,则此直角三角形的重心与外心之间的距离为
$\frac{5}{3}$ cm
。答案
$\frac{5}{3}$ cm
解析
【分析】
解题时先明确两个特殊点的性质：①直角三角形的外心是外接圆的圆心，因为斜边为外接圆直径，因此外心是斜边的中点；②三角形的重心是三条中线的交点，重心分任意一条中线为2:1的两段（靠近顶点的段长与靠近对边中点的段长之比为2:1）。首先用勾股定理求出斜边长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到斜边中线的长度，最后结合重心的比例性质即可求出两点距离。
【解析】
1. 计算直角三角形的斜边长度：
由勾股定理得，斜边长为$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$。
2. 确定外心位置及斜边中线长度：
直角三角形的外心为斜边的中点，因此直角顶点到外心的线段就是斜边的中线，根据直角三角形性质，斜边中线长度等于斜边的一半，即中线长为$\frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm}$。
3. 结合重心性质计算距离：
三角形重心分中线为2:1的两段，重心到斜边中点（外心）的距离为中线长度的$\frac{1}{3}$，因此所求距离为$5 × \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$ cm
【知识点】
勾股定理；直角三角形外心性质；重心的性质
【点评】
本题考查三角形特殊点的性质应用，解题的关键是准确掌握直角三角形外心的位置以及重心分中线的比例规律，将所求距离转化为中线长度的一部分即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个特殊点的性质：①直角三角形的外心是外接圆的圆心，因为斜边为外接圆直径，因此外心是斜边的中点；②三角形的重心是三条中线的交点，重心分任意一条中线为2:1的两段（靠近顶点的段长与靠近对边中点的段长之比为2:1）。首先用勾股定理求出斜边长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到斜边中线的长度，最后结合重心的比例性质即可求出两点距离。
【解析】
1. 计算直角三角形的斜边长度：
由勾股定理得，斜边长为$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{cm}$。
2. 确定外心位置及斜边中线长度：
直角三角形的外心为斜边的中点，因此直角顶点到外心的线段就是斜边的中线，根据直角三角形性质，斜边中线长度等于斜边的一半，即中线长为$\frac{1}{2} × 10 = 5\ \mathrm{cm}$。
3. 结合重心性质计算距离：
三角形重心分中线为2:1的两段，重心到斜边中点（外心）的距离为中线长度的$\frac{1}{3}$，因此所求距离为$5 × \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$ cm
【知识点】
勾股定理；直角三角形外心性质；重心的性质
【点评】
本题考查三角形特殊点的性质应用，解题的关键是准确掌握直角三角形外心的位置以及重心分中线的比例规律，将所求距离转化为中线长度的一部分即可求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，$\frac{A_1B_1}{AB}=k$。求这两个三角形的高线$A_1D_1$与$AD$的比。
答案
$\frac{A_1 D_1}{AD}=k$
解析
【分析】要计算两个相似三角形对应高线的比，首先可利用已知的$△ ABC$与$△ A_1B_1C_1$相似，得到对应角$∠ B=∠ B_1$；再结合高线的定义可得$∠ ADB=∠ A_1D_1B_1=90°$，由此可证明$△ ABD$与$△ A_1B_1D_1$相似，最后根据相似三角形对应边成比例，即可推出两条高线的比值等于已知的相似比$k$，也可直接利用相似三角形对应高线的比等于相似比的性质直接求解。
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，根据相似三角形对应角相等的性质，可得：
$∠ B = ∠ B_1$
$\because AD$是$△ ABC$的高线，$A_1D_1$是$△ A_1B_1C_1$的高线
$\therefore ∠ ADB = ∠ A_1D_1B_1 = 90°$
在$△ ABD$和$△ A_1B_1D_1$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ B_1 \\∠ ADB = ∠ A_1D_1B_1\end{cases}$
$\therefore △ ABD ∽ △ A_1B_1D_1$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{A_1D_1}{AD}=\frac{A_1B_1}{AB}$
又已知$\frac{A_1B_1}{AB}=k$，因此$\frac{A_1D_1}{AD}=k$。
【答案】
$\frac{A_1 D_1}{AD}=k$
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是明确相似三角形的对应角相等，且对应高线的比等于相似比，熟练掌握相似三角形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
【解析】
解：已知$△ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，根据相似三角形对应角相等的性质，可得：
$∠ B = ∠ B_1$
$\because AD$是$△ ABC$的高线，$A_1D_1$是$△ A_1B_1C_1$的高线
$\therefore ∠ ADB = ∠ A_1D_1B_1 = 90°$
在$△ ABD$和$△ A_1B_1D_1$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ B_1 \\∠ ADB = ∠ A_1D_1B_1\end{cases}$
$\therefore △ ABD ∽ △ A_1B_1D_1$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{A_1D_1}{AD}=\frac{A_1B_1}{AB}$
又已知$\frac{A_1B_1}{AB}=k$，因此$\frac{A_1D_1}{AD}=k$。
【答案】
$\frac{A_1 D_1}{AD}=k$
【知识点】
相似三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题型，解题核心是明确相似三角形的对应角相等，且对应高线的比等于相似比，熟练掌握相似三角形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 已知:如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$。
(1) 求证:$△ ADC∽△ CDB$。
(2) 若 $CD=5$,$BD=12$,求 $AB$ 的长。
(1) 求证:$△ ADC∽△ CDB$。
(2) 若 $CD=5$,$BD=12$,求 $AB$ 的长。
答案
(1) 略 (2) $\frac{169}{12}$
解析
【分析】
(1) 要证明△ADC∽△CDB，可采用两角对应相等的相似判定方法：首先由垂直可得两个三角形均为直角三角形，有一组直角相等，再利用同角的余角相等推出另一组锐角相等，即可证明相似。
(2) 借助(1)的相似结论，利用相似三角形对应边成比例先求出AD的长度，再将AD与BD相加即可得到AB的总长。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等），
在△ADC和△CDB中：
$\begin{cases}∠ADC=∠CDB \\∠A=∠BCD\end{cases}$
∴△ADC∽△CDB（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得△ADC∽△CDB，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$
将CD=5，BD=12代入上式：
$\frac{AD}{5}=\frac{5}{12}$
解得$AD=\frac{25}{12}$
∴$AB=AD+BD=\frac{25}{12}+12=\frac{25}{12}+\frac{144}{12}=\frac{169}{12}$
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{169}{12}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，第一问侧重相似判定的掌握，第二问利用相似得到的比例关系求解线段长度，熟练掌握相似的判定定理和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明△ADC∽△CDB，可采用两角对应相等的相似判定方法：首先由垂直可得两个三角形均为直角三角形，有一组直角相等，再利用同角的余角相等推出另一组锐角相等，即可证明相似。
(2) 借助(1)的相似结论，利用相似三角形对应边成比例先求出AD的长度，再将AD与BD相加即可得到AB的总长。
【解析】
(1) 证明：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD（同角的余角相等），
在△ADC和△CDB中：
$\begin{cases}∠ADC=∠CDB \\∠A=∠BCD\end{cases}$
∴△ADC∽△CDB（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
由(1)得△ADC∽△CDB，根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$
将CD=5，BD=12代入上式：
$\frac{AD}{5}=\frac{5}{12}$
解得$AD=\frac{25}{12}$
∴$AB=AD+BD=\frac{25}{12}+12=\frac{25}{12}+\frac{144}{12}=\frac{169}{12}$
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{169}{12}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，第一问侧重相似判定的掌握，第二问利用相似得到的比例关系求解线段长度，熟练掌握相似的判定定理和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.75
