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8. 如图,在$5×5$的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1。$△ ABC$的顶点均在格点上。仅用无刻度的直尺按要求画图,保留作图痕迹。
(1) 图①中,在线段AC上找一个格点E,连结BE,使$△ BCE ∽ △ ACB$。
(2) 图②中,在直线AC外找一个格点F,连结AF,BF,使$△ FAB ∽ △ BAC$。
(1) 图①中,在线段AC上找一个格点E,连结BE,使$△ BCE ∽ △ ACB$。
(2) 图②中,在直线AC外找一个格点F,连结AF,BF,使$△ FAB ∽ △ BAC$。
答案
8. 如图。
解析
【分析】
（1）要构造△BCE∽△ACB，首先观察到△ACB是直角三角形，∠C是两个三角形的公共角，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，只需满足夹∠C的两边对应成比例即可。先计算△ACB的边长，求出CE的长度，就能确定格点E的位置。
（2）要构造△FAB∽△BAC，根据相似对应顶点的顺序可知∠ABF对应∠ACB=90°，再根据对应边成比例计算BF的长度，结合网格的特征找到满足条件的格点F即可。
【解析】
(1) 由网格可得：$AC=4$，$BC=2$，$∠ C=90°$。
要使$△ BCE ∽ △ ACB$，$∠ C$为公共角，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似判定定理，需满足$\frac{BC}{AC}=\frac{CE}{BC}$。
代入数值计算：$\frac{2}{4}=\frac{CE}{2}$，解得$CE=1$。
在$AC$上取距离点$C$为1个单位长度的格点$E$，连接$BE$，此时$△ BCE ∽ △ ACB$。
(2) 先利用勾股定理计算$AB$的长度：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
要使$△ FAB ∽ △ BAC$，由对应顶点顺序可得$∠ ABF=∠ ACB=90°$，且需满足对应边成比例$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{BC}$。
代入数值计算：$\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{BF}{2}$，解得$BF=\sqrt{5}$。
在直线$AC$外找到格点$F$，使得$BF=\sqrt{5}$且$∠ ABF=90°$，连接$AF$、$BF$，此时$△ FAB ∽ △ BAC$。
【答案】
【知识点】
相似三角形的判定，网格作图
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的作图，核心是利用相似三角形的判定定理，通过计算对应边长度确定待求点的位置，既考查了对相似判定的理解，也锻炼了动手操作能力和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
（1）要构造△BCE∽△ACB，首先观察到△ACB是直角三角形，∠C是两个三角形的公共角，根据相似三角形“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，只需满足夹∠C的两边对应成比例即可。先计算△ACB的边长，求出CE的长度，就能确定格点E的位置。
（2）要构造△FAB∽△BAC，根据相似对应顶点的顺序可知∠ABF对应∠ACB=90°，再根据对应边成比例计算BF的长度，结合网格的特征找到满足条件的格点F即可。
【解析】
(1) 由网格可得：$AC=4$，$BC=2$，$∠ C=90°$。
要使$△ BCE ∽ △ ACB$，$∠ C$为公共角，根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似判定定理，需满足$\frac{BC}{AC}=\frac{CE}{BC}$。
代入数值计算：$\frac{2}{4}=\frac{CE}{2}$，解得$CE=1$。
在$AC$上取距离点$C$为1个单位长度的格点$E$，连接$BE$，此时$△ BCE ∽ △ ACB$。
(2) 先利用勾股定理计算$AB$的长度：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
要使$△ FAB ∽ △ BAC$，由对应顶点顺序可得$∠ ABF=∠ ACB=90°$，且需满足对应边成比例$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{BC}$。
代入数值计算：$\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{BF}{2}$，解得$BF=\sqrt{5}$。
在直线$AC$外找到格点$F$，使得$BF=\sqrt{5}$且$∠ ABF=90°$，连接$AF$、$BF$，此时$△ FAB ∽ △ BAC$。
【答案】
【知识点】
相似三角形的判定，网格作图
【点评】
本题结合网格背景考查相似三角形的作图，核心是利用相似三角形的判定定理，通过计算对应边长度确定待求点的位置，既考查了对相似判定的理解，也锻炼了动手操作能力和数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
9. 如图，已知$△ ABC ∽ △ ADE$，$∠ BAC = ∠ DAE = 90°$，$AB = 6$，$AC = 8$，点D是线段BC上的一动点。
（1）当$BD = \sqrt{3}$时，求CE的长。
（2）P为线段DE的中点。在点D的运动过程中，CP的最小值为
（1）当$BD = \sqrt{3}$时，求CE的长。
（2）P为线段DE的中点。在点D的运动过程中，CP的最小值为
4
。答案
9. (1) 由$△ ABC ∽ △ ADE$,可得$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE},∠BAC=∠DAE$,则$∠BAD=∠CAE,\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$,
所以$△ BAD ∽ △ CAE$,所以$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}$。
由$BD=\sqrt{3}$,得$CE=\frac{4}{3}\sqrt{3}$。
(2) 由$△ BAD ∽ △ CAE$,得$∠B=∠ACE$。可证$∠DCE=90°$,则$CP=\frac{1}{2}DE$。
当$AD⊥BC$时,AD 最小,此时$AD=\frac{AB×AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。由$△ ABC ∽ △ ADE$,得$DE=\frac{5}{3}AD=8$,所以 CP 的最小值为 4。
所以$△ BAD ∽ △ CAE$,所以$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}$。
由$BD=\sqrt{3}$,得$CE=\frac{4}{3}\sqrt{3}$。
(2) 由$△ BAD ∽ △ CAE$,得$∠B=∠ACE$。可证$∠DCE=90°$,则$CP=\frac{1}{2}DE$。
当$AD⊥BC$时,AD 最小,此时$AD=\frac{AB×AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$。由$△ ABC ∽ △ ADE$,得$DE=\frac{5}{3}AD=8$,所以 CP 的最小值为 4。
解析
【分析】
（1）要求CE的长，可通过证明△BAD与△CAE相似，建立BD和CE的比例关系求解。首先利用已知△ABC∽△ADE的性质，得到对应边成比例、对应角相等，进而推出∠BAD=∠CAE，结合边的比例关系即可证明两个三角形相似，代入BD的数值就能求出CE。
（2）要求CP的最小值，首先推导∠DCE的度数：由△BAD∽△CAE可得∠B=∠ACE，结合Rt△ABC中∠B+∠ACB=90°，可推出∠DCE=90°，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CP=\frac{1}{2}DE$，因此CP最小等价于DE最小。由△ABC∽△ADE可知DE与AD成正比，根据垂线段最短，当AD⊥BC时AD最小，先求出AD的最小值，再按相似比求出DE的最小值，即可得到CP的最小值。
【解析】
（1）$\because △ ABC ∽ △ ADE$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$，且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
$\therefore △ BAD ∽ △ CAE$，
$\therefore \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
将$BD=\sqrt{3}$代入得$\frac{\sqrt{3}}{CE}=\frac{3}{4}$，
解得$CE=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
（2）由$△ BAD ∽ △ CAE$，得$∠ B=∠ ACE$，
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ B+∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACE+∠ ACB=90°$，即$∠ DCE=90°$，
$\because P$是$DE$的中点，
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCE$中，$CP=\frac{1}{2}DE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
要使$CP$最小，需$DE$最小，
$\because △ ABC ∽ △ ADE$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
$\therefore \frac{DE}{10}=\frac{AD}{6}$，即$DE=\frac{5}{3}AD$，
根据垂线段最短，当$AD⊥ BC$时$AD$最小，
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，
代入得$6×8=10× AD$，解得$AD=\frac{24}{5}$，
此时$DE=\frac{5}{3}×\frac{24}{5}=8$，
$\therefore CP=\frac{1}{2}DE=4$，即$CP$的最小值为4。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$；（2）$\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线定理；垂线段最短
【点评】
本题综合考查相似三角形、直角三角形的核心性质，解题关键是通过相似转化线段和角的关系，将CP的最值转化为AD的最值问题，考查了转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要求CE的长，可通过证明△BAD与△CAE相似，建立BD和CE的比例关系求解。首先利用已知△ABC∽△ADE的性质，得到对应边成比例、对应角相等，进而推出∠BAD=∠CAE，结合边的比例关系即可证明两个三角形相似，代入BD的数值就能求出CE。
（2）要求CP的最小值，首先推导∠DCE的度数：由△BAD∽△CAE可得∠B=∠ACE，结合Rt△ABC中∠B+∠ACB=90°，可推出∠DCE=90°，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$CP=\frac{1}{2}DE$，因此CP最小等价于DE最小。由△ABC∽△ADE可知DE与AD成正比，根据垂线段最短，当AD⊥BC时AD最小，先求出AD的最小值，再按相似比求出DE的最小值，即可得到CP的最小值。
【解析】
（1）$\because △ ABC ∽ △ ADE$，
$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，$∠ BAC=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$，且$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，
$\therefore △ BAD ∽ △ CAE$，
$\therefore \frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
将$BD=\sqrt{3}$代入得$\frac{\sqrt{3}}{CE}=\frac{3}{4}$，
解得$CE=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
（2）由$△ BAD ∽ △ CAE$，得$∠ B=∠ ACE$，
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ B+∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACE+∠ ACB=90°$，即$∠ DCE=90°$，
$\because P$是$DE$的中点，
$\therefore \mathrm{Rt}△ DCE$中，$CP=\frac{1}{2}DE$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
要使$CP$最小，需$DE$最小，
$\because △ ABC ∽ △ ADE$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
$\therefore \frac{DE}{10}=\frac{AD}{6}$，即$DE=\frac{5}{3}AD$，
根据垂线段最短，当$AD⊥ BC$时$AD$最小，
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AD$，
代入得$6×8=10× AD$，解得$AD=\frac{24}{5}$，
此时$DE=\frac{5}{3}×\frac{24}{5}=8$，
$\therefore CP=\frac{1}{2}DE=4$，即$CP$的最小值为4。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$；（2）$\boldsymbol{4}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线定理；垂线段最短
【点评】
本题综合考查相似三角形、直角三角形的核心性质，解题关键是通过相似转化线段和角的关系，将CP的最值转化为AD的最值问题，考查了转化思想和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
