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5. 已知:如图,AD=DC,$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$。求证:AC平分∠BAD。
答案
5. 由$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO},∠AOB=∠COD$,得$△ AOB ∽ △ COD$,所以$∠BAO=∠C$。又由$AD=CD$,得$∠DAC=∠C$,所以$∠BAO=∠DAC$,即 AC 平分$∠BAD$。
解析
【分析】
要证明AC平分∠BAD，本质是需证∠BAO=∠DAC。首先由已知AD=DC，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DAC=∠C，因此只需证∠BAO=∠C即可。已知给出线段比例$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，同时∠AOB和∠COD是对顶角、二者相等，刚好满足两边对应成比例且夹角相等的相似三角形判定条件，可证△AOB∽△COD，从而得到对应角∠BAO=∠C，最后通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，且∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴ △AOB∽△COD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ ∠BAO=∠C（相似三角形对应角相等）
又
∵ AD=DC
∴ ∠DAC=∠C（等腰三角形等边对等角）
∴ ∠BAO=∠DAC（等量代换）
即AC平分∠BAD。
【答案】
AC平分∠BAD
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是结合已知的线段比例关系和对顶角相等证明三角形相似，再结合等腰三角形的性质进行角的等量代换，最终推导出角相等的结论，解题时需注意相似三角形判定条件中夹角的对应关系。
【难度系数】
0.8
要证明AC平分∠BAD，本质是需证∠BAO=∠DAC。首先由已知AD=DC，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DAC=∠C，因此只需证∠BAO=∠C即可。已知给出线段比例$\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，同时∠AOB和∠COD是对顶角、二者相等，刚好满足两边对应成比例且夹角相等的相似三角形判定条件，可证△AOB∽△COD，从而得到对应角∠BAO=∠C，最后通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $\frac{AO}{CO}=\frac{BO}{DO}$，且∠AOB=∠COD（对顶角相等）
∴ △AOB∽△COD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ ∠BAO=∠C（相似三角形对应角相等）
又
∵ AD=DC
∴ ∠DAC=∠C（等腰三角形等边对等角）
∴ ∠BAO=∠DAC（等量代换）
即AC平分∠BAD。
【答案】
AC平分∠BAD
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是结合已知的线段比例关系和对顶角相等证明三角形相似，再结合等腰三角形的性质进行角的等量代换，最终推导出角相等的结论，解题时需注意相似三角形判定条件中夹角的对应关系。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB:BC=1:2$,点$E$在$AD$上,且$ED=3AE$。
（1）求证:$△ ABC ∽ △ EAB$。
（2）$AC$与$BE$垂直吗？请说明理由。
（1）求证:$△ ABC ∽ △ EAB$。
（2）$AC$与$BE$垂直吗？请说明理由。
答案
6. (1) 由$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2},∠ABC=∠EAB=90°$,可证$△ ABC ∽ △ EAB$。
(2) 垂直。理由略。
(2) 垂直。理由略。
解析
【分析】
（1）要证明两个三角形相似，观察可知△ABC和△EAB均为直角三角形，可尝试用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定：首先由矩形性质可得两个三角形的直角相等，再结合已知的线段比例关系，推导两组对应边的比值相等，即可完成证明。
（2）判断AC与BE是否垂直，可借助第一问的相似结论得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质，推导AC与BE的夹角为90°，即可得出垂直的结论。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠EAB=90°，AD=BC。
∵ AB:BC=1:2，
∴ BC=2AB，即AD=2AB。
∵ ED=3AE，
∴ AE=$\frac{1}{4}$AD=$\frac{1}{4}$×2AB=$\frac{1}{2}$AB，即$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$。
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，又
∵ ∠ABC=∠EAB=90°，
∴ △ABC∽△EAB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
（2）AC与BE垂直，理由如下：
设AC与BE的交点为O，
由（1）的相似结论可得∠BAC=∠AEB。
在Rt△ABE中，∠AEB+∠ABE=90°，
∴ ∠BAC+∠ABE=90°，
∴ ∠AOB=180°-(∠BAC+∠ABE)=90°，
∴ AC⊥BE。
【答案】
(1) △ABC∽△EAB，证明成立；
(2) AC与BE垂直。
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题综合考察了矩形的性质和相似三角形的判定与应用，解题核心是利用已知线段比例推导出相似所需的边的比例关系，再通过相似的对应角相等推导角度关系证明垂直，是相似三角形应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明两个三角形相似，观察可知△ABC和△EAB均为直角三角形，可尝试用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定：首先由矩形性质可得两个三角形的直角相等，再结合已知的线段比例关系，推导两组对应边的比值相等，即可完成证明。
（2）判断AC与BE是否垂直，可借助第一问的相似结论得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质，推导AC与BE的夹角为90°，即可得出垂直的结论。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠EAB=90°，AD=BC。
∵ AB:BC=1:2，
∴ BC=2AB，即AD=2AB。
∵ ED=3AE，
∴ AE=$\frac{1}{4}$AD=$\frac{1}{4}$×2AB=$\frac{1}{2}$AB，即$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$。
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$，又
∵ ∠ABC=∠EAB=90°，
∴ △ABC∽△EAB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
（2）AC与BE垂直，理由如下：
设AC与BE的交点为O，
由（1）的相似结论可得∠BAC=∠AEB。
在Rt△ABE中，∠AEB+∠ABE=90°，
∴ ∠BAC+∠ABE=90°，
∴ ∠AOB=180°-(∠BAC+∠ABE)=90°，
∴ AC⊥BE。
【答案】
(1) △ABC∽△EAB，证明成立；
(2) AC与BE垂直。
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题综合考察了矩形的性质和相似三角形的判定与应用，解题核心是利用已知线段比例推导出相似所需的边的比例关系，再通过相似的对应角相等推导角度关系证明垂直，是相似三角形应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
7. (多选题)如图,在△ABC中,D是边BC上一点。下列条件中,能判定△ABC与△DBA相似的是(
A.∠ADC=∠C+∠B
B.∠ADC+∠BAC=180°
C.$AC^2=BC· CD$
D.$BC=\sqrt{3}AB=3BD$
ABD
)。A.∠ADC=∠C+∠B
B.∠ADC+∠BAC=180°
C.$AC^2=BC· CD$
D.$BC=\sqrt{3}AB=3BD$
答案
7. ABD
解析
【分析】
要判定△ABC与△DBA相似，首先观察到两个三角形有公共角∠B，根据相似三角形的判定定理，此时只需再满足一组对应角相等，或公共角∠B的两组夹边对应成比例，即可证明两三角形相似，接下来逐一分析各选项条件是否满足上述要求即可。
【解析】
△ABC和△DBA有公共角∠B=∠B，结合相似判定规则逐一判断：
1. 分析选项A：
∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD。已知∠ADC=∠C+∠B，两式对比可得∠BAD=∠C。此时有两组角对应相等：∠B=∠B，∠BAD=∠C，故△ABC∽△DBA，A符合要求。
2. 分析选项B：
∠ADC和∠ADB是邻补角，故∠ADC+∠ADB=180°。已知∠ADC+∠BAC=180°，根据同角的补角相等，可得∠ADB=∠BAC。此时有两组角对应相等：∠B=∠B，∠ADB=∠BAC，故△ABC∽△DBA，B符合要求。
3. 分析选项C：
由$AC^2=BC·CD$可得$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，结合公共角∠C=∠C，可判定△ACD∽△BCA，无法推导△ABC与△DBA相似，C不符合要求。
4. 分析选项D：
由$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，可得$AB=\sqrt{3}BD$，$BC=3BD$。计算公共角夹边的比值：$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}BD}{3BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{BD}{\sqrt{3}BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。此时公共角的两组夹边对应成比例，故△ABC∽△DBA，D符合要求。
综上，选ABD。
【答案】
ABD
【知识点】
相似三角形的判定、三角形外角性质、比例的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定应用，解题时先抓住两个三角形的公共角这一隐含条件，再结合选项推导角的关系或边的比例关系即可，需注意对应边和对应角的匹配，避免错判相似的三角形对象。
【难度系数】
0.6
要判定△ABC与△DBA相似，首先观察到两个三角形有公共角∠B，根据相似三角形的判定定理，此时只需再满足一组对应角相等，或公共角∠B的两组夹边对应成比例，即可证明两三角形相似，接下来逐一分析各选项条件是否满足上述要求即可。
【解析】
△ABC和△DBA有公共角∠B=∠B，结合相似判定规则逐一判断：
1. 分析选项A：
∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD。已知∠ADC=∠C+∠B，两式对比可得∠BAD=∠C。此时有两组角对应相等：∠B=∠B，∠BAD=∠C，故△ABC∽△DBA，A符合要求。
2. 分析选项B：
∠ADC和∠ADB是邻补角，故∠ADC+∠ADB=180°。已知∠ADC+∠BAC=180°，根据同角的补角相等，可得∠ADB=∠BAC。此时有两组角对应相等：∠B=∠B，∠ADB=∠BAC，故△ABC∽△DBA，B符合要求。
3. 分析选项C：
由$AC^2=BC·CD$可得$\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{AC}$，结合公共角∠C=∠C，可判定△ACD∽△BCA，无法推导△ABC与△DBA相似，C不符合要求。
4. 分析选项D：
由$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，可得$AB=\sqrt{3}BD$，$BC=3BD$。计算公共角夹边的比值：$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}BD}{3BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{BD}{AB}=\frac{BD}{\sqrt{3}BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$。此时公共角的两组夹边对应成比例，故△ABC∽△DBA，D符合要求。
综上，选ABD。
【答案】
ABD
【知识点】
相似三角形的判定、三角形外角性质、比例的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定应用，解题时先抓住两个三角形的公共角这一隐含条件，再结合选项推导角的关系或边的比例关系即可，需注意对应边和对应角的匹配，避免错判相似的三角形对象。
【难度系数】
0.6
