6.【跨学科融合·生物】细胞的相对表面积$(S/V)$是一个关键概念，指细胞的表面积与其体积的比率.它与细胞的大小和生理功能紧密相关.生物学中，细胞的相对表面积$(S/V)$与细胞的半径$R$是反比例函数关系，如图27－3－6所示.下列说法错误的是()

A.细胞的相对表面积$(S/V)$关于细胞的半径$R$的函数解析式为$S/V=\frac{3}{R}(R＞0)$
B.若细胞的相对表面积为$0.5\ μ m^{-1}$，则细胞的半径为$6\ μ m$
C.细胞的半径每增大$1\ μ m$，相对表面积的减少量相同
D.细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小

6.C

【分析】
本题结合生物知识考查反比例函数的应用，解题思路为：首先根据球体的表面积和体积公式推导细胞相对表面积与半径的函数解析式，再逐一分析各选项，判断正误。
【解析】
1. 推导函数解析式：细胞可近似看作球体，球体表面积公式为$S=4π R^2$，体积公式为$V=\frac{4}{3}π R^3$，则相对表面积$\frac{S}{V}=\frac{4π R^2}{\frac{4}{3}π R^3}=\frac{3}{R}(R＞0)$，故选项A正确；
2. 验证选项B：令$\frac{S}{V}=0.5\ μ m^{-1}$，代入解析式得$0.5=\frac{3}{R}$，解得$R=6\ μ m$，故选项B正确；
3. 验证选项C：当$R=1$时，$\frac{S}{V}=3$；当$R=2$时，$\frac{S}{V}=1.5$，减少量为$3-1.5=1.5$；当$R=3$时，$\frac{S}{V}=1$，从$R=2$到$R=3$的减少量为$1.5-1=0.5$，减少量不相同，故选项C错误；
4. 验证选项D：函数$\frac{S}{V}=\frac{3}{R}(R＞0)$中，$k=3＞0$，在第一象限内，$\frac{S}{V}$随$R$的增大而减小，故选项D正确。
综上，错误的说法是C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的应用，球体表面积与体积计算
【点评】
本题跨学科融合生物与数学知识，需先推导函数关系，再结合反比例函数性质分析选项，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.5

7.某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存,已知入库所需要的时间$t$(单位:天)与入库平均速度$v$(单位:吨/天)是反比例函数关系,它的图象如图27－3－7所示.若每天最多可入库300吨玉米,则玉米全部入库所需时间$t$的范围是()

A.$t≥4$
B.$0＜t≤4$
C.$t＞4$
D.$0＜t＜4$




图27－3－6
图27－3－7
图27－3－8
图27－3－9

7.A

【分析】
首先，题目中入库时间$ t $与入库平均速度$ v $成反比例函数关系，需先从图像中获取点的坐标，用待定系数法确定反比例函数解析式；其次，根据“每天最多可入库300吨”得到$ v $的取值范围，再结合反比例函数的单调性，由$ v $的范围推导$ t $的范围，进而选出正确选项。
【解析】
设反比例函数解析式为$ t = \frac{k}{v} $（$ k ≠ 0 $，$ v ＞ 0 $）。
由图像可知，函数图象过点$ (300, 4) $，代入解析式得：
$ 4 = \frac{k}{300} $，解得$ k = 1200 $，因此反比例函数解析式为$ t = \frac{1200}{v} $。
已知每天最多入库300吨，即$ 0 ＜ v ≤ 300 $，又$ k = 1200 ＞ 0 $，根据反比例函数性质：当$ k ＞ 0 $时，在$ v ＞ 0 $范围内，$ t $随$ v $的增大而减小。
当$ v = 300 $时，$ t = \frac{1200}{300} = 4 $，故当$ 0 ＜ v ≤ 300 $时，$ t ≥ 4 $，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用；反比例函数的性质
【点评】
本题结合实际入库场景考查反比例函数的应用，核心是待定系数法求解析式，再利用函数单调性由自变量范围推导函数值范围，需注意实际问题中速度为正数，属于基础函数应用题型。
【难度系数】
0.5

8.有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度$\rho(\mathrm{kg/m}^3)$是体积$V(\mathrm{m}^3)$的反比例函数，它的图象如图27－3－8，当$V=2\ \mathrm{m}^3$时，气体的密度是 $\mathrm{kg/m}^3$。

8.4

【分析】首先，题目明确密度$\rho$与体积$V$是反比例函数关系，因此先设反比例函数的一般形式$\rho=\frac{k}{V}$（$k$为常数，$k≠0$）；接着需根据图像给出的已知点求出常数$k$的值；最后将$V=2$代入已确定的解析式，计算对应的密度$\rho$即可。
【解析】解：设密度$\rho$与体积$V$的反比例函数解析式为$\rho = \frac{k}{V}$（$k ≠ 0$）。
由图像可知，当$V=5\ \mathrm{m}^3$时，$\rho=3.36\ \mathrm{kg/m}^3$，将其代入解析式得：
$3.36 = \frac{k}{5}$，
解得$k = 3.36 × 5 = 16.8$，
因此反比例函数解析式为$\rho = \frac{16.8}{V}$。
当$V=2\ \mathrm{m}^3$时，代入得：
$\rho = \frac{16.8}{2} = 8.4\ (\mathrm{kg/m}^3)$。
【答案】8.4
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是利用待定系数法确定反比例函数解析式，再代入求值，属于基础应用题，难度较低。
【难度系数】0.6

9.【传统文化】以小麦粉为原料的面食文化至今已有两千多年的历史(东汉时期将下水煮制的面条称作汤饼).一定体积的面团做成拉面，拉面的总长度$ y(\mathrm{cm}) $是拉面粗细(横截面面积)$ x(\mathrm{cm}^2) $的反比例函数，其图象如图27－3－9所示.若拉面的横截面面积在0.02～0.08 $ \mathrm{cm}^2 $之间，则拉面总长度$ y $的范围为.

9.$1600≤y≤6400$

【分析】
首先根据题意确定$ y $与$ x $成反比例函数关系，设出反比例函数解析式；再从图象中找到对应的$ x $、$ y $值，求出解析式中的常数$ k $；最后利用反比例函数的单调性（$ k＞0 $时，$ y $随$ x $增大而减小），结合$ x $的范围求出$ y $的范围。
【解析】
解：1. 设反比例函数解析式为$ y=\frac{k}{x} $（$ k≠0 $）；
2. 由图象得，当$ x=0.02 $时，$ y=6400 $，代入解析式得$ k=xy=0.02×6400=128 $，故解析式为$ y=\frac{128}{x} $；
3. 因为$ k=128＞0 $，所以在第一象限内$ y $随$ x $的增大而减小；
4. 当$ x=0.02 $时，$ y=\frac{128}{0.02}=6400 $；当$ x=0.08 $时，$ y=\frac{128}{0.08}=1600 $；
5. 已知$ 0.02≤x≤0.08 $，结合单调性可得$ y $的范围为$ 1600≤y≤6400 $。
【答案】
$ 1600≤y≤6400 $
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的性质
【点评】
本题结合传统文化中的拉面场景，考查反比例函数的实际应用，解题步骤清晰，关键是确定反比例函数解析式并利用其单调性求范围，属于基础题。
【难度系数】
0.6

10.某燃气公司计划在地下修建一个容积为$V$($V$为定值，单位:$\mathrm{m}^3$)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积$S$(单位:$\mathrm{m}^2$)与其深度$d$(单位:$\mathrm{m}$)是反比例函数关系，它的图象如图27-3-10所示.
(1)求储存室的容积$V$的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度$d$需要满足$16≤ d≤25$，求储存室的底面积$S$的取值范围.

10.解:(1)由题图知当$d=20$时,$S=500$,
$\therefore V=500×20=10000$.
(2)由(1)得 $Sd=10000$,则 $S=\dfrac{10000}{d}$,
$\because 10000＞0,\therefore S$ 随着 $d$ 的增大而减小.
当 $d=16$ 时,$S=\dfrac{10000}{16}=625$;
当 $d=25$ 时,$S=\dfrac{10000}{25}=400$.
$\therefore$ 储存室的底面积 $S$ 的取值范围是 $400≤ S≤625$.

【分析】
首先，根据题意，圆柱形储存室的容积V是定值，由圆柱体积公式$V = S · d$可知，底面积$S$与深度$d$成反比例关系，因此可设$S$与$d$的函数关系式为$S=\frac{V}{d}$（$V$为定值，即反比例函数的比例系数）。从图像中找到已知点$(d=20, S=500)$，代入关系式即可求出容积$V$的值。对于第二问，由第一问得到$S$与$d$的具体函数式，结合反比例函数的性质（比例系数大于0时，函数在第一象限内随自变量增大而减小），分别代入$d$的两个端点值16和25，计算对应的$S$值，进而确定$S$的取值范围。
【解析】
(1) 因为储存室的容积$V$是定值，且圆柱体积$V = S · d$，所以$S$与$d$成反比例函数关系，设$S=\frac{V}{d}$（$V≠0$）。
由题图可知，当$d=20\ \mathrm{m}$时，$S=500\ \mathrm{m}^2$，代入得：
$V = S · d = 500 × 20 = 10000\ (\mathrm{m}^3)$。
(2) 由(1)得$S$与$d$的函数关系式为$S=\frac{10000}{d}$。
因为$10000＞0$，所以在$d＞0$时，$S$随$d$的增大而减小。
当$d=16\ \mathrm{m}$时，$S=\frac{10000}{16}=625\ (\mathrm{m}^2)$；
当$d=25\ \mathrm{m}$时，$S=\frac{10000}{25}=400\ (\mathrm{m}^2)$。
因此，储存室的底面积$S$的取值范围是$400 ≤ S ≤ 625\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
(1) $V$的值为$10000\ \mathrm{m}^3$；(2) 底面积$S$的取值范围是$400 ≤ S ≤ 625\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
反比例函数应用，圆柱体积公式，函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数在实际生活中的典型应用，核心是理解圆柱容积为定值时底面积与深度的反比例关系，利用反比例函数的单调性求解取值范围，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6