3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边AC上任意一点，试判断AB²＋CD²与AC²＋BD²的数量关系，并证明你的结论。（第3题）

$AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$，证明略. 提示：在$△ BCD$和$△ ABC$中，由勾股定理，可得$BD^2=BC^2+CD^2$，$AB^2=BC^2+AC^2$. 所以，$AB^2+CD^2=AC^2+BC^2+CD^2=AC^2+BD^2$.

【分析】
要判断两个含边长平方的式子的数量关系，已知图形中存在两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ BCD$，且两个三角形有公共直角边$BC$，因此可以先利用勾股定理分别表示出$AB^2$和$BD^2$，再将其代入待比较的两个式子中，通过等量代换即可推导得出二者的数量关系。
【解析】
结论：$AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$，证明如下：
∵ $∠ C=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理可得：$AB^2 = AC^2 + BC^2$；
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，根据勾股定理可得：$BD^2 = CD^2 + BC^2$。
对$AB^2+CD^2$变形可得：
$AB^2 + CD^2 = (AC^2 + BC^2) + CD^2 = AC^2 + (BC^2 + CD^2)$，
将$BC^2 + CD^2 = BD^2$代入上式，可得：
$AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2$，即证。
【答案】
$AB^2+CD^2=AC^2+BD^2$
【知识点】
勾股定理；等量代换
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题的关键是抓住两个直角三角形的公共直角边$BC$作为联系两个式子的桥梁，通过对式子进行合理变形、代换即可得到结论，解题时要善于观察式子结构和图形特征，选择合适的定理简化推导过程。
【难度系数】
0.75

4. 假期中，乐乐和同学到某海岛旅游，他们在点A登陆后，按照如图所示路线行进. 他们先乘车往正东方向行进8 km，又往正北方向行进2 km，遇到障碍后转向正西方向行进3 km，随后折向正北方向行进6 km，之后朝正东方向行进1 km，最终到达景点B. 登陆点A到景点B的直线距离是多少千米？

10 km. 提示：如图，过点B作$BD⊥ AC$，垂足为D. 根据题意，可知$AD=6\ \mathrm{km}$，$BD=8\ \mathrm{km}$. 由勾股定理，得$AB=10\ \mathrm{km}$.

【分析】
要求登陆点A到景点B的直线距离，可将问题转化为求直角三角形斜边的长度。首先通过作辅助线构造以AB为斜边的直角三角形：过点B作AC的垂线BD，垂足为D。接下来分别计算两条直角边的长度：水平方向用向东走的总路程减去向西走的路程得到AD的长度，竖直方向将两次向北走的路程相加得到BD的长度，最后利用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：如图，过点B作$BD ⊥ AC$，垂足为D。
1. 计算水平直角边AD的长度：
根据行进路线，水平方向先向东走8km，再向西走3km，最后向东走1km，因此$AD = 8 - 3 + 1 = 6\ \mathrm{km}$。
2. 计算竖直直角边BD的长度：
竖直方向两次向北行进，路程分别为2km和6km，因此$BD = 2 + 6 = 8\ \mathrm{km}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 90°$，由勾股定理得：
$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
距离为正数，取算术平方根，得$AB = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{km}$。
【答案】
10 km。
【知识点】
勾股定理，方位与距离，直角三角形构造
【点评】
本题结合实际出行场景，考查了将实际问题转化为几何问题的应用能力，解题核心是准确构造直角三角形，正确计算两条直角边的长度后利用勾股定理求解。
【难度系数】
0.8