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拓展与思考
5. 如图，D是$△ ABC$内一点，把$△ ABD$绕点B按顺时针方向旋转$60°$得到$△ CBE$，点A与点C对应，点D与点E对应，$AD=3$，$BD=4$，$CD=5$.
（1）判断$△ DEC$的形状，并说明理由；
（2）求$∠ ADB$的度数.
5. 如图，D是$△ ABC$内一点，把$△ ABD$绕点B按顺时针方向旋转$60°$得到$△ CBE$，点A与点C对应，点D与点E对应，$AD=3$，$BD=4$，$CD=5$.
（1）判断$△ DEC$的形状，并说明理由；
（2）求$∠ ADB$的度数.
答案
5. (1) $△ DEC$为直角三角形，理由略. 提示：由旋转的性质，可得$△ ABD≌△ CBE$，可证得$△ DBE$为等边三角形，于是$DE=BD=4$，$EC=AD=3$，$DE^{2}+EC^{2}=3^{2}+4^{2}=5^{2}=CD^{2}$，所以$△ DEC$为直角三角形.
(2) $∠ ADB=150°$. 提示：由(1)，可知$△ DEC$为直角三角形且$∠ DEC=90°$，可证得$∠ BED=60°$，所以$∠ BEC=90°+60°=150°$，从而$∠ ADB=150°$.
(2) $∠ ADB=150°$. 提示：由(1)，可知$△ DEC$为直角三角形且$∠ DEC=90°$，可证得$∠ BED=60°$，所以$∠ BEC=90°+60°=150°$，从而$∠ ADB=150°$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从旋转的性质入手逐步推导：
1. 第（1）问判断△DEC的形状：首先旋转前后的三角形全等，可得对应边相等、对应角相等，结合旋转角为60°，可先证△DBE是等边三角形，得到DE的长度，再结合已知的AD、CD长度，得到△DEC的三边长，用勾股定理的逆定理即可判断三角形形状。
2. 第（2）问求∠ADB的度数：由全等三角形的性质可知∠ADB和∠CEB相等，只需要求出∠CEB的度数即可，∠CEB是等边三角形的内角∠BED与直角∠DEC的和，相加即可得到结果。
【解析】
（1）△DEC是直角三角形，理由如下：
∵ △ABD绕点B按顺时针方向旋转60°得到△CBE，
∴ △ABD≌△CBE，旋转角∠DBE=60°，
∴ AD=CE=3，BD=BE=4，
∵ BD=BE，且∠DBE=60°，
∴ △DBE是等边三角形，
∴ DE=BD=4，
在△DEC中，DE=4，EC=3，CD=5，
∵ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，即$DE^2 + EC^2 = CD^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△DEC是直角三角形，且∠DEC=90°。
（2）求∠ADB的度数：
由（1）可知△DBE是等边三角形，
∴ ∠BED=60°，
又
∵ ∠DEC=90°，
∴ ∠BEC=∠BED + ∠DEC = 60° + 90° = 150°，
∵ △ABD≌△CBE，全等三角形对应角相等，
∴ ∠ADB=∠BEC=150°。
【答案】
（1）△DEC为直角三角形；（2）$\boxed{150°}$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转性质的典型应用问题，解题的核心是利用旋转的全等性将分散的边长、角度条件集中，结合等边三角形的判定和勾股定理逆定理求解，能有效考查学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，我们可以从旋转的性质入手逐步推导：
1. 第（1）问判断△DEC的形状：首先旋转前后的三角形全等，可得对应边相等、对应角相等，结合旋转角为60°，可先证△DBE是等边三角形，得到DE的长度，再结合已知的AD、CD长度，得到△DEC的三边长，用勾股定理的逆定理即可判断三角形形状。
2. 第（2）问求∠ADB的度数：由全等三角形的性质可知∠ADB和∠CEB相等，只需要求出∠CEB的度数即可，∠CEB是等边三角形的内角∠BED与直角∠DEC的和，相加即可得到结果。
【解析】
（1）△DEC是直角三角形，理由如下：
∵ △ABD绕点B按顺时针方向旋转60°得到△CBE，
∴ △ABD≌△CBE，旋转角∠DBE=60°，
∴ AD=CE=3，BD=BE=4，
∵ BD=BE，且∠DBE=60°，
∴ △DBE是等边三角形，
∴ DE=BD=4，
在△DEC中，DE=4，EC=3，CD=5，
∵ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，即$DE^2 + EC^2 = CD^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△DEC是直角三角形，且∠DEC=90°。
（2）求∠ADB的度数：
由（1）可知△DBE是等边三角形，
∴ ∠BED=60°，
又
∵ ∠DEC=90°，
∴ ∠BEC=∠BED + ∠DEC = 60° + 90° = 150°，
∵ △ABD≌△CBE，全等三角形对应角相等，
∴ ∠ADB=∠BEC=150°。
【答案】
（1）△DEC为直角三角形；（2）$\boxed{150°}$
【知识点】
旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是旋转性质的典型应用问题，解题的核心是利用旋转的全等性将分散的边长、角度条件集中，结合等边三角形的判定和勾股定理逆定理求解，能有效考查学生的几何转化思维。
【难度系数】
0.65
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=c$，$AC=b$，$BC=a$.
（1）已知$a=10$，$b=24$，那么$c=\_\_\_\_\_\_$；
（2）已知$b:c=4:5$，$a=9$，那么$b=\_\_\_\_\_\_$，$c=\_\_\_\_\_\_$.
（1）已知$a=10$，$b=24$，那么$c=\_\_\_\_\_\_$；
（2）已知$b:c=4:5$，$a=9$，那么$b=\_\_\_\_\_\_$，$c=\_\_\_\_\_\_$.
答案
1.（1）26. （2）12；15.
解析
【分析】
本题是直角三角形边长计算问题，核心运用勾股定理求解：
1. 第（1）问已知两条直角边a、b的长度，可直接将数值代入勾股定理公式，计算后开平方得到斜边c的长度，注意边长为正数，仅取正根。
2. 第（2）问给出b与c的比例关系和直角边a的长度，可先根据比例设参数k，将b、c用含k的代数式表示，再代入勾股定理列方程求出k的值，最后回代得到b、c的长度。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2$
代入$a=10$，$b=24$得：
$c^2=10^2+24^2=100+576=676$
∵$c$为三角形边长，$c＞0$
∴$c=\sqrt{676}=26$
（2）
∵$b:c=4:5$，设$b=4k$，$c=5k$（$k＞0$）
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
代入$a=9$，$b=4k$，$c=5k$得：
$9^2 + (4k)^2 = (5k)^2$
整理得：$81 + 16k^2 = 25k^2$
移项计算：$9k^2=81$，即$k^2=9$
∵$k＞0$，
∴$k=3$
则$b=4k=4×3=12$，$c=5k=5×3=15$
【答案】
（1）26；（2）12；15
【知识点】
勾股定理；按比例设元求解
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，既考查了公式的直接代入计算，也结合比例关系考查了参数法的运用，能帮助学生巩固勾股定理的使用场景，掌握含比例条件的边长计算技巧。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边长计算问题，核心运用勾股定理求解：
1. 第（1）问已知两条直角边a、b的长度，可直接将数值代入勾股定理公式，计算后开平方得到斜边c的长度，注意边长为正数，仅取正根。
2. 第（2）问给出b与c的比例关系和直角边a的长度，可先根据比例设参数k，将b、c用含k的代数式表示，再代入勾股定理列方程求出k的值，最后回代得到b、c的长度。
【解析】
（1）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$c^2=a^2+b^2$
代入$a=10$，$b=24$得：
$c^2=10^2+24^2=100+576=676$
∵$c$为三角形边长，$c＞0$
∴$c=\sqrt{676}=26$
（2）
∵$b:c=4:5$，设$b=4k$，$c=5k$（$k＞0$）
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = c^2$
代入$a=9$，$b=4k$，$c=5k$得：
$9^2 + (4k)^2 = (5k)^2$
整理得：$81 + 16k^2 = 25k^2$
移项计算：$9k^2=81$，即$k^2=9$
∵$k＞0$，
∴$k=3$
则$b=4k=4×3=12$，$c=5k=5×3=15$
【答案】
（1）26；（2）12；15
【知识点】
勾股定理；按比例设元求解
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，既考查了公式的直接代入计算，也结合比例关系考查了参数法的运用，能帮助学生巩固勾股定理的使用场景，掌握含比例条件的边长计算技巧。
【难度系数】
0.8
2. 已知：AD是锐角三角形ABC的高，AC=20，BC=24，AD=16. 求证：△ABC是等腰三角形.
答案
提示：在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理，得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-16^2}=12$，从而$BD=BC-CD=12=CD$. 进一步可证得$AB=AC$，$△ ABC$是等腰三角形.
解析
【分析】要证明△ABC是等腰三角形，核心是证明三角形有两边相等，本题可通过证明AB=AC完成求证。已知AD是三角形的高，可得△ACD、△ABD都是直角三角形，首先利用勾股定理计算Rt△ACD中CD的长度，再结合BC的总长求出BD的长度，通过线段相等关系结合全等三角形的性质即可推导出AB=AC。
【解析】证明：
∵AD是锐角三角形ABC的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ACD中，根据勾股定理可得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$
∵BC=24
∴$BD=BC-CD=24-12=12$，即$BD=CD$
在△ADB和△ADC中：
$\begin{cases} BD=CD \\ ∠ ADB=∠ ADC=90° \\ AD=AD \end{cases}$
∴△ADB≌△ADC（SAS）
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
【答案】△ABC是等腰三角形，得证。
【知识点】勾股定理；等腰三角形判定；全等三角形判定与性质
【点评】本题属于基础几何证明题，解题关键是利用三角形的高构造直角三角形，通过勾股定理得到相等的线段，再结合全等三角形的性质推导对应边相等，整体逻辑清晰，方法易掌握。
【难度系数】0.8
【解析】证明：
∵AD是锐角三角形ABC的高
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ACD中，根据勾股定理可得：
$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$
∵BC=24
∴$BD=BC-CD=24-12=12$，即$BD=CD$
在△ADB和△ADC中：
$\begin{cases} BD=CD \\ ∠ ADB=∠ ADC=90° \\ AD=AD \end{cases}$
∴△ADB≌△ADC（SAS）
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
【答案】△ABC是等腰三角形，得证。
【知识点】勾股定理；等腰三角形判定；全等三角形判定与性质
【点评】本题属于基础几何证明题，解题关键是利用三角形的高构造直角三角形，通过勾股定理得到相等的线段，再结合全等三角形的性质推导对应边相等，整体逻辑清晰，方法易掌握。
【难度系数】0.8
