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2. 在①6、8、10，②5、12、13，③8、15、17，④4、5、6这四组数中，勾股数有 （
A.4组；
B.3组；
C.2组；
D.1组.
B
）A.4组；
B.3组；
C.2组；
D.1组.
答案
2. B.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确勾股数的定义：三个正整数，如果满足其中两个较小数的平方和等于最大数的平方，这三个数就是勾股数。解题时我们逐一对四组数进行验证，先找出每组数中的最大数，再计算另外两个数的平方和，与最大数的平方对比，相等则为勾股数，最后统计符合条件的组数即可。
【解析】
勾股数的判定规则：三个正整数$a、b、c$（$c$为最大数），若满足$a^2 + b^2 = c^2$，则$a、b、c$为勾股数。
对四组数逐一验证：
① 组：最大数为10，计算得$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足条件，是勾股数；
② 组：最大数为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足条件，是勾股数；
③ 组：最大数为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，满足条件，是勾股数；
④ 组：最大数为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41≠36=6^2$，不满足条件，不是勾股数。
综上，勾股数共有3组。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股数的识别，解题时需注意勾股数必须同时符合“均为正整数”和“满足两小边平方和等于最大边平方”两个条件，熟记常见的勾股数可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确勾股数的定义：三个正整数，如果满足其中两个较小数的平方和等于最大数的平方，这三个数就是勾股数。解题时我们逐一对四组数进行验证，先找出每组数中的最大数，再计算另外两个数的平方和，与最大数的平方对比，相等则为勾股数，最后统计符合条件的组数即可。
【解析】
勾股数的判定规则：三个正整数$a、b、c$（$c$为最大数），若满足$a^2 + b^2 = c^2$，则$a、b、c$为勾股数。
对四组数逐一验证：
① 组：最大数为10，计算得$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足条件，是勾股数；
② 组：最大数为13，计算得$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足条件，是勾股数；
③ 组：最大数为17，计算得$8^2+15^2=64+225=289=17^2$，满足条件，是勾股数；
④ 组：最大数为6，计算得$4^2+5^2=16+25=41≠36=6^2$，不满足条件，不是勾股数。
综上，勾股数共有3组。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的定义，勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股数的识别，解题时需注意勾股数必须同时符合“均为正整数”和“满足两小边平方和等于最大边平方”两个条件，熟记常见的勾股数可快速完成判断。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，垂足为$D$，$AD=12$，$BD=16$，$CD=5$. 判断$△ ABC$是不是直角三角形，并说明理由. 
答案
3. $△ ABC$不是直角三角形. 理由如下：根据勾股定理，得$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}=400$，$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}=169$. 由$AB^{2}+AC^{2}=400+169=569$，$BC^{2}=(BD+CD)^{2}=441$，可知$BC＞AB＞AC$，且$AB^{2}+AC^{2}≠BC^{2}$，所以$△ ABC$不是直角三角形.
解析
【分析】
要判断一个三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形最长边的平方等于另外两条短边的平方和，则该三角形是直角三角形，反之则不是。本题可先借助AD⊥BC得到的两个直角三角形，用勾股定理分别算出AB²和AC²，再求出BC的长度得到BC²，最后验证三边的平方关系即可得出结论。
【解析】
解：△ABC不是直角三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=12^2+16^2=144+256=400$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，
又
∵BC=BD+CD=16+5=21，
∴$BC^2=21^2=441$，
比较三边长度可知BC为最长边，计算得：
$AB^2+AC^2=400+169=569≠441=BC^2$，
不满足勾股定理的逆定理，因此△ABC不是直角三角形。
【答案】
△ABC不是直角三角形。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题重点考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是先利用直角三角形的勾股定理求出待判定三角形各边的平方，验证时要先确定最长边，再验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和，避免因混淆边的大小导致判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断一个三角形是否为直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：若三角形最长边的平方等于另外两条短边的平方和，则该三角形是直角三角形，反之则不是。本题可先借助AD⊥BC得到的两个直角三角形，用勾股定理分别算出AB²和AC²，再求出BC的长度得到BC²，最后验证三边的平方关系即可得出结论。
【解析】
解：△ABC不是直角三角形，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=12^2+16^2=144+256=400$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC^2=AD^2+CD^2=12^2+5^2=144+25=169$，
又
∵BC=BD+CD=16+5=21，
∴$BC^2=21^2=441$，
比较三边长度可知BC为最长边，计算得：
$AB^2+AC^2=400+169=569≠441=BC^2$，
不满足勾股定理的逆定理，因此△ABC不是直角三角形。
【答案】
△ABC不是直角三角形。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题重点考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是先利用直角三角形的勾股定理求出待判定三角形各边的平方，验证时要先确定最长边，再验证最长边的平方是否等于另外两边的平方和，避免因混淆边的大小导致判断错误。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为边$AB$上一点，连接$CD$，$BD=5$，$DC=12$，$BC=13$. 求$△ ABC$的面积.
答案
4. 101.4. 提示：由$BD^{2}+CD^{2}=25+144=169$，$BC^{2}=169$，可得$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$，所以$△ BCD$是直角三角形. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，可以得到$AB=AC=16.9$.
解析
【分析】
首先观察△BCD的三边长：BD=5、DC=12、BC=13，可先通过勾股定理逆定理判断△BCD的形状，得到CD与AB的位置关系；再结合AB=AC的条件，设腰长为未知数，在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求出腰长，最后以AB为底、CD为高即可计算△ABC的面积。
【解析】
1. 判断△BCD的形状：
已知BD=5，DC=12，BC=13，
计算得：$BD^2+DC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$BC^2=13^2=169$，
因此$BD^2+DC^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得：$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，即$CD⊥ AB$，$∠ ADC=90°$。
2. 求等腰三角形腰长：
设$AB=AC=x$，因为D在AB上，BD=5，所以$AD=AB-BD=x-5$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：$AD^2+CD^2=AC^2$，
代入数值：$(x-5)^2+12^2=x^2$，
展开化简：$x^2-10x+25+144=x^2$，
消去$x^2$得：$-10x+169=0$，解得$x=16.9$，即$AB=16.9$。
3. 计算△ABC的面积：
因为$CD⊥ AB$，所以CD是AB边上的高，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×16.9×12=101.4$。
【答案】
$\boxed{101.4}$
【知识点】
勾股定理逆定理；勾股定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是几何综合计算题，解题的突破口是先通过勾股数识别直角三角形，得到AB边上的高，再结合等腰三角形的性质设未知数列方程求解，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.6
首先观察△BCD的三边长：BD=5、DC=12、BC=13，可先通过勾股定理逆定理判断△BCD的形状，得到CD与AB的位置关系；再结合AB=AC的条件，设腰长为未知数，在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求出腰长，最后以AB为底、CD为高即可计算△ABC的面积。
【解析】
1. 判断△BCD的形状：
已知BD=5，DC=12，BC=13，
计算得：$BD^2+DC^2=5^2+12^2=25+144=169$，$BC^2=13^2=169$，
因此$BD^2+DC^2=BC^2$，根据勾股定理逆定理可得：$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，即$CD⊥ AB$，$∠ ADC=90°$。
2. 求等腰三角形腰长：
设$AB=AC=x$，因为D在AB上，BD=5，所以$AD=AB-BD=x-5$。
在$Rt△ ADC$中，由勾股定理得：$AD^2+CD^2=AC^2$，
代入数值：$(x-5)^2+12^2=x^2$，
展开化简：$x^2-10x+25+144=x^2$，
消去$x^2$得：$-10x+169=0$，解得$x=16.9$，即$AB=16.9$。
3. 计算△ABC的面积：
因为$CD⊥ AB$，所以CD是AB边上的高，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD=\frac{1}{2}×16.9×12=101.4$。
【答案】
$\boxed{101.4}$
【知识点】
勾股定理逆定理；勾股定理；等腰三角形性质
【点评】
本题是几何综合计算题，解题的突破口是先通过勾股数识别直角三角形，得到AB边上的高，再结合等腰三角形的性质设未知数列方程求解，计算时注意不要出错。
【难度系数】
0.6
