登录
拓展与思考
6. 如图，大正方形ABCD是由八个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形MNKT组成的，设直角三角形较长的直角边(如ET)为a，较短的直角边(如HT)为b.
(1) 用含a、b的代数式表示正方形EFGH的面积S；
(2) 记正方形ABCD、正方形MNKT的边长分别为m、n. 若$m+n=10$，$m-n=8$，求直角三角形EHT与正方形EFGH的面积.
6. 如图，大正方形ABCD是由八个大小、形状都一样的直角三角形和小正方形MNKT组成的，设直角三角形较长的直角边(如ET)为a，较短的直角边(如HT)为b.
(1) 用含a、b的代数式表示正方形EFGH的面积S；
(2) 记正方形ABCD、正方形MNKT的边长分别为m、n. 若$m+n=10$，$m-n=8$，求直角三角形EHT与正方形EFGH的面积.
答案
6. (1) 由勾股定理，知$EH^2=ET^2+HT^2=a^2+b^2$，则正方形$EFGH$的面积$S=EH^2=a^2+b^2$.
(2) 直角三角形$EHT$的面积为10，正方形$EFGH$的面积为41. 提示：由$m+n=10$，$m-n=8$，得$m=9$，$n=1$. 根据题意，可知$m=a+b$，$n=a-b$，解得$a=5$，$b=4$. 所以，直角三角形$EHT$的面积为$\dfrac{1}{2}ab=10$. 由(1)，可知正方形$EFGH$的面积$S=a^2+b^2=41$.
(2) 直角三角形$EHT$的面积为10，正方形$EFGH$的面积为41. 提示：由$m+n=10$，$m-n=8$，得$m=9$，$n=1$. 根据题意，可知$m=a+b$，$n=a-b$，解得$a=5$，$b=4$. 所以，直角三角形$EHT$的面积为$\dfrac{1}{2}ab=10$. 由(1)，可知正方形$EFGH$的面积$S=a^2+b^2=41$.
解析
【分析】
(1) 求正方形EFGH的面积，核心是利用正方形面积=边长²的性质，正方形EFGH的边长EH是直角三角形EHT的斜边，因此可通过勾股定理求出斜边的平方，直接得到正方形的面积。
(2) 首先通过已知的m+n和m-n组成的二元一次方程组求解m、n的值；再观察图形可得：大正方形边长m=直角三角形长直角边+短直角边，小正方形边长n=长直角边-短直角边，据此列方程组求出a、b的值，最后分别代入三角形面积公式和(1)的结论计算即可。
【解析】
(1) 在Rt△EHT中，根据勾股定理：
$EH^2=ET^2+HT^2=a^2+b^2$
因为正方形EFGH的面积$S=EH^2$，所以$S=a^2+b^2$。
(2) 解关于m、n的方程组：
$\begin{cases}m+n=10\\m-n=8\end{cases}$
两式相加得$2m=18$，解得$m=9$，代入$m+n=10$得$n=1$。
结合图形边长关系可得$\begin{cases}a+b=m=9\\a-b=n=1\end{cases}$
两式相加得$2a=10$，解得$a=5$，代入$a+b=9$得$b=4$。
直角三角形EHT的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×5×4=10$；
由(1)的结论，正方形EFGH的面积$S=a^2+b^2=5^2+4^2=41$。
【答案】
(1) $S=a^2+b^2$
(2) 直角三角形EHT的面积为10，正方形EFGH的面积为41
【知识点】
勾股定理、二元一次方程组的应用、面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，需要准确梳理几何图形中的线段等量关系，再结合代数运算求解，能较好地考查对基础定理的应用能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求正方形EFGH的面积，核心是利用正方形面积=边长²的性质，正方形EFGH的边长EH是直角三角形EHT的斜边，因此可通过勾股定理求出斜边的平方，直接得到正方形的面积。
(2) 首先通过已知的m+n和m-n组成的二元一次方程组求解m、n的值；再观察图形可得：大正方形边长m=直角三角形长直角边+短直角边，小正方形边长n=长直角边-短直角边，据此列方程组求出a、b的值，最后分别代入三角形面积公式和(1)的结论计算即可。
【解析】
(1) 在Rt△EHT中，根据勾股定理：
$EH^2=ET^2+HT^2=a^2+b^2$
因为正方形EFGH的面积$S=EH^2$，所以$S=a^2+b^2$。
(2) 解关于m、n的方程组：
$\begin{cases}m+n=10\\m-n=8\end{cases}$
两式相加得$2m=18$，解得$m=9$，代入$m+n=10$得$n=1$。
结合图形边长关系可得$\begin{cases}a+b=m=9\\a-b=n=1\end{cases}$
两式相加得$2a=10$，解得$a=5$，代入$a+b=9$得$b=4$。
直角三角形EHT的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×5×4=10$；
由(1)的结论，正方形EFGH的面积$S=a^2+b^2=5^2+4^2=41$。
【答案】
(1) $S=a^2+b^2$
(2) 直角三角形EHT的面积为10，正方形EFGH的面积为41
【知识点】
勾股定理、二元一次方程组的应用、面积计算
【点评】
本题是数形结合的典型题型，需要准确梳理几何图形中的线段等量关系，再结合代数运算求解，能较好地考查对基础定理的应用能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知三角形的三边长分别为5 cm、12 cm、13 cm，那么这个三角形是
直角三角形
；答案
1. (1) 直角三角形.
解析
【分析】
遇到已知三角形三边长判断三角形形状的题目，可优先用勾股定理的逆定理验证：第一步先找出三边中的最长边，第二步分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方，第三步比较两个结果是否相等，若相等即可判定为直角三角形。
【解析】
解：首先确定该三角形的最长边为13 cm，
计算两条较短边的平方和：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
计算最长边的平方：$13^2 = 169$，
因此可得$5^2 + 12^2 = 13^2$，
根据勾股定理的逆定理，可判定这个三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理逆定理、直角三角形判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时注意先明确最长边再进行运算，避免平方计算错误即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
遇到已知三角形三边长判断三角形形状的题目，可优先用勾股定理的逆定理验证：第一步先找出三边中的最长边，第二步分别计算两条较短边的平方和、最长边的平方，第三步比较两个结果是否相等，若相等即可判定为直角三角形。
【解析】
解：首先确定该三角形的最长边为13 cm，
计算两条较短边的平方和：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，
计算最长边的平方：$13^2 = 169$，
因此可得$5^2 + 12^2 = 13^2$，
根据勾股定理的逆定理，可判定这个三角形是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理逆定理、直角三角形判定
【点评】
本题是基础题型，核心考查勾股定理逆定理的应用，解题时注意先明确最长边再进行运算，避免平方计算错误即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
(2) 已知三条线段长分别为8 cm、15 cm、x cm，如果这三条线段能组成一个直角三角形，那么x=
17或$\sqrt{161}$
。答案
(2) 17或$\sqrt{161}$.
解析
【分析】
题目给出三条线段可组成直角三角形，但未明确x是直角边还是斜边，因此需要结合勾股定理分两种情况讨论：第一种是x为斜边，此时8cm、15cm为直角边；第二种是15cm的线段为斜边，此时x和8cm的线段为直角边。分别根据勾股定理列方程求解，注意线段长度为正数，舍去负根即可得到正确结果。
【解析】
解：分两种情况计算：
① 当x为斜边长时，根据勾股定理可得：
$x^2=8^2+15^2$
计算得$x^2=64+225=289$
由于线段长度为正，因此$x=\sqrt{289}=17$（cm）
② 当15cm的线段为斜边长时，x为直角边长，根据勾股定理可得：
$15^2=8^2+x^2$
整理得$x^2=225-64=161$
由于线段长度为正，因此$x=\sqrt{161}$（cm）
综上，x的取值为17或$\sqrt{161}$。
【答案】
17或$\sqrt{161}$
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认未知边x为斜边，忽略15cm也可能是斜边的情况导致漏解，解题时若直角三角形未明确斜边，需要分最长边为已知边、未知边两种情况分别计算。
【难度系数】
0.6
题目给出三条线段可组成直角三角形，但未明确x是直角边还是斜边，因此需要结合勾股定理分两种情况讨论：第一种是x为斜边，此时8cm、15cm为直角边；第二种是15cm的线段为斜边，此时x和8cm的线段为直角边。分别根据勾股定理列方程求解，注意线段长度为正数，舍去负根即可得到正确结果。
【解析】
解：分两种情况计算：
① 当x为斜边长时，根据勾股定理可得：
$x^2=8^2+15^2$
计算得$x^2=64+225=289$
由于线段长度为正，因此$x=\sqrt{289}=17$（cm）
② 当15cm的线段为斜边长时，x为直角边长，根据勾股定理可得：
$15^2=8^2+x^2$
整理得$x^2=225-64=161$
由于线段长度为正，因此$x=\sqrt{161}$（cm）
综上，x的取值为17或$\sqrt{161}$。
【答案】
17或$\sqrt{161}$
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认未知边x为斜边，忽略15cm也可能是斜边的情况导致漏解，解题时若直角三角形未明确斜边，需要分最长边为已知边、未知边两种情况分别计算。
【难度系数】
0.6
