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5. 如图，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC和直角边AB、AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，阴影部分记为Ⅱ. 试探究Ⅰ与Ⅱ两部分面积有怎样的数量关系，并请说明理由.
答案
两部分面积相等，理由略. 提示：设$BC=2a$，$AB=2c$，$AC=2b$，Ⅰ的面积为$S_1$，Ⅱ的面积为$S_2$. 由勾股定理，得$BC^2=AB^2+AC^2$，则$a^2=c^2+b^2$，再由三角形的面积公式和圆的面积公式证明$S_1=S_2$，即可得出结论.
解析
【分析】
要探究区域Ⅰ和Ⅱ的面积关系，我们可以先分别表示出两部分的面积，再结合直角三角形的勾股定理化简对比。首先，阴影部分Ⅱ是不规则图形，需用割补法表示：两个以直角边为直径的小半圆面积加上三角形ABC的面积，再减去以斜边为直径的大半圆面积，就能得到Ⅱ的面积；区域Ⅰ就是直角三角形ABC的面积。再利用勾股定理建立三边的关系，代入面积表达式化简即可得到两者的数量关系。
【解析】
解：设$BC=2a$，$AB=2c$，$AC=2b$，区域Ⅰ的面积为$S_1$，区域Ⅱ的面积为$S_2$。
∵ $△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，即$(2c)^2+(2b)^2=(2a)^2$，化简得$b^2+c^2=a^2$。
区域Ⅰ是$△ ABC$的面积，因此：
$S_1=\frac{1}{2} × AB × AC=\frac{1}{2} × 2c × 2b=2bc$。
区域Ⅱ的面积为两个小半圆的面积和加上$S_1$，再减去以BC为直径的大半圆的面积：
$\begin{aligned}S_2&=\frac{1}{2}π c^2 + \frac{1}{2}π b^2 + S_1 - \frac{1}{2}π a^2 \\&=\frac{1}{2}π(b^2+c^2-a^2) + S_1\end{aligned}$
将$b^2+c^2=a^2$代入上式，得$\frac{1}{2}π(a^2 -a^2)+S_1=S_1$。
因此$S_1=S_2$。
【答案】
Ⅰ与Ⅱ两部分面积相等，即$S_Ⅰ=S_Ⅱ$。
【知识点】
勾股定理；圆的面积计算；割补法求阴影面积
【点评】
本题是典型的面积探究题，解题关键是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的和差，再结合勾股定理消去圆周率相关的项，即可快速得到结论，能较好地考察图形转化能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
要探究区域Ⅰ和Ⅱ的面积关系，我们可以先分别表示出两部分的面积，再结合直角三角形的勾股定理化简对比。首先，阴影部分Ⅱ是不规则图形，需用割补法表示：两个以直角边为直径的小半圆面积加上三角形ABC的面积，再减去以斜边为直径的大半圆面积，就能得到Ⅱ的面积；区域Ⅰ就是直角三角形ABC的面积。再利用勾股定理建立三边的关系，代入面积表达式化简即可得到两者的数量关系。
【解析】
解：设$BC=2a$，$AB=2c$，$AC=2b$，区域Ⅰ的面积为$S_1$，区域Ⅱ的面积为$S_2$。
∵ $△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，由勾股定理得：
$AB^2+AC^2=BC^2$，即$(2c)^2+(2b)^2=(2a)^2$，化简得$b^2+c^2=a^2$。
区域Ⅰ是$△ ABC$的面积，因此：
$S_1=\frac{1}{2} × AB × AC=\frac{1}{2} × 2c × 2b=2bc$。
区域Ⅱ的面积为两个小半圆的面积和加上$S_1$，再减去以BC为直径的大半圆的面积：
$\begin{aligned}S_2&=\frac{1}{2}π c^2 + \frac{1}{2}π b^2 + S_1 - \frac{1}{2}π a^2 \\&=\frac{1}{2}π(b^2+c^2-a^2) + S_1\end{aligned}$
将$b^2+c^2=a^2$代入上式，得$\frac{1}{2}π(a^2 -a^2)+S_1=S_1$。
因此$S_1=S_2$。
【答案】
Ⅰ与Ⅱ两部分面积相等，即$S_Ⅰ=S_Ⅱ$。
【知识点】
勾股定理；圆的面积计算；割补法求阴影面积
【点评】
本题是典型的面积探究题，解题关键是通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的和差，再结合勾股定理消去圆周率相关的项，即可快速得到结论，能较好地考察图形转化能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
