9. (1)小欣遇到这样一个问题:
如图1,在等边三角形ABC中,$AD⊥BC$于点D,E为AB上的一点,BE的垂直平分线交AD于点F,交AB于点G,连结EF、FC,求$∠EFC$的度数.
小欣思考后发现,可以用两种方法解决问题.
方法一:通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形内角和定理直接计算可解决问题;
方法二:过点F作$FM⊥AC$于点M,构造全等三角形可以解决问题.
请你选择以上两种方法中的一种解决上述问题.

(第9题图)
(2)参考小欣思考问题的方法,解决下列问题:
如图2,在等腰三角形ABC中,$AB=AC,AD⊥$
BC于点D,E为BA延长线上的一点,BE的垂直平分线交AD于点F,交AB于点G,连结EF、FC,猜想$∠CAD$与$∠FCE$的数量关系,补全图形并加以证明.

9. (1)方法一:如图1,连结$BF$并延长,交$AC$于点$H$.

$\because \ FG$是$BE$的垂直平分线,
$\therefore \ FE=FB.$
$\therefore \ ∠ FEB=∠ FBE.$
$\therefore \ ∠ HFE=2∠ FBE.$
$\because \ △ ABC$为等边三角形,$AD⊥ BC,$
$\therefore \ FD$是$BC$的垂直平分线.
$\therefore \ FB=FC.$
$\therefore \ ∠ FBC=∠ FCB.$
$\therefore \ ∠ HFC=2∠ FBC.$
$\therefore \ ∠ EFC = ∠ HFE+∠ HFC$
$=2(∠ FBE+∠ FBC)$
$=2∠ ABC=120°.$
方法二:过点$F$作$FM⊥ AC$于点$M$,连结$BF$.
易证 $△ AFG ≌ △ AFM\ (\mathrm{AAS})$ , $△ GEF ≌ △ MCF(\mathrm{HL}).$
$\therefore \ ∠ EFC=∠ GFM=120°.$
(2)猜想:$∠ CAD=∠ FCE.$
补全图形如图2,连结$BF$、$CE$,易知$∠ FEB=∠ EBF=∠ FCA.$

$\because \ ∠ FEB + ∠ AME + ∠ MAE = 180°,$
$∠ FCA+∠ FMC+∠ EFC=180°,$
$\therefore \ ∠ EAC=∠ EFC.$
$\because \ ∠ BAD + ∠ CAD + ∠ EAC = 180°,$
$∠ FEC + ∠ FCE + ∠ EFC = 180°, ∠ BAD = ∠ CAD, ∠ FEC = ∠ FCE,$
$\therefore \ ∠ CAD=∠ FCE.$

10.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=30°$,$∠ C=40°$.
(1)尺规作图:①作边AB的垂直平分线,交BC于点D,垂足为点F;②连结AD,作$∠ CAD$的平分线,交BC于点E.(要求:保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)所作的图中,求$∠ DAE$的度数.

(第10题图)

10. (1)如图,直线$DF$、射线$AE$即为所求.

(2)$\because \ DF$垂直平分线段$AB$,
$\therefore \ DB=DA.$
$\therefore \ ∠ DAB=∠ B=30°.$
$\because \ ∠ C=40°,$
$\therefore \ ∠ BAC=180°-30°-40°=110°.$
$\therefore \ ∠ CAD=110°-30°=80°.$
$\because \ AE$平分$∠ DAC,$
$\therefore \ ∠ DAE=\dfrac{1}{2}∠ DAC=40°.$