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8.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是边BC上一动点,则DP长的最小值为(
A.2
B.3
C.4
D.1
C
).A.2
B.3
C.4
D.1
答案
8.C
解析
【分析】
要找DP长的最小值，根据“垂线段最短”，可知当DP⊥BC时，DP的长度最小，接下来只需推导此时DP的长度即可：首先利用已知的直角和等角关系，推出BD是∠ABC的角平分线，再结合角平分线的性质，即可得到DP与已知AD的等量关系，从而求出最小值。
【解析】
1. 确定DP取最小值的情况：根据垂线段最短，当DP⊥BC时，DP的长度最小。
2. 推导BD为角平分线：
∵ ∠A=90°，BD⊥CD，
∴ ∠A=∠BDC=90°，
又
∵ ∠ADB=∠C，结合三角形内角和为180°，可得：
∠ABD=180°-∠A-∠ADB，∠DBC=180°-∠BDC-∠C，
∴ ∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。
3. 利用角平分线性质计算DP长度：
∵ BD平分∠ABC，DA⊥AB，DP⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DP=AD=4，即DP长的最小值为4。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何最值基础题，解题的关键是先结合垂线段的性质确定DP取最小值的位置，再通过角度推导得到角平分线，进而利用角平分线的性质求解，考查了学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要找DP长的最小值，根据“垂线段最短”，可知当DP⊥BC时，DP的长度最小，接下来只需推导此时DP的长度即可：首先利用已知的直角和等角关系，推出BD是∠ABC的角平分线，再结合角平分线的性质，即可得到DP与已知AD的等量关系，从而求出最小值。
【解析】
1. 确定DP取最小值的情况：根据垂线段最短，当DP⊥BC时，DP的长度最小。
2. 推导BD为角平分线：
∵ ∠A=90°，BD⊥CD，
∴ ∠A=∠BDC=90°，
又
∵ ∠ADB=∠C，结合三角形内角和为180°，可得：
∠ABD=180°-∠A-∠ADB，∠DBC=180°-∠BDC-∠C，
∴ ∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。
3. 利用角平分线性质计算DP长度：
∵ BD平分∠ABC，DA⊥AB，DP⊥BC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DP=AD=4，即DP长的最小值为4。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何最值基础题，解题的关键是先结合垂线段的性质确定DP取最小值的位置，再通过角度推导得到角平分线，进而利用角平分线的性质求解，考查了学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9.如图，$△ ABD$与$△ ACE$均为等边三角形，$BE$，$CD$交于点$O$，则$∠ BOC$的度数是（
A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$150°$
C
）.A.$100°$
B.$110°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
9.C
解析
【分析】
首先观察题目给出的两个等边三角形，可先利用等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质，推导得到△DAC和△BAE的两组对应边相等，再通过角的和的关系得到相等的夹角，用SAS证明两个三角形全等；得到全等后对应角相等，再结合三角形外角的性质，通过角的等量代换即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵△ABD和△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DAB + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB \\∠DAC=∠BAE \\AC=AE\end{array} $
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠BOC是△BDO的外角，
∴∠BOC=∠ODB + ∠OBD，
又
∵∠OBD=∠ABD + ∠ABE=60°+∠ABE，∠ODB=∠ADB - ∠ADC=60°-∠ADC，
将∠ADC=∠ABE代入得：
∠BOC=(60°-∠ADC)+(60°+∠ABE)=120°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型题型，解题核心是利用等边三角形的性质构造全等三角形，再通过角的等量代换求解角度，熟练掌握全等的判定方法和几何中角的转化技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的两个等边三角形，可先利用等边三角形三边相等、三个内角均为60°的性质，推导得到△DAC和△BAE的两组对应边相等，再通过角的和的关系得到相等的夹角，用SAS证明两个三角形全等；得到全等后对应角相等，再结合三角形外角的性质，通过角的等量代换即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵△ABD和△ACE均为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DAB + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB \\∠DAC=∠BAE \\AC=AE\end{array} $
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠BOC是△BDO的外角，
∴∠BOC=∠ODB + ∠OBD，
又
∵∠OBD=∠ABD + ∠ABE=60°+∠ABE，∠ODB=∠ADB - ∠ADC=60°-∠ADC，
将∠ADC=∠ABE代入得：
∠BOC=(60°-∠ADC)+(60°+∠ABE)=120°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的典型题型，解题核心是利用等边三角形的性质构造全等三角形，再通过角的等量代换求解角度，熟练掌握全等的判定方法和几何中角的转化技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,$P,Q$分别是$BC,AC$上的点,作$PR⊥ AB$,垂足为$R$,$PS⊥ AC$,垂足为$S$,且$AQ=PQ$,$PS=PR$.有下列结论:①$AS=AR$;②$PQ// AB$;③$AR=\frac{1}{2}(AB+AQ)$;④$S_{△ APR}-S_{△ BPR}=S_{△ APQ}$.其中正确的结论有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先从已知的“PR⊥AB，PS⊥AC且PS=PR”入手，根据角平分线的判定定理得到AP是∠BAC的角平分线，再结合全等三角形的判定验证结论①；接着利用“AQ=PQ”得到等腰三角形的等角关系，结合角平分线的性质推导线角相等，判断结论②；最后分析结论③④时，注意题目没有给出P是BC中点等额外条件，无法推导对应的线段或面积等量关系，逐一排除错误结论即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP=∠ASP=90°
在Rt△APR和Rt△APS中：
$\{\begin{array}{l}AP=AP\\ PR=PS\end{array} $
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS=AR，故①正确。
2. 验证结论②：
∵AQ=PQ，
∴∠QAP=∠QPA
∵AP平分∠BAC，
∴∠QAP=∠BAP
∴∠QPA=∠BAP，内错角相等，两直线平行，
∴PQ//AB，故②正确。
3. 验证结论③：
要使$AR=\frac{1}{2}(AB+AQ)$成立，需满足$2AR=AB+AQ$，结合$AR=AS=AQ+QS$、$AB=AR+BR$，代入可得$BR=QS$，但题目未给出P为BC中点、△ABC是等腰三角形等条件，无法证明$BR=QS$，故③错误。
4. 验证结论④：
$S_{△APR}-S_{△BPR}=\frac{1}{2}PR·AR-\frac{1}{2}PR·BR=\frac{1}{2}PR(AR-BR)$，$S_{△APQ}=\frac{1}{2}AQ·PS$，又
∵PS=PR，要使两个面积相等需满足$AR-BR=AQ$，结合$AR=AQ+QS$，仍需证明$BR=QS$，无对应条件支撑，故④错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何结论判断题，综合考查了三角形的多个基础性质，解题时要注意仅用题目给出的条件推导，不要自行添加未给出的隐含条件（如默认P是BC中点等），即可准确判断所有结论的正误。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的“PR⊥AB，PS⊥AC且PS=PR”入手，根据角平分线的判定定理得到AP是∠BAC的角平分线，再结合全等三角形的判定验证结论①；接着利用“AQ=PQ”得到等腰三角形的等角关系，结合角平分线的性质推导线角相等，判断结论②；最后分析结论③④时，注意题目没有给出P是BC中点等额外条件，无法推导对应的线段或面积等量关系，逐一排除错误结论即可。
【解析】
1. 验证结论①：
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴∠ARP=∠ASP=90°
在Rt△APR和Rt△APS中：
$\{\begin{array}{l}AP=AP\\ PR=PS\end{array} $
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS=AR，故①正确。
2. 验证结论②：
∵AQ=PQ，
∴∠QAP=∠QPA
∵AP平分∠BAC，
∴∠QAP=∠BAP
∴∠QPA=∠BAP，内错角相等，两直线平行，
∴PQ//AB，故②正确。
3. 验证结论③：
要使$AR=\frac{1}{2}(AB+AQ)$成立，需满足$2AR=AB+AQ$，结合$AR=AS=AQ+QS$、$AB=AR+BR$，代入可得$BR=QS$，但题目未给出P为BC中点、△ABC是等腰三角形等条件，无法证明$BR=QS$，故③错误。
4. 验证结论④：
$S_{△APR}-S_{△BPR}=\frac{1}{2}PR·AR-\frac{1}{2}PR·BR=\frac{1}{2}PR(AR-BR)$，$S_{△APQ}=\frac{1}{2}AQ·PS$，又
∵PS=PR，要使两个面积相等需满足$AR-BR=AQ$，结合$AR=AQ+QS$，仍需证明$BR=QS$，无对应条件支撑，故④错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题属于几何结论判断题，综合考查了三角形的多个基础性质，解题时要注意仅用题目给出的条件推导，不要自行添加未给出的隐含条件（如默认P是BC中点等），即可准确判断所有结论的正误。
【难度系数】
0.6
二、填空题
11.如图，在$△ ABC$和$△ DCB$中，$AB=DC$.若不添加任何字母与辅助线，要使$△ ABC ≌ △ DCB$，则可以增加的一个条件是
11.如图，在$△ ABC$和$△ DCB$中，$AB=DC$.若不添加任何字母与辅助线，要使$△ ABC ≌ △ DCB$，则可以增加的一个条件是
$AC=BD$ 或$∠ABC=∠DCB$
.答案
11.$AC=BD$ 或$∠ABC=∠DCB$
解析
【分析】
要解决这道题，首先梳理已知条件和隐含条件：已知$AB=DC$，两个三角形共边$BC$，可得$BC=CB$，即已经有两组边对应相等。接下来回忆三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），结合“不添加任何字母与辅助线”的要求，可从两个方向补充条件：一是补充第三组边对应相等，用SSS判定全等；二是补充已知两组边的夹角对应相等，用SAS判定全等，注意SSA不能判定三角形全等，不能补充夹角以外的角相等的条件。
【解析】
解：已知在$△ ABC$和$△ DCB$中，$AB=DC$，且$BC$是两个三角形的公共边，因此$BC=CB$。
① 若依据“SSS（三边对应相等的两个三角形全等）”判定全等，可添加第三组对应边相等的条件$AC=BD$，此时：
$\begin{cases} AB=DC \\ BC=CB \\ AC=BD \end{cases}$，故$△ ABC ≌ △ DCB$（SSS）。
② 若依据“SAS（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）”判定全等，可添加已知两组边的夹角相等的条件$∠ ABC=∠ DCB$，此时：
$\begin{cases} AB=DC \\ ∠ ABC=∠ DCB \\ BC=CB \end{cases}$，故$△ ABC ≌ △ DCB$（SAS）。
因此可以增加的条件为$AC=BD$或$∠ ABC=∠ DCB$。
【答案】
$AC=BD$（或$∠ ABC=∠ DCB$）
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 公共边的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础开放题，解题关键是先提取题干给出的相等边和公共边这一隐含条件，再结合全等判定定理补充合适的条件即可，需注意SSA无法判定三角形全等，避免补充错误条件。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先梳理已知条件和隐含条件：已知$AB=DC$，两个三角形共边$BC$，可得$BC=CB$，即已经有两组边对应相等。接下来回忆三角形全等的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS），结合“不添加任何字母与辅助线”的要求，可从两个方向补充条件：一是补充第三组边对应相等，用SSS判定全等；二是补充已知两组边的夹角对应相等，用SAS判定全等，注意SSA不能判定三角形全等，不能补充夹角以外的角相等的条件。
【解析】
解：已知在$△ ABC$和$△ DCB$中，$AB=DC$，且$BC$是两个三角形的公共边，因此$BC=CB$。
① 若依据“SSS（三边对应相等的两个三角形全等）”判定全等，可添加第三组对应边相等的条件$AC=BD$，此时：
$\begin{cases} AB=DC \\ BC=CB \\ AC=BD \end{cases}$，故$△ ABC ≌ △ DCB$（SSS）。
② 若依据“SAS（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等）”判定全等，可添加已知两组边的夹角相等的条件$∠ ABC=∠ DCB$，此时：
$\begin{cases} AB=DC \\ ∠ ABC=∠ DCB \\ BC=CB \end{cases}$，故$△ ABC ≌ △ DCB$（SAS）。
因此可以增加的条件为$AC=BD$或$∠ ABC=∠ DCB$。
【答案】
$AC=BD$（或$∠ ABC=∠ DCB$）
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 公共边的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础开放题，解题关键是先提取题干给出的相等边和公共边这一隐含条件，再结合全等判定定理补充合适的条件即可，需注意SSA无法判定三角形全等，避免补充错误条件。
【难度系数】
0.8
12.如图,点 C 是∠AOB 平分线上的一点,点 P,P'分别在边 OB,OA 上,如果要得到$OP=OP'$,只需要添加下列条件中的一个即可.所有符合条件的序号为
①$∠ OPC=∠ OP'C$;②$∠ OCP=∠ OCP'$;③$PC=P'C$;④$PP'⊥ OC$.
①②④
.①$∠ OPC=∠ OP'C$;②$∠ OCP=∠ OCP'$;③$PC=P'C$;④$PP'⊥ OC$.
答案
12.①②④
解析
【分析】
已知OC是∠AOB的角平分线，可得∠POC=∠P'OC，且OC为公共边，要得到OP=OP'，可通过证明△OPC与△OP'C全等，或利用等腰三角形三线合一的性质，逐个验证给出的4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
∵OC平分∠AOB，
∴∠POC=∠P'OC，OC=OC（公共边）。
1. 添加条件①∠OPC=∠OP'C时：
在△OPC和△OP'C中，
$\{\begin{array}{l}∠OPC=∠OP'C \\∠POC=∠P'OC \\OC=OC\end{array} $
∴△OPC≌△OP'C（AAS），可得对应边OP=OP'，故①符合要求；
2. 添加条件②∠OCP=∠OCP'时：
在△OPC和△OP'C中，
$\{\begin{array}{l}∠POC=∠P'OC \\OC=OC \\∠OCP=∠OCP'\end{array} $
∴△OPC≌△OP'C（ASA），可得对应边OP=OP'，故②符合要求；
3. 添加条件③PC=P'C时：
此时已知条件为∠POC=∠P'OC、OC=OC、PC=P'C，属于“SSA”的组合，不能判定△OPC与△OP'C全等，无法推出OP=OP'，故③不符合要求；
4. 添加条件④PP'⊥OC时，设PP'与OC交于点E：
在△OPE和△OP'E中，
$\{\begin{array}{l}∠POE=∠P'OE \\OE=OE \\∠OEP=∠OEP'=90°\end{array} $
∴△OPE≌△OP'E（ASA），可得对应边OP=OP'，故④符合要求。
综上，符合条件的序号为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定条件，明确SSA不能作为三角形全等的判定依据，结合已知条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
已知OC是∠AOB的角平分线，可得∠POC=∠P'OC，且OC为公共边，要得到OP=OP'，可通过证明△OPC与△OP'C全等，或利用等腰三角形三线合一的性质，逐个验证给出的4个条件是否满足判定要求即可。
【解析】
∵OC平分∠AOB，
∴∠POC=∠P'OC，OC=OC（公共边）。
1. 添加条件①∠OPC=∠OP'C时：
在△OPC和△OP'C中，
$\{\begin{array}{l}∠OPC=∠OP'C \\∠POC=∠P'OC \\OC=OC\end{array} $
∴△OPC≌△OP'C（AAS），可得对应边OP=OP'，故①符合要求；
2. 添加条件②∠OCP=∠OCP'时：
在△OPC和△OP'C中，
$\{\begin{array}{l}∠POC=∠P'OC \\OC=OC \\∠OCP=∠OCP'\end{array} $
∴△OPC≌△OP'C（ASA），可得对应边OP=OP'，故②符合要求；
3. 添加条件③PC=P'C时：
此时已知条件为∠POC=∠P'OC、OC=OC、PC=P'C，属于“SSA”的组合，不能判定△OPC与△OP'C全等，无法推出OP=OP'，故③不符合要求；
4. 添加条件④PP'⊥OC时，设PP'与OC交于点E：
在△OPE和△OP'E中，
$\{\begin{array}{l}∠POE=∠P'OE \\OE=OE \\∠OEP=∠OEP'=90°\end{array} $
∴△OPE≌△OP'E（ASA），可得对应边OP=OP'，故④符合要求。
综上，符合条件的序号为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定条件，明确SSA不能作为三角形全等的判定依据，结合已知条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
13.如图，D是∠MAN内部一点，DE⊥AM，垂足为E，DF⊥AN，垂足为F，且DE=DF.B是射线AM上一点，且点B在点E的右侧，AB=6，BE=2，在射线AN上取一点C，使得DC=DB，则AC的长为
6或10
.答案
13.6或10
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先由DE⊥AM、DF⊥AN且DE=DF，结合角平分线的判定定理可知AD平分∠MAN，再通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF；2. 结合已知AB=6、BE=2，计算可得AE的长度，进而得到AF的长度；3. 再由DC=DB、DE=DF，通过HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得CF=BE=2；4. 由于满足DC=DB的点C在射线AN上有2种位置，需分情况计算AC的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵DE⊥AM，DF⊥AN，且DE=DF，
∴AD平分∠MAN，∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF。
已知AB=6，BE=2，点B在点E右侧，
∴AE=AB-BE=4，即AF=4。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}DB=DC\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴CF=BE=2。
分两种情况讨论：
① 当点C位于线段AF上时，AC=AF + (AB - AE) = 4 + (6 - 4) = 6；
② 当点C位于AF的延长线（远离A的一侧）上时，AC=AB + 2BE = 6 + 4 = 10。
综上，AC的长为6或10。
【答案】
6或10
【知识点】
角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查角平分线相关性质和直角三角形全等的判定，解题的关键是明确满足DC=DB的点C有两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先由DE⊥AM、DF⊥AN且DE=DF，结合角平分线的判定定理可知AD平分∠MAN，再通过HL证明Rt△ADE≌Rt△ADF，得到AE=AF；2. 结合已知AB=6、BE=2，计算可得AE的长度，进而得到AF的长度；3. 再由DC=DB、DE=DF，通过HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，可得CF=BE=2；4. 由于满足DC=DB的点C在射线AN上有2种位置，需分情况计算AC的长度，避免漏解。
【解析】
解：
∵DE⊥AM，DF⊥AN，且DE=DF，
∴AD平分∠MAN，∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF。
已知AB=6，BE=2，点B在点E右侧，
∴AE=AB-BE=4，即AF=4。
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}DB=DC\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴CF=BE=2。
分两种情况讨论：
① 当点C位于线段AF上时，AC=AF + (AB - AE) = 4 + (6 - 4) = 6；
② 当点C位于AF的延长线（远离A的一侧）上时，AC=AB + 2BE = 6 + 4 = 10。
综上，AC的长为6或10。
【答案】
6或10
【知识点】
角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，分类讨论思想
【点评】
本题主要考查角平分线相关性质和直角三角形全等的判定，解题的关键是明确满足DC=DB的点C有两种位置，避免漏解。
【难度系数】
0.6
14.如图，$BE=CD$，$AD=AE$，$∠1=∠2=110°$，$∠ BAE=60°$，则$∠ CAE=$
$20°$
。答案
14.$20°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用邻补角的性质和等腰三角形等边对等角的性质，求出△ADE的内角∠DAE的度数；再通过已知的边相等和角相等的条件，证明△ABE和△ACD全等，得到∠CAD的度数；最后用∠CAD减去∠DAE即可得到∠CAE的度数。
【解析】
1. 求∠DAE的度数：
∵∠1=110°，∠1与∠ADE互为邻补角，
∴∠ADE=180°-∠1=180°-110°=70°。
又
∵AD=AE，△ADE为等腰三角形，
∴∠AED=∠ADE=70°。
根据三角形内角和为180°，得：
∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-70°-70°=40°。
2. 证明△ABE≌△ACD：
∵∠ADC=∠ADE=70°，∠AEB=∠AED=70°，
∴∠ADC=∠AEB。
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AD(\mathrm{已知})\\∠AEB=∠ADC(\mathrm{已证})\\BE=CD(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
3. 计算∠CAE：
由全等三角形对应角相等，得∠CAD=∠BAE=60°，
∴∠CAE=∠CAD-∠DAE=60°-40°=20°。
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是先利用等腰三角形性质求出中间角∠DAE的度数，再通过全等三角形得到对应角相等，最终推导所求角的度数，需要熟练掌握全等三角形的判定规则和等腰三角形的性质。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先利用邻补角的性质和等腰三角形等边对等角的性质，求出△ADE的内角∠DAE的度数；再通过已知的边相等和角相等的条件，证明△ABE和△ACD全等，得到∠CAD的度数；最后用∠CAD减去∠DAE即可得到∠CAE的度数。
【解析】
1. 求∠DAE的度数：
∵∠1=110°，∠1与∠ADE互为邻补角，
∴∠ADE=180°-∠1=180°-110°=70°。
又
∵AD=AE，△ADE为等腰三角形，
∴∠AED=∠ADE=70°。
根据三角形内角和为180°，得：
∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=180°-70°-70°=40°。
2. 证明△ABE≌△ACD：
∵∠ADC=∠ADE=70°，∠AEB=∠AED=70°，
∴∠ADC=∠AEB。
在△ABE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AD(\mathrm{已知})\\∠AEB=∠ADC(\mathrm{已证})\\BE=CD(\mathrm{已知})\end{array} $
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
3. 计算∠CAE：
由全等三角形对应角相等，得∠CAD=∠BAE=60°，
∴∠CAE=∠CAD-∠DAE=60°-40°=20°。
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是先利用等腰三角形性质求出中间角∠DAE的度数，再通过全等三角形得到对应角相等，最终推导所求角的度数，需要熟练掌握全等三角形的判定规则和等腰三角形的性质。
【难度系数】
0.7
15.如图，$AC=BC$，$AC⊥ BC$，$BE⊥ AD$，垂足为$F$.若$BC=5$，$CD=2$，则$S_{△ AED}=$
3
.答案
15.3
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直和边相等条件入手：首先由AC⊥BC、BE⊥AD可推出∠CBE和∠CAD相等（同角的余角相等），结合AC=BC、一组直角相等可证明△BCE和△ACD全等，得到CE的长度；再计算出AE的长度，最后利用AC⊥BD的条件，以AE为底、CD为高计算△AED的面积即可。
【解析】
解：
∵ AC⊥BC，
∴ ∠BCE=∠ACD=90°，
∴ ∠CBE + ∠BEC = 90°，
∵ BE⊥AD，
∴ ∠AFE=90°，
∴ ∠CAD + ∠AEF = 90°，
又
∵ ∠BEC=∠AEF（对顶角相等），
∴ ∠CBE=∠CAD。
在△BCE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠CBE=∠CAD \\BC=AC=5 \\∠BCE=∠ACD=90°\end{array} $
∴ △BCE≌△ACD（ASA），
∴ CE=CD=2，
∵ AC=BC=5，
∴ AE=AC - CE = 5 - 2 = 3，
又
∵ AC⊥BD，即CD⊥AC，点D到直线AC的距离为CD的长度，
∴ $S_{△AED}=\frac{1}{2}×AE×CD=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，余角的性质
【点评】
本题需要结合垂直关系推导角相等，进而证明三角形全等得到对应边的长度，再利用三角形面积公式求解，解题的关键是准确找到全等三角形，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的垂直和边相等条件入手：首先由AC⊥BC、BE⊥AD可推出∠CBE和∠CAD相等（同角的余角相等），结合AC=BC、一组直角相等可证明△BCE和△ACD全等，得到CE的长度；再计算出AE的长度，最后利用AC⊥BD的条件，以AE为底、CD为高计算△AED的面积即可。
【解析】
解：
∵ AC⊥BC，
∴ ∠BCE=∠ACD=90°，
∴ ∠CBE + ∠BEC = 90°，
∵ BE⊥AD，
∴ ∠AFE=90°，
∴ ∠CAD + ∠AEF = 90°，
又
∵ ∠BEC=∠AEF（对顶角相等），
∴ ∠CBE=∠CAD。
在△BCE和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠CBE=∠CAD \\BC=AC=5 \\∠BCE=∠ACD=90°\end{array} $
∴ △BCE≌△ACD（ASA），
∴ CE=CD=2，
∵ AC=BC=5，
∴ AE=AC - CE = 5 - 2 = 3，
又
∵ AC⊥BD，即CD⊥AC，点D到直线AC的距离为CD的长度，
∴ $S_{△AED}=\frac{1}{2}×AE×CD=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，余角的性质
【点评】
本题需要结合垂直关系推导角相等，进而证明三角形全等得到对应边的长度，再利用三角形面积公式求解，解题的关键是准确找到全等三角形，理清线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
16.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$.$AP$平分$∠ BAC$交$BC$于点$P$，则$PC$的长为________.
答案
16.3
解析
【分析】
看到AP是∠BAC的角平分线，且∠C为直角，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过P作AB的垂线PD，可得PC=PD。再通过HL证明Rt△ACP≌Rt△ADP，得到AD=AC=6，进而求出BD的长度。最后设PC为x，用x表示出PB的长度，在Rt△PBD中利用勾股定理列方程即可求解PC的长。
【解析】
过点P作PD⊥AB于点D。
∵ AP平分∠BAC，∠C=90°，PD⊥AB，
∴ PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
$\{\begin{array}{l}AP=AP\\ PC=PD\end{array} $
∴ Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴ AD=AC=6，
∴ BD=AB-AD=10-6=4。
设PC=x，则PD=x，PB=BC-PC=8-x，
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
$PD^2 + BD^2 = PB^2$
代入得$x^2 + 4^2 = (8-x)^2$
展开得$x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$
化简得$16x = 48$，解得x=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是角平分线相关计算的典型题型，解题关键是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，结合勾股定理列方程求解，熟练掌握相关性质和辅助线的作法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
看到AP是∠BAC的角平分线，且∠C为直角，首先想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过P作AB的垂线PD，可得PC=PD。再通过HL证明Rt△ACP≌Rt△ADP，得到AD=AC=6，进而求出BD的长度。最后设PC为x，用x表示出PB的长度，在Rt△PBD中利用勾股定理列方程即可求解PC的长。
【解析】
过点P作PD⊥AB于点D。
∵ AP平分∠BAC，∠C=90°，PD⊥AB，
∴ PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在Rt△ACP和Rt△ADP中，
$\{\begin{array}{l}AP=AP\\ PC=PD\end{array} $
∴ Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），
∴ AD=AC=6，
∴ BD=AB-AD=10-6=4。
设PC=x，则PD=x，PB=BC-PC=8-x，
在Rt△PBD中，由勾股定理得：
$PD^2 + BD^2 = PB^2$
代入得$x^2 + 4^2 = (8-x)^2$
展开得$x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$
化简得$16x = 48$，解得x=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是角平分线相关计算的典型题型，解题关键是利用角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，结合勾股定理列方程求解，熟练掌握相关性质和辅助线的作法是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7
