三、解答题
17.如图，$∠ 1=∠ 2,∠ C=∠ D$，求证$AC=BD$.

17.由$∠1=∠2,∠C=∠D,AB=BA$,证明$△ABC≌△BAD.∴AC=BD.$

【分析】
要证明AC=BD，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。观察图形可得AC、BD分别在△ABC和△BAD中，已知两组对应角∠C=∠D、∠1=∠2相等，且两个三角形有公共边AB=BA，满足角角边（AAS）的全等判定条件，证明△ABC≌△BAD后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：在$△ ABC$和$△ BAD$中：
$\begin{cases}∠ C = ∠ D \ (\mathrm{已知}) \\∠ 1 = ∠ 2 \ (\mathrm{已知}) \\AB = BA \ (\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BAD \ (\mathrm{AAS})$
根据全等三角形对应边相等，可得$AC=BD$。
【答案】
由$∠ 1=∠ 2,∠ C=∠ D,AB=BA$,证明$△ ABC≌△ BAD$.$\therefore AC=BD$.
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题时要先明确待证线段所属的三角形，再结合已知条件和公共边这类隐含条件判定三角形全等，进而推导出对应边相等，属于全等三角形章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8

18.如图，已知点B，E，C，F在同一直线上.给出以下两组条件：
①$BE=CF$，$AC=DF$，$AB=DE$；②$BE=CF$，$AC=DF$，$AC// DF$.
请你选用其中一组可以证明$∠ A=∠ D$的条件进行证明.

18.选择条件②,证明如下：
$\because BE=CF,\therefore BE+CE=CF+CE.\therefore BC=EF.$
$\because AC// DF,\therefore ∠ACB=∠F.$
在$△ABC$ 和$△DEF$ 中，
$\begin{cases} BC=EF, \\ ∠ACB=∠F, \\ AC=DF, \end{cases}$
$\therefore △ABC≌ △DEF(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠A=∠D.$

【分析】
要证明∠A=∠D，可通过证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形对应角相等得出结论。若选择条件②：首先由BE=CF，等式两边同时加上公共线段EC，可推导出BC=EF；再根据AC//DF，由平行线的性质可得∠ACB=∠F；结合已知AC=DF，满足全等三角形的SAS判定条件，即可证明两个三角形全等，进而得到∠A=∠D。
【解析】
选择条件②，证明如下：
$\because BE=CF,\therefore BE+CE=CF+CE$，即$BC=EF$。
$\because AC// DF,\therefore ∠ ACB=∠ F$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases} BC=EF \\ ∠ ACB=∠ F \\ AC=DF \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌ △ DEF(\mathrm{SAS})$
$\therefore ∠ A=∠ D$
【答案】
$∠ A=∠ D$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是先通过线段的和差转化得到全等所需的对应边相等，再结合平行线性质得到对应角相等，利用全等判定定理证明三角形全等即可得到对应角相等，需要熟练掌握相关几何性质与判定定理。
【难度系数】
0.7

19.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,且$AC=AD$.
(1)作$∠ BAC$的平分线,交$BC$于点$E$.(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接$DE$,证明$AB⊥ DE$.

19.(1)如图,AE 为所作$∠BAC$ 的平分线.
(2)如图.连接$DE$.
由(1)知,$∠CAE=∠DAE.$
在$△ACE$ 和$△ADE$ 中,$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌ △ADE(\mathrm{SAS}).\therefore ∠ACE=∠ADE.$
又$\because ∠ACB=90°,\therefore ∠ADE=90°.\therefore AB⊥ DE.$

【分析】
(1) 第一问是尺规作角平分线，按照角平分线的标准尺规作图步骤操作即可：以A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交AC、AB于两个点，再分别以这两个点为圆心，取大于两点之间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部的交点为作图关键点，连接A与该交点并延长交BC于E，就能得到∠BAC的平分线AE。
(2) 要证明AB⊥DE，本质是要证明∠ADE=90°。观察已知条件：AC=AD，AE是角平分线可推出∠CAE=∠DAE，再加上公共边AE，刚好满足SAS全等判定的条件，可证△ACE和△ADE全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合∠ACB=90°，就能得到∠ADE=90°，从而推导出垂直关系。
【解析】
(1) 按照角平分线的尺规作图方法作图，保留作图痕迹，AE即为所求的∠BAC的平分线。
(2) 证明：连接$DE$，
由(1)知AE平分∠BAC，因此$∠CAE=∠DAE$，
在$△ACE$ 和$△ADE$ 中：
$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ACE≌ △ADE(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ACE=∠ADE$，
又$\because ∠ACB=90°$，即$∠ACE=90°$，
$\therefore ∠ADE=90°$，
$\therefore AB⊥ DE$。
【答案】
19.(1)如图,AE 为所作$∠BAC$ 的平分线.
(2)连接$DE$，由(1)知,$∠CAE=∠DAE$，在$△ACE$ 和$△ADE$ 中,$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$，$\therefore △ACE≌ △ADE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ACE=∠ADE$，又$\because ∠ACB=90°$，$\therefore ∠ADE=90°$，$\therefore AB⊥ DE$。
【知识点】
尺规作角平分线，全等三角形判定，全等三角形性质
【点评】
本题属于基础几何题，既考查了尺规作图的基本操作技能，也考查了全等三角形判定与性质的综合应用，解题的关键是能根据已知条件匹配对应的全等判定定理，通过全等实现角度关系的转化，进而推导出垂直结论。
【难度系数】
0.8

20.如图，在$△ ABC$中，$D$为边$AB$上一点，$E$为$AC$的中点，连接$DE$并延长至点$F$，使得$EF=ED$，连接$CF$。
(1)求证$CF // AB$。
(2)若$∠ ABC=50°$，且$CA$平分$∠ BCF$，求$∠ A$的度数。

20.(1)在$△AED$ 和$△CEF$ 中，
$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠AED=∠CEF, \\ DE=FE, \end{cases}$
$\therefore △AED≌ △CEF(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠A=∠ACF.\therefore CF// AB.$
(2)$\because CF// AB,\therefore ∠ABC+∠BCF=180°.$
$\because ∠ABC=50°,\therefore ∠BCF=130°.$
$\because CA$ 平分$∠BCF,\therefore ∠ACB=∠ACF=65°.\therefore ∠A=∠ACF=65°.$

【分析】
(1)要证明$CF // AB$，可通过证明内错角相等实现：已知E是AC中点可得$AE=CE$，结合已知$EF=ED$和对顶角相等的性质，可先证$△ AED$和$△ CEF$全等，得到对应角相等后即可推出两直线平行。
(2)借助第一问得到的平行结论，利用平行线的同旁内角互补先求出$∠ BCF$的度数，再结合角平分线的定义得到$∠ ACF$的度数，最后根据全等三角形对应角相等的性质即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
(1)证明：在$△ AED$ 和$△ CEF$ 中，
$\begin{cases} AE=CE, \\ ∠ AED=∠ CEF, \\ DE=FE, \end{cases}$
$\therefore △ AED≌ △ CEF(\mathrm{SAS}).$
$\therefore ∠ A=∠ ACF$，
$\therefore CF// AB$（内错角相等，两直线平行）。
(2)解：$\because CF// AB,$
$\therefore ∠ ABC+∠ BCF=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ ABC=50°,$
$\therefore ∠ BCF=180°-50°=130°,$
$\because CA$ 平分$∠ BCF,$
$\therefore ∠ ACF=\frac{1}{2}∠ BCF=65°,$
又$\because$ 由(1)知$∠ A=∠ ACF,$
$\therefore ∠ A=65°.$
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$65°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题核心是通过全等三角形完成角的等量转化，进而推导平行关系，再结合平行、角平分线的性质求解角度，需要熟练掌握各基础几何定理的应用条件和转化逻辑。
【难度系数】
0.7

21.如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示.
(1)在图①中，在直线BC的上方取一个不同于点A的格点M，使∠BMC=∠BAC.
(2)在图②中，在△ABC内取一点N，使∠BNC=180°−∠BAC.(答案不唯一，只作一种)

21.(1)(2)如图所示.

【分析】
(1) 要使∠BMC=∠BAC，可构造全等三角形：找到格点M，使△MBC≌△ABC，根据全等三角形对应角相等，即可得到∠BMC=∠BAC，且M在直线BC上方、异于点A。
(2) 要使∠BNC=180°−∠BAC，可利用三角形高线的性质：若BN⊥AC，CN⊥AB，由四边形内角和为360°，可得∠BNC与∠BAC互补，因此只需作出AB、AC边上的高，两高在三角形内部的交点即为N。
【解析】
(1) 观察格点位置，找到点M，使得MB=AB，MC=AC，又BC为公共边，根据SSS全等判定可得△MBC≌△ABC，因此对应角∠BMC=∠BAC，连接MB、MC即可，作图过程用虚线表示。
(2) 利用格点特征，分别过B作AC的垂线，过C作AB的垂线，两条垂线交于△ABC内部一点N。设BN交AC于点D，CN交AB于点E，则∠ADB=∠AEC=90°，在四边形ADNE中，内角和为360°，因此∠A+∠DNE=180°，又∠DNE与∠BNC是对顶角，故∠BNC=180°−∠BAC，符合要求，作图过程用虚线表示。
【答案】
(1)(2)如图所示.
【知识点】
全等三角形的性质，格点作图，四边形内角和
【点评】
本题属于格点作图类题型，需要结合已学的几何性质定位符合角度条件的点，解题时要灵活转化角度条件，作图时注意保留虚线的作图痕迹。
【难度系数】
0.6