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1. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$。
（1）若$AD⊥ BC$,$BC=6$,则$CD=$
（2）若$BD=CD$,$∠ CAB=80°$,则$∠ ADC=$
（3）若$∠ BAD=∠ CAD$,$BD=4$,则$∠ ADB=$
（第1题）
（1）若$AD⊥ BC$,$BC=6$,则$CD=$
3
;（2）若$BD=CD$,$∠ CAB=80°$,则$∠ ADC=$
90
$°$,$∠ BAD=$40
$°$;（3）若$∠ BAD=∠ CAD$,$BD=4$,则$∠ ADB=$
90
$°$,$BC=$8
。（第1题）答案
1. （1）3 （2）90;40 （3）90;8
解析
【分析】
本题考查等腰三角形“三线合一”性质的应用，解题思路如下：首先明确等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，只要已知其中一类线的条件，即可推出另外两类线的性质。（1）已知AD是底边上的高，可推得AD是底边中线，直接求CD长度；（2）已知AD是底边中线，可推得AD是底边上的高和顶角平分线，分别计算对应角度；（3）已知AD是顶角平分线，可推得AD是底边上的高和中线，计算对应角度和线段长度即可。
【解析】
利用等腰三角形三线合一的性质逐问求解：
（1）
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是BC边上的中线，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
（2）
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是BC边上的高，也是∠BAC的角平分线，
∴∠ADC=90°，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
（3）
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的高，也是BC边上的中线，
∴∠ADB=90°，$BC=2BD=2×4=8$。
【答案】
（1）3；（2）90，40；（3）90，8
【知识点】
等腰三角形三线合一；角度计算；线段长度计算
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，核心是熟练掌握“三线合一”的三种适用场景，理清条件和对应结论的关系，即可快速解题，是巩固等腰三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.85
本题考查等腰三角形“三线合一”性质的应用，解题思路如下：首先明确等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，只要已知其中一类线的条件，即可推出另外两类线的性质。（1）已知AD是底边上的高，可推得AD是底边中线，直接求CD长度；（2）已知AD是底边中线，可推得AD是底边上的高和顶角平分线，分别计算对应角度；（3）已知AD是顶角平分线，可推得AD是底边上的高和中线，计算对应角度和线段长度即可。
【解析】
利用等腰三角形三线合一的性质逐问求解：
（1）
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD是BC边上的中线，
∴$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$。
（2）
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是BC边上的高，也是∠BAC的角平分线，
∴∠ADC=90°，$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×80°=40°$。
（3）
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的高，也是BC边上的中线，
∴∠ADB=90°，$BC=2BD=2×4=8$。
【答案】
（1）3；（2）90，40；（3）90，8
【知识点】
等腰三角形三线合一；角度计算；线段长度计算
【点评】
本题属于等腰三角形性质的基础应用题，核心是熟练掌握“三线合一”的三种适用场景，理清条件和对应结论的关系，即可快速解题，是巩固等腰三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.85
2. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=50°$，$AD ⊥ BC$，则$∠ DAC$的度数是
40°
。答案
2. $40°$
解析
【分析】
首先根据AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质可求出∠C的度数；再结合AD⊥BC可知△ADC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠DAC的度数；也可先计算顶角∠BAC的度数，利用等腰三角形三线合一的性质得到AD平分∠BAC，进而求出∠DAC的度数，两种思路均可解题。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC + ∠C = 90°，
∴∠DAC = 90° - 50° = 40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等腰三角形相关性质的应用，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用即可快速解题。
【难度系数】
0.85
首先根据AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质可求出∠C的度数；再结合AD⊥BC可知△ADC是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠DAC的度数；也可先计算顶角∠BAC的度数，利用等腰三角形三线合一的性质得到AD平分∠BAC，进而求出∠DAC的度数，两种思路均可解题。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠B=50°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠DAC + ∠C = 90°，
∴∠DAC = 90° - 50° = 40°。
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等腰三角形相关性质的应用，熟练掌握等腰三角形的性质并灵活运用即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3. 如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，与BC交于点D，点E在线段AD上，连结BE，CE。若∠EBC=45°，则∠ACE的度数是（
A.$15°$
B.$10°$
C.$45°$
D.$20°$
A
）。A.$15°$
B.$10°$
C.$45°$
D.$20°$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先等边三角形三个内角均为60°，且等边三角形属于特殊的等腰三角形，满足“三线合一”的性质。AD是∠BAC的角平分线，因此AD同时是BC边上的高和中线，即AD垂直平分BC。根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得EB=EC，再根据等腰三角形等边对等角得到∠ECB=∠EBC，最后用等边三角形的∠ACB减去∠ECB即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC。
∵AD平分∠BAC，△ABC为特殊的等腰三角形，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠ACE=∠ACB - ∠ECB=60° - 45°=15°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握特殊三角形的性质，找到角度之间的等量关系进行计算，只要熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先等边三角形三个内角均为60°，且等边三角形属于特殊的等腰三角形，满足“三线合一”的性质。AD是∠BAC的角平分线，因此AD同时是BC边上的高和中线，即AD垂直平分BC。根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得EB=EC，再根据等腰三角形等边对等角得到∠ECB=∠EBC，最后用等边三角形的∠ACB减去∠ECB即可求出∠ACE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=AC。
∵AD平分∠BAC，△ABC为特殊的等腰三角形，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠ACE=∠ACB - ∠ECB=60° - 45°=15°。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形三线合一；等腰三角形等边对等角
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是熟练掌握特殊三角形的性质，找到角度之间的等量关系进行计算，只要熟记相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$AD ⊥ BC$，$DE // AC$。若$∠ BAC = 50°$，则$∠ ADE$的度数是________。
答案
4. $25°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先△ABC是等腰三角形（AB=AC），且AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD平分顶角∠BAC，可先求出∠CAD的度数；再结合DE//AC的条件，利用“两直线平行，内错角相等”的性质，即可得到∠ADE与∠CAD相等，从而求出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵ $AB = AC$，$AD ⊥ BC$，$∠ BAC = 50°$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$，
又
∵ $DE // AC$，
∴ $∠ ADE = ∠ CAD$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ ADE = 25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是基础的几何角求解题型，重点考查等腰三角形三线合一和平行线性质的综合应用，只要熟练掌握相关性质，找准角之间的等量关系，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发：首先△ABC是等腰三角形（AB=AC），且AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，可知AD平分顶角∠BAC，可先求出∠CAD的度数；再结合DE//AC的条件，利用“两直线平行，内错角相等”的性质，即可得到∠ADE与∠CAD相等，从而求出∠ADE的度数。
【解析】
解：
∵ $AB = AC$，$AD ⊥ BC$，$∠ BAC = 50°$，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$AD$平分$∠ BAC$，
∴ $∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 50° = 25°$，
又
∵ $DE // AC$，
∴ $∠ ADE = ∠ CAD$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ ADE = 25°$。
【答案】
$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是基础的几何角求解题型，重点考查等腰三角形三线合一和平行线性质的综合应用，只要熟练掌握相关性质，找准角之间的等量关系，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
5. 已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AM$是$BC$边上的中线,点$N$在$AM$上。求证:$NB=NC$。
答案
5. 由$AB=AC,AM$是$BC$边上的中线,得$AM⊥BC$,则$AM$垂直平分$BC$。而点$N$在$AM$上,所以$NB=NC$。
解析
【分析】
要证明NB=NC，可先证明点N在BC的垂直平分线上，利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得到结论。首先结合已知条件：△ABC中AB=AC，是等腰三角形，AM是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的中线同时是底边上的高，因此AM垂直且平分BC，即AM是BC的垂直平分线，又因为点N在AM上，满足垂直平分线上点的条件，即可推导出NB=NC。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$AM$是$BC$边上的中线，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$AM⊥BC$，且$BM=CM$，即$AM$是$BC$的垂直平分线。
∵ 点$N$在$AM$上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得$NB=NC$。
【答案】
由$AB=AC,AM$是$BC$边上的中线,得$AM⊥BC$,则$AM$垂直平分$BC$。而点$N$在$AM$上,所以$NB=NC$。
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考察等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的综合应用，解题的关键是通过等腰三角形三线合一得到线段的垂直平分线，再结合垂直平分线的性质完成证明，逻辑清晰，步骤简单。
【难度系数】
0.8
要证明NB=NC，可先证明点N在BC的垂直平分线上，利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得到结论。首先结合已知条件：△ABC中AB=AC，是等腰三角形，AM是BC边上的中线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的中线同时是底边上的高，因此AM垂直且平分BC，即AM是BC的垂直平分线，又因为点N在AM上，满足垂直平分线上点的条件，即可推导出NB=NC。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$AM$是$BC$边上的中线，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$AM⊥BC$，且$BM=CM$，即$AM$是$BC$的垂直平分线。
∵ 点$N$在$AM$上，
∴ 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得$NB=NC$。
【答案】
由$AB=AC,AM$是$BC$边上的中线,得$AM⊥BC$,则$AM$垂直平分$BC$。而点$N$在$AM$上,所以$NB=NC$。
【知识点】
等腰三角形三线合一；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，主要考察等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的综合应用，解题的关键是通过等腰三角形三线合一得到线段的垂直平分线，再结合垂直平分线的性质完成证明，逻辑清晰，步骤简单。
【难度系数】
0.8
