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7. 等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成 21 cm 和 12 cm 两部分，求这个等腰三角形的腰长。
答案
14 cm
解析
【分析】
解决本题首先可通过设未知数表示等腰三角形的腰长和底长，腰上的中线会将腰分为等长的两段，因此周长被分成的两部分分别为“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”；由于题目未明确哪部分周长为21cm、哪部分为12cm，因此需要分两种情况讨论，最后求出边长后必须结合三角形三边关系验证，舍去不符合要求的解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为2x cm，底边长为y cm，根据腰上的中线将腰分为长度均为x cm的两段，分两种情况讨论：
情况1：腰长与半腰长的和为21cm，可得：
$2x + x = 21$
解得$x=7$
此时底边长满足$x + y =12$，代入$x=7$得$y=12-7=5$
此时三角形三边长为14cm、14cm、5cm，验证三边关系：$14+5＞14$，满足三角形三边要求，符合题意。
情况2：腰长与半腰长的和为12cm，可得：
$2x + x =12$
解得$x=4$
此时底边长满足$x + y =21$，代入$x=4$得$y=21-4=17$
此时三角形三边长为8cm、8cm、17cm，验证三边关系：$8+8=16＜17$，不满足三角形三边要求，舍去该情况。
综上，等腰三角形的腰长为14cm。
【答案】
14 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是分情况讨论周长的两种组成情况，同时要注意求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免产生错误的增解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先可通过设未知数表示等腰三角形的腰长和底长，腰上的中线会将腰分为等长的两段，因此周长被分成的两部分分别为“腰长+半腰长”和“底边长+半腰长”；由于题目未明确哪部分周长为21cm、哪部分为12cm，因此需要分两种情况讨论，最后求出边长后必须结合三角形三边关系验证，舍去不符合要求的解。
【解析】
设等腰三角形的腰长为2x cm，底边长为y cm，根据腰上的中线将腰分为长度均为x cm的两段，分两种情况讨论：
情况1：腰长与半腰长的和为21cm，可得：
$2x + x = 21$
解得$x=7$
此时底边长满足$x + y =12$，代入$x=7$得$y=12-7=5$
此时三角形三边长为14cm、14cm、5cm，验证三边关系：$14+5＞14$，满足三角形三边要求，符合题意。
情况2：腰长与半腰长的和为12cm，可得：
$2x + x =12$
解得$x=4$
此时底边长满足$x + y =21$，代入$x=4$得$y=21-4=17$
此时三角形三边长为8cm、8cm、17cm，验证三边关系：$8+8=16＜17$，不满足三角形三边要求，舍去该情况。
综上，等腰三角形的腰长为14cm。
【答案】
14 cm
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是分情况讨论周长的两种组成情况，同时要注意求出边长后必须验证是否满足三角形三边关系，避免产生错误的增解。
【难度系数】
0.6
8. 已知:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,且BD=CE,BE与CD交于点O。
（1）求证:△ABE≌△ACD。
（2）图中还有哪些全等三角形？写出结论。
（1）求证:△ABE≌△ACD。
（2）图中还有哪些全等三角形？写出结论。
答案
（1）由 AB = AC,BD = CE,得 AD = AE,从而可证△ABE≌△ACD(SAS)。
（2）△DBC≌△ECB,△DBO≌△ECO。
（2）△DBC≌△ECB,△DBO≌△ECO。
解析
【分析】
（1）要证明△ABE≌△ACD，先观察两个三角形的边角条件：已知AB=AC，且两个三角形共享公共角∠A，只需再证明夹∠A的另一组边相等即可。由已知BD=CE，结合AB=AC，利用等式性质可推出AD=AE，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
（2）找其余全等三角形时，可先利用第一问的全等结论，结合已知条件和图形隐含的公共边、对顶角等条件推导：首先BD=CE，等腰△ABC的底角∠ABC=∠ACB，BC是公共边，可证△DBC≌△ECB；再结合前两组全等得到的对应角相等，加上对顶角相等，BD=CE，可证△DBO≌△ECO。
【解析】
（1）证明：
∵ AB=AC，BD=CE（已知），
∴ AB - BD = AC - CE，即 $AD=AE$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC（已知）\\∠A=∠A（公共角）\\AE=AD（已证）\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ ACD（SAS）$。
（2）其余全等三角形推导：
① 证$△ DBC≌△ ECB$：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等），
在$△ DBC$和$△ ECB$中：
$\begin{cases}BD=CE（已知）\\∠DBC=∠ECB（已证）\\BC=CB（公共边）\end{cases}$
∴ $△ DBC≌△ ECB（SAS）$。
② 证$△ DBO≌△ ECO$：
由$△ DBC≌△ ECB$得∠BDC=∠CEB，
在$△ DBO$和$△ ECO$中：
$\begin{cases}∠BDO=∠CEO（已证）\\∠DOB=∠EOC（对顶角相等）\\BD=CE（已知）\end{cases}$
∴ $△ DBO≌△ ECO（AAS）$。
【答案】
（1）由$AB = AC$，$BD = CE$，得$AD = AE$，结合公共角$∠A$，可证$△ ABE≌△ ACD(SAS)$。
（2）$△ DBC≌△ ECB$，$△ DBO≌△ ECO$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础常考题，解题时要充分挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件，结合已知条件逐步推导全等的所需要素，同时可利用已证的全等结论为后续证明提供条件。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABE≌△ACD，先观察两个三角形的边角条件：已知AB=AC，且两个三角形共享公共角∠A，只需再证明夹∠A的另一组边相等即可。由已知BD=CE，结合AB=AC，利用等式性质可推出AD=AE，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
（2）找其余全等三角形时，可先利用第一问的全等结论，结合已知条件和图形隐含的公共边、对顶角等条件推导：首先BD=CE，等腰△ABC的底角∠ABC=∠ACB，BC是公共边，可证△DBC≌△ECB；再结合前两组全等得到的对应角相等，加上对顶角相等，BD=CE，可证△DBO≌△ECO。
【解析】
（1）证明：
∵ AB=AC，BD=CE（已知），
∴ AB - BD = AC - CE，即 $AD=AE$。
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC（已知）\\∠A=∠A（公共角）\\AE=AD（已证）\end{cases}$
∴ $△ ABE≌△ ACD（SAS）$。
（2）其余全等三角形推导：
① 证$△ DBC≌△ ECB$：
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB（等腰三角形两底角相等），
在$△ DBC$和$△ ECB$中：
$\begin{cases}BD=CE（已知）\\∠DBC=∠ECB（已证）\\BC=CB（公共边）\end{cases}$
∴ $△ DBC≌△ ECB（SAS）$。
② 证$△ DBO≌△ ECO$：
由$△ DBC≌△ ECB$得∠BDC=∠CEB，
在$△ DBO$和$△ ECO$中：
$\begin{cases}∠BDO=∠CEO（已证）\\∠DOB=∠EOC（对顶角相等）\\BD=CE（已知）\end{cases}$
∴ $△ DBO≌△ ECO（AAS）$。
【答案】
（1）由$AB = AC$，$BD = CE$，得$AD = AE$，结合公共角$∠A$，可证$△ ABE≌△ ACD(SAS)$。
（2）$△ DBC≌△ ECB$，$△ DBO≌△ ECO$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础常考题，解题时要充分挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件，结合已知条件逐步推导全等的所需要素，同时可利用已证的全等结论为后续证明提供条件。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=3$,$AC=5$,$BC=7$。在$△ ABC$所在平面内作一条直线,将$△ ABC$分割成两个三角形,其中一个三角形是有一条边长为3的等腰三角形。这样的直线最多可作(
A.5条
B.4条
C.3条
D.2条
B
)。A.5条
B.4条
C.3条
D.2条
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，首先明确：将三角形分割为两个三角形的直线，必然过原三角形的一个顶点且与对边相交。接下来我们围绕“边长为3的等腰三角形”这一要求分类讨论：分为等腰三角形以长为3的AB为腰、以AB为底两类，逐一列举符合条件的分割线，避免重复或漏算即可得到总数量。
【解析】
已知AB=3，我们分两类情况讨论：
1. 所得等腰三角形以AB为腰：
（1）以A为等腰三角形的顶角顶点：
① 在AC边上取点F，使AF=AB=3，连接BF，此时△ABF是腰长为3的等腰三角形，BF为符合要求的分割线；
② 在BC边上取点D，使AD=AB=3，连接AD，此时△ABD是腰长为3的等腰三角形，AD为符合要求的分割线；
（2）以B为等腰三角形的顶角顶点：
在BC边上取点E，使BE=AB=3，连接AE，此时△ABE是腰长为3的等腰三角形，AE为符合要求的分割线；
2. 所得等腰三角形以AB为底：
作AB的垂直平分线，交BC边于点G，连接AG，根据垂直平分线的性质可得GA=GB，此时△GAB是底边长为3的等腰三角形，AG为符合要求的分割线。
综上，符合条件的直线共有4条。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的判定应用，解题关键是明确分类标准，按照“腰为3”和“底为3”两种情况逐一梳理，避免出现漏解或多算的问题，对逻辑思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确：将三角形分割为两个三角形的直线，必然过原三角形的一个顶点且与对边相交。接下来我们围绕“边长为3的等腰三角形”这一要求分类讨论：分为等腰三角形以长为3的AB为腰、以AB为底两类，逐一列举符合条件的分割线，避免重复或漏算即可得到总数量。
【解析】
已知AB=3，我们分两类情况讨论：
1. 所得等腰三角形以AB为腰：
（1）以A为等腰三角形的顶角顶点：
① 在AC边上取点F，使AF=AB=3，连接BF，此时△ABF是腰长为3的等腰三角形，BF为符合要求的分割线；
② 在BC边上取点D，使AD=AB=3，连接AD，此时△ABD是腰长为3的等腰三角形，AD为符合要求的分割线；
（2）以B为等腰三角形的顶角顶点：
在BC边上取点E，使BE=AB=3，连接AE，此时△ABE是腰长为3的等腰三角形，AE为符合要求的分割线；
2. 所得等腰三角形以AB为底：
作AB的垂直平分线，交BC边于点G，连接AG，根据垂直平分线的性质可得GA=GB，此时△GAB是底边长为3的等腰三角形，AG为符合要求的分割线。
综上，符合条件的直线共有4条。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题考查等腰三角形的判定应用，解题关键是明确分类标准，按照“腰为3”和“底为3”两种情况逐一梳理，避免出现漏解或多算的问题，对逻辑思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
