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4. 一个等腰三角形的周长为20 cm。
（1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长。
（2）若其中一边的长为7 cm，求这个等腰三角形其余两边的长。
（1）若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长。
（2）若其中一边的长为7 cm，求这个等腰三角形其余两边的长。
答案
（1）4 cm,8 cm,8 cm （2）7 cm,6 cm 或 6.5 cm,6.5 cm
解析
【分析】
（1）已知等腰三角形周长及腰长与底边长的倍数关系，可利用等腰三角形两腰相等的性质，设底边长为未知数，根据周长公式列方程求解，最后验证三边是否满足三角形三边关系即可。
（2）题目仅给出一边长为7cm，未说明是腰长还是底边长，因此需要分两种情况讨论：①7cm为腰长；②7cm为底边长。分别计算其余边长后，都要验证三边是否符合三角形三边关系，舍去不成立的情况。
【解析】
（1）设等腰三角形的底边长为$x\ \mathrm{cm}$，则腰长为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据等腰三角形周长公式：周长=腰长×2+底边长，可列方程：
$x + 2x + 2x = 20$
合并同类项得：$5x=20$
解得：$x=4$
则腰长为$2x=8\ \mathrm{cm}$。
验证三边关系：$4+8＞8$，满足三角形两边之和大于第三边，因此三边长分别为4cm，8cm，8cm。
（2）分两种情况讨论：
① 当7cm为腰长时，底边长为$20 - 7×2 = 6\ \mathrm{cm}$。
验证三边关系：$7+7＞6$，满足三角形三边关系，此时其余两边长为7cm，6cm。
② 当7cm为底边长时，腰长为$(20 - 7)÷2 = 6.5\ \mathrm{cm}$。
验证三边关系：$6.5+6.5＞7$，满足三角形三边关系，此时其余两边长为6.5cm，6.5cm。
【答案】
（1）4 cm,8 cm,8 cm （2）7 cm,6 cm 或 6.5 cm,6.5 cm
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的基础应用题，解题关键是牢记等腰三角形两腰相等的性质，对于未明确边长类型的问题要分类讨论，最后必须通过三角形三边关系验证结果的合理性，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
（1）已知等腰三角形周长及腰长与底边长的倍数关系，可利用等腰三角形两腰相等的性质，设底边长为未知数，根据周长公式列方程求解，最后验证三边是否满足三角形三边关系即可。
（2）题目仅给出一边长为7cm，未说明是腰长还是底边长，因此需要分两种情况讨论：①7cm为腰长；②7cm为底边长。分别计算其余边长后，都要验证三边是否符合三角形三边关系，舍去不成立的情况。
【解析】
（1）设等腰三角形的底边长为$x\ \mathrm{cm}$，则腰长为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据等腰三角形周长公式：周长=腰长×2+底边长，可列方程：
$x + 2x + 2x = 20$
合并同类项得：$5x=20$
解得：$x=4$
则腰长为$2x=8\ \mathrm{cm}$。
验证三边关系：$4+8＞8$，满足三角形两边之和大于第三边，因此三边长分别为4cm，8cm，8cm。
（2）分两种情况讨论：
① 当7cm为腰长时，底边长为$20 - 7×2 = 6\ \mathrm{cm}$。
验证三边关系：$7+7＞6$，满足三角形三边关系，此时其余两边长为7cm，6cm。
② 当7cm为底边长时，腰长为$(20 - 7)÷2 = 6.5\ \mathrm{cm}$。
验证三边关系：$6.5+6.5＞7$，满足三角形三边关系，此时其余两边长为6.5cm，6.5cm。
【答案】
（1）4 cm,8 cm,8 cm （2）7 cm,6 cm 或 6.5 cm,6.5 cm
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的基础应用题，解题关键是牢记等腰三角形两腰相等的性质，对于未明确边长类型的问题要分类讨论，最后必须通过三角形三边关系验证结果的合理性，避免出现增解。
【难度系数】
0.7
5. 如图,等腰三角形ABC的底边BC=5 cm,AD是∠BAC的角平分线,E是底边BC上的点,且ED=1 cm。
（1）作点E关于AD的对称点F。
（2）求CF的长。
（1）作点E关于AD的对称点F。
（2）求CF的长。
答案
（1）略 （2）CF=1.5 cm
解析
【分析】
1. 第（1）问解题思路：等腰三角形顶角的角平分线同时是底边的中线和高，因此AD是等腰△ABC的对称轴，点E关于AD的对称点必然在BC边上，只需在DC上截取长度等于DE的线段DF，就能得到对称点F。
2. 第（2）问解题思路：首先利用等腰三角形三线合一的性质求出DC的长度，再根据轴对称的性质得到FD和ED长度相等，最后用DC的长度减去FD的长度即可得到CF的长。
【解析】
（1）在DC边上截取DF=DE，点F即为所求的点E关于AD的对称点，作图略。
（2）解：
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，AD是∠BAC的角平分线
∴根据等腰三角形三线合一的性质，D是BC的中点，即$DC=\frac{1}{2}BC$
已知BC=5 cm，代入得：$DC=\frac{1}{2}×5=2.5$ cm
∵点F是点E关于AD的对称点
∴根据轴对称的性质，FD=ED=1 cm
因此CF=DC - FD=2.5 - 1=1.5 cm
【答案】
（1）略；（2）$\boxed{1.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等腰三角形三线合一，轴对称的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，解题关键是熟练掌握等腰三角形的对称性和轴对称的性质，快速找到线段之间的等量关系，计算过程较为简单，是对基础几何性质的常规考察。
【难度系数】
0.7
1. 第（1）问解题思路：等腰三角形顶角的角平分线同时是底边的中线和高，因此AD是等腰△ABC的对称轴，点E关于AD的对称点必然在BC边上，只需在DC上截取长度等于DE的线段DF，就能得到对称点F。
2. 第（2）问解题思路：首先利用等腰三角形三线合一的性质求出DC的长度，再根据轴对称的性质得到FD和ED长度相等，最后用DC的长度减去FD的长度即可得到CF的长。
【解析】
（1）在DC边上截取DF=DE，点F即为所求的点E关于AD的对称点，作图略。
（2）解：
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，AD是∠BAC的角平分线
∴根据等腰三角形三线合一的性质，D是BC的中点，即$DC=\frac{1}{2}BC$
已知BC=5 cm，代入得：$DC=\frac{1}{2}×5=2.5$ cm
∵点F是点E关于AD的对称点
∴根据轴对称的性质，FD=ED=1 cm
因此CF=DC - FD=2.5 - 1=1.5 cm
【答案】
（1）略；（2）$\boxed{1.5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
等腰三角形三线合一，轴对称的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，解题关键是熟练掌握等腰三角形的对称性和轴对称的性质，快速找到线段之间的等量关系，计算过程较为简单，是对基础几何性质的常规考察。
【难度系数】
0.7
6. 在如图所示的$3×4$的方格中，点$A$，$B$在小方格的顶点上。在格点中找一点$C$，使得$AB＝BC$。你能找到几个这样的点？把它们都画出来。
答案
3 个。如图所示。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先设每个小方格的边长为1，利用勾股定理计算线段AB的长度；2. 题目要求AB=BC，即点C到点B的距离等于AB的长度，我们只需找出方格中到B点距离和AB相等的格点即可，注意要排除和A重合的点。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算AB的长度：观察A、B的位置，A到B横向相差1格，纵向相差2格，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
2. 寻找符合条件的点C：两点距离为$\sqrt{5}$时，两点的横向差与纵向差的平方和为5，对应差的组合为（±1,±2）或（±2,±1）。
3. 在3×4的方格范围内筛选符合上述距离条件的格点，排除点A本身，最终找到3个符合要求的点，即图中的$C_1$、$C_2$、$C_3$。
【答案】
3 个。如图所示。
【知识点】
勾股定理，等腰三角形定义，格点距离计算
【点评】
本题结合格点背景考查等腰三角形的判定和勾股定理的应用，解题核心是先确定已知线段的长度，再按距离要求筛选符合条件的格点，解题时要注意在给定方格范围内计数，避免漏数或多算。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先设每个小方格的边长为1，利用勾股定理计算线段AB的长度；2. 题目要求AB=BC，即点C到点B的距离等于AB的长度，我们只需找出方格中到B点距离和AB相等的格点即可，注意要排除和A重合的点。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 计算AB的长度：观察A、B的位置，A到B横向相差1格，纵向相差2格，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$
2. 寻找符合条件的点C：两点距离为$\sqrt{5}$时，两点的横向差与纵向差的平方和为5，对应差的组合为（±1,±2）或（±2,±1）。
3. 在3×4的方格范围内筛选符合上述距离条件的格点，排除点A本身，最终找到3个符合要求的点，即图中的$C_1$、$C_2$、$C_3$。
【答案】
3 个。如图所示。
【知识点】
勾股定理，等腰三角形定义，格点距离计算
【点评】
本题结合格点背景考查等腰三角形的判定和勾股定理的应用，解题核心是先确定已知线段的长度，再按距离要求筛选符合条件的格点，解题时要注意在给定方格范围内计数，避免漏数或多算。
【难度系数】
0.7
