6. 如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，BE平分∠ABC，交AD于点E。若AC=12，DE=3，则△ABE的面积是()。

A.16
B.18
C.32
D.36

6. B

【分析】
首先根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边的中线同时为底边上的高，且两腰长度相等，可得AD⊥BC，AB=AC=12；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点E到AB的距离等于DE的长度3；最后利用三角形面积公式即可求出△ABE的面积。
【解析】
解：
∵△ABC是等腰三角形，BC为底边，
∴AB=AC=12，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的中线，
根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC，
∵BE平分∠ABC，交AD于点E，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点E到AB边的距离等于DE的长度，即△ABE中AB边上的高为3，
∴△ABE的面积=$\frac{1}{2}$×AB×高=$\frac{1}{2}$×12×3=18。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形三线合一和角平分线的性质结合考查，解题的关键是利用角平分线的性质找到△ABE的高，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

7. 已知:如图,点 D,E 在△ABC 的边 BC 上,AB=AC,AD=AE。求证:BD=CE。（第7题）

7. 过点 A 作$AO⊥BC$于 O。由$AB=AC,AD=AE$,得$BO=CO,DO=EO$,所以$BD=CE$。

【分析】
要证明BD=CE，观察图形可得BD=BO-DO，CE=CO-EO，因此只需证得BO=CO、DO=EO即可。已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且底边都在BC上，结合等腰三角形“三线合一”的性质，我们可以过顶点A作BC的垂线，就能同时得到两个等腰三角形底边的中点，得到BO=CO、DO=EO，再通过线段作差即可推出结论，该方法比证明三角形全等更简便。
【解析】
证明：过点A作$AO⊥BC$于点O。
∵ $AB=AC$，$AO⊥BC$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，
∴ $BO=CO$。
又
∵ $AD=AE$，$AO⊥BC$（即$AO⊥DE$），同理可得
∴ $DO=EO$。
∴ $BO-DO=CO-EO$，即$BD=CE$。
【答案】
$BD=CE$，得证。
【知识点】
等腰三角形三线合一、线段和差运算
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，作等腰三角形底边上的高是此类问题的典型辅助线做法，利用三线合一可快速得到线段等量关系，简化证明过程。
【难度系数】
0.7

8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$。则以下结论：①$DE=DF$；②$AE=AF$；③$∠ BDE=∠ CDF$；④$AD$上任意一点到$B$，$C$两点的距离相等。正确的有（填序号），并选择一个正确的结论给出证明。

8. ①②③④,证明略。

【分析】
解题时结合已知条件逐一推导结论：1. 已知AD是∠BAC的角平分线，DE、DF分别是点D到角两边的垂线段，可结合角平分线性质判断①；2. 要证AE=AF，可通过证明Rt△ADE和Rt△ADF全等推导；3. 已知△ABC是等腰三角形，底角∠B=∠C，结合直角三角形两锐角互余的性质可判断③；4. 结合等腰三角形三线合一的性质，可判断AD是BC的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质判断④。证明结论时选取自己最熟悉的结论，对应性质写出规范步骤即可。
【解析】
四个结论全部正确，以下以证明结论①为例：
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DF，故结论①成立。
（也可选择其他结论证明，如证明④：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD垂直平分BC，又
∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴AD上任意一点到B，C两点的距离相等。）
【答案】
①②③④
【知识点】
角平分线的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查了三角形中多个基础性质定理，解题时需要结合已知条件对应性质逐一推导，熟练掌握各定理的适用条件是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8