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例1 甲车从A地出发以60 km/h的速度沿公路匀速行驶0.5 h后，乙车也从A地出发，以80 km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶。乙车出发x h后，甲车离开A地的路程用代数式表示为 km，乙车离开A地的路程用代数式表示为 km；当x＝5时，甲车离开A地的路程为 km，乙车离开A地的路程为 km。
【思路导析】根据甲、乙两车行驶的时间和速度，分别表示出它们离开A地的路程，并代入具体时间求值。
【请你解答】
【思路导析】根据甲、乙两车行驶的时间和速度，分别表示出它们离开A地的路程，并代入具体时间求值。
【请你解答】
答案
解：
乙车出发$x\ \mathrm{h}$后，甲车行驶的总时间为$(x+0.5)\ \mathrm{h}$，离开A地的路程为$60(x+0.5)=(60x+30)\ \mathrm{km}$；
乙车离开A地的路程为$80x\ \mathrm{km}$。
当$x=5$时，
甲车离开A地的路程为$60×(5+0.5)=330\ \mathrm{km}$，
乙车离开A地的路程为$80×5=400\ \mathrm{km}$。
乙车出发$x\ \mathrm{h}$后，甲车行驶的总时间为$(x+0.5)\ \mathrm{h}$，离开A地的路程为$60(x+0.5)=(60x+30)\ \mathrm{km}$；
乙车离开A地的路程为$80x\ \mathrm{km}$。
当$x=5$时，
甲车离开A地的路程为$60×(5+0.5)=330\ \mathrm{km}$，
乙车离开A地的路程为$80×5=400\ \mathrm{km}$。
解析
【分析】
解题时首先牢记行程问题核心公式：路程=速度×时间。第一步分析甲车的行驶时间：甲车比乙车早出发0.5h，当乙车出发x h后，甲车总共行驶的时间是提前的0.5h加上乙车行驶的x h，即(x+0.5)h，用甲车速度乘总行驶时间即可得到甲车的路程；第二步分析乙车的行驶时间：乙车从出发到计算时共行驶x h，用乙车速度乘行驶时间即可得到乙车的路程；第三步代入x=5，分别代入两个路程的代数式计算即可得到对应数值。
【解析】
乙车出发$x\ \mathrm{h}$后，甲车行驶的总时间为$(x+0.5)\ \mathrm{h}$，离开A地的路程为$60×(x+0.5)=60x+30\ \mathrm{km}$；
乙车离开A地的路程为$80× x=80x\ \mathrm{km}$。
当$x=5$时，
甲车离开A地的路程为$60×(5+0.5)=60×5.5=330\ \mathrm{km}$，
乙车离开A地的路程为$80×5=400\ \mathrm{km}$。
【答案】
$60(x+0.5)$（或$60x+30$）；$80x$；$330$；$400$
【知识点】
列代数式；代数式求值；行程问题公式
【点评】
本题属于行程类基础应用题型，解题核心是准确梳理两车的实际行驶时长，结合路程计算公式列式、代入求值即可，需要注意不要遗漏甲车提前行驶的0.5小时。
【难度系数】
0.8
解题时首先牢记行程问题核心公式：路程=速度×时间。第一步分析甲车的行驶时间：甲车比乙车早出发0.5h，当乙车出发x h后，甲车总共行驶的时间是提前的0.5h加上乙车行驶的x h，即(x+0.5)h，用甲车速度乘总行驶时间即可得到甲车的路程；第二步分析乙车的行驶时间：乙车从出发到计算时共行驶x h，用乙车速度乘行驶时间即可得到乙车的路程；第三步代入x=5，分别代入两个路程的代数式计算即可得到对应数值。
【解析】
乙车出发$x\ \mathrm{h}$后，甲车行驶的总时间为$(x+0.5)\ \mathrm{h}$，离开A地的路程为$60×(x+0.5)=60x+30\ \mathrm{km}$；
乙车离开A地的路程为$80× x=80x\ \mathrm{km}$。
当$x=5$时，
甲车离开A地的路程为$60×(5+0.5)=60×5.5=330\ \mathrm{km}$，
乙车离开A地的路程为$80×5=400\ \mathrm{km}$。
【答案】
$60(x+0.5)$（或$60x+30$）；$80x$；$330$；$400$
【知识点】
列代数式；代数式求值；行程问题公式
【点评】
本题属于行程类基础应用题型，解题核心是准确梳理两车的实际行驶时长，结合路程计算公式列式、代入求值即可，需要注意不要遗漏甲车提前行驶的0.5小时。
【难度系数】
0.8
例2 (1)在梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$中，已知$a=3,b=5,h=4$，那么$S=$。
(2)恩施玉露是湖北名茶之一，其外形条索紧圆光滑，色泽苍翠绿润，毫白如玉。某公司加工的一款装玉露茶的茶叶罐呈圆柱形，它的底面半径为$r$ cm，高为$h$ cm，容积$V=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^3$。($π$取3)
【思路导析】圆柱体的体积(容积)$V=$圆柱体的底面积乘以圆柱体的高。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(2)恩施玉露是湖北名茶之一，其外形条索紧圆光滑，色泽苍翠绿润，毫白如玉。某公司加工的一款装玉露茶的茶叶罐呈圆柱形，它的底面半径为$r$ cm，高为$h$ cm，容积$V=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^3$。($π$取3)
【思路导析】圆柱体的体积(容积)$V=$圆柱体的底面积乘以圆柱体的高。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{π r^2 h}$，$\boldsymbol{900}$。
解析
【分析】
(1) 第(1)题属于代数式直接代入求值类问题，解题时只需将已知的a、b、h的数值代入梯形面积公式，按照四则运算顺序计算即可得到S的值。
(2) 第(2)题第一空考查圆柱容积公式的推导，根据提示“圆柱容积=底面积×高”，先写出圆形底面积的表达式，再结合高h即可得到容积的代数式；第二空为代数式代入求值，将π=3和对应r、h的数值代入推导得到的容积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 把$a=3$，$b=5$，$h=4$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$：
先算括号内的加法：$a+b=3+5=8$
再依次计算乘法：$S=\frac{1}{2}×8×4=4×4=16$
(2) 圆柱的底面积为$π r^2$，容积等于底面积乘高，因此容积$V=π r^2 h$；
将$π=3$、对应r、h的数值代入公式，计算得$V=3×10^2×3=900$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{π r^2 h}$，$\boldsymbol{900}$
【知识点】
代数式求值、梯形面积公式、圆柱容积公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查常见几何图形公式的掌握情况和代数式代入求值的运算能力，计算时注意遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
(1) 第(1)题属于代数式直接代入求值类问题，解题时只需将已知的a、b、h的数值代入梯形面积公式，按照四则运算顺序计算即可得到S的值。
(2) 第(2)题第一空考查圆柱容积公式的推导，根据提示“圆柱容积=底面积×高”，先写出圆形底面积的表达式，再结合高h即可得到容积的代数式；第二空为代数式代入求值，将π=3和对应r、h的数值代入推导得到的容积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 把$a=3$，$b=5$，$h=4$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$：
先算括号内的加法：$a+b=3+5=8$
再依次计算乘法：$S=\frac{1}{2}×8×4=4×4=16$
(2) 圆柱的底面积为$π r^2$，容积等于底面积乘高，因此容积$V=π r^2 h$；
将$π=3$、对应r、h的数值代入公式，计算得$V=3×10^2×3=900$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{16}$；(2) $\boldsymbol{π r^2 h}$，$\boldsymbol{900}$
【知识点】
代数式求值、梯形面积公式、圆柱容积公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查常见几何图形公式的掌握情况和代数式代入求值的运算能力，计算时注意遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.9
例3 某房间窗户如图所示(图中长度单位:cm),其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同).计算:
(1)装饰物所占的面积是多少?
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少?
(3)若$a,b$满足$|a-150|+(b-100)^2=0$,求窗户的外框的总长.
【思路导析】(1)根据装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同),把装饰物拼在一起构成一个圆求解即可.
(2)用窗户的面积减去装饰物的面积即可.
(3)先根据非负数的性质求出$a$和$b$的值,然后根据图形求解.
【规范解答】(1)由图可得该圆的半径为$\frac{1}{4}b$,装饰物所占的面积是$(\frac{1}{4}b)^2π=\frac{1}{16}π b^2$.
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积就是矩形面积减去装饰物所占的面积,故窗户中能射进阳光的部分的面积是$(ab-\frac{1}{16}π b^2)\mathrm{cm}^2$.
(1)装饰物所占的面积是多少?
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积是多少?
(3)若$a,b$满足$|a-150|+(b-100)^2=0$,求窗户的外框的总长.
【思路导析】(1)根据装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成(它们的半径相同),把装饰物拼在一起构成一个圆求解即可.
(2)用窗户的面积减去装饰物的面积即可.
(3)先根据非负数的性质求出$a$和$b$的值,然后根据图形求解.
【规范解答】(1)由图可得该圆的半径为$\frac{1}{4}b$,装饰物所占的面积是$(\frac{1}{4}b)^2π=\frac{1}{16}π b^2$.
(2)窗户中能射进阳光的部分的面积就是矩形面积减去装饰物所占的面积,故窗户中能射进阳光的部分的面积是$(ab-\frac{1}{16}π b^2)\mathrm{cm}^2$.
答案
解：
(1) 由题意，装饰物的半径为$\frac{1}{4}b$，两个四分之一圆与一个半圆的面积和恰好等于一个完整圆的面积，
装饰物所占的面积为：
$π · (\frac{1}{4}b)^2 = \frac{1}{16}π b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 窗户整体为长$a$宽$b$的矩形，面积为$ab$，
因此窗户中能射进阳光的部分的面积为：
$(ab - \frac{1}{16}π b^2) \ \mathrm{cm}^2$
(3) 由非负数的性质可知：
$|a-150|≥0$，$(b-100)^2≥0$，
又$|a-150|+(b-100)^2=0$，
所以$a-150=0$，$b-100=0$，
解得$a=150$，$b=100$。
窗户外框总长为$4a + b + \frac{1}{2}π b$，
将$a=150$，$b=100$代入得：
$4×150 + 100 + \frac{1}{2}π × 100 = 700 + 50π \ (\mathrm{cm})$
答：(1) 装饰物所占的面积是$\frac{1}{16}π b^2 \ \mathrm{cm}^2$；(2) 窗户中能射进阳光的部分的面积是$(ab-\frac{1}{16}π b^2) \ \mathrm{cm}^2$；(3) 窗户的外框的总长为$(700+50π)\ \mathrm{cm}$。
(1) 由题意，装饰物的半径为$\frac{1}{4}b$，两个四分之一圆与一个半圆的面积和恰好等于一个完整圆的面积，
装饰物所占的面积为：
$π · (\frac{1}{4}b)^2 = \frac{1}{16}π b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 窗户整体为长$a$宽$b$的矩形，面积为$ab$，
因此窗户中能射进阳光的部分的面积为：
$(ab - \frac{1}{16}π b^2) \ \mathrm{cm}^2$
(3) 由非负数的性质可知：
$|a-150|≥0$，$(b-100)^2≥0$，
又$|a-150|+(b-100)^2=0$，
所以$a-150=0$，$b-100=0$，
解得$a=150$，$b=100$。
窗户外框总长为$4a + b + \frac{1}{2}π b$，
将$a=150$，$b=100$代入得：
$4×150 + 100 + \frac{1}{2}π × 100 = 700 + 50π \ (\mathrm{cm})$
答：(1) 装饰物所占的面积是$\frac{1}{16}π b^2 \ \mathrm{cm}^2$；(2) 窗户中能射进阳光的部分的面积是$(ab-\frac{1}{16}π b^2) \ \mathrm{cm}^2$；(3) 窗户的外框的总长为$(700+50π)\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 观察装饰物的组成：两个四分之一圆和一个半圆，且半径相同，拼接后恰好是1个完整的圆，先根据窗户总宽度b求出圆的半径为$\frac{b}{4}$，再用圆的面积公式计算装饰物面积即可。
(2) 能射进阳光的部分面积为整个矩形窗户的面积减去装饰物的面积，矩形面积为长×宽即$ab$，代入作差即可得到结果。
(3) 首先根据非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，求出$a$、$b$的取值；再分析窗户外框的组成：4根长度为$a$的竖边、1根长度为$b$的下横边，以及上方圆弧的总长度（等于半径为$\frac{b}{4}$的圆的周长的一半），将各部分长度相加后代入$a$、$b$的值计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，装饰物的半径$r=\frac{1}{4}b$，两个四分之一圆与一个半圆的面积和恰好等于1个完整圆的面积，因此装饰物所占面积为：
$π · (\frac{1}{4}b)^2 = \frac{1}{16}π b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 窗户整体是长为$a$、宽为$b$的矩形，面积为$ab \ \mathrm{cm}^2$，因此能射进阳光的部分面积为矩形面积减去装饰物面积：
$ab - \frac{1}{16}π b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
(3) 根据非负数的性质，$|a-150|≥0$，$(b-100)^2≥0$，两式相加等于0，则两式分别为0：
$a-150=0$，$b-100=0$，解得$a=150$，$b=100$。
窗户外框总长为4根竖边长度+下横边长度+上方圆弧长度，即$4a + b + \frac{1}{2}π b$，代入$a=150$，$b=100$得：
$4×150 + 100 + \frac{1}{2}π × 100 = 700 + 50π \ (\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $\frac{1}{16}π b^2 \ \mathrm{cm}^2$
(2) $(ab-\frac{1}{16}π b^2) \ \mathrm{cm}^2$
(3) $(700+50π) \ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆的相关计算；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题结合生活场景命题，既需要观察图形特征，通过拼接简化不规则图形的面积、周长计算，又需要运用非负数性质和代数式运算求解，能够有效考察图形观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察装饰物的组成：两个四分之一圆和一个半圆，且半径相同，拼接后恰好是1个完整的圆，先根据窗户总宽度b求出圆的半径为$\frac{b}{4}$，再用圆的面积公式计算装饰物面积即可。
(2) 能射进阳光的部分面积为整个矩形窗户的面积减去装饰物的面积，矩形面积为长×宽即$ab$，代入作差即可得到结果。
(3) 首先根据非负数的性质：绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，求出$a$、$b$的取值；再分析窗户外框的组成：4根长度为$a$的竖边、1根长度为$b$的下横边，以及上方圆弧的总长度（等于半径为$\frac{b}{4}$的圆的周长的一半），将各部分长度相加后代入$a$、$b$的值计算即可。
【解析】
(1) 由题意可知，装饰物的半径$r=\frac{1}{4}b$，两个四分之一圆与一个半圆的面积和恰好等于1个完整圆的面积，因此装饰物所占面积为：
$π · (\frac{1}{4}b)^2 = \frac{1}{16}π b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
(2) 窗户整体是长为$a$、宽为$b$的矩形，面积为$ab \ \mathrm{cm}^2$，因此能射进阳光的部分面积为矩形面积减去装饰物面积：
$ab - \frac{1}{16}π b^2 \ (\mathrm{cm}^2)$
(3) 根据非负数的性质，$|a-150|≥0$，$(b-100)^2≥0$，两式相加等于0，则两式分别为0：
$a-150=0$，$b-100=0$，解得$a=150$，$b=100$。
窗户外框总长为4根竖边长度+下横边长度+上方圆弧长度，即$4a + b + \frac{1}{2}π b$，代入$a=150$，$b=100$得：
$4×150 + 100 + \frac{1}{2}π × 100 = 700 + 50π \ (\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $\frac{1}{16}π b^2 \ \mathrm{cm}^2$
(2) $(ab-\frac{1}{16}π b^2) \ \mathrm{cm}^2$
(3) $(700+50π) \ \mathrm{cm}$
【知识点】
圆的相关计算；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题结合生活场景命题，既需要观察图形特征，通过拼接简化不规则图形的面积、周长计算，又需要运用非负数性质和代数式运算求解，能够有效考察图形观察能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
