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1.某眼镜厂车间有28名工人,每人每天可以生产20个镜架或30片镜片,1个镜架要配2片镜片,为使每天生产的镜架和镜片刚好配套,应安排生产镜架和镜片的工人各多少名?
解:设应安排x名工人生产镜架,(28−x)名工人生产镜片,则该车间每天可以生产个镜架和片镜片.
根据镜片数量是镜架数量的2倍可列方程得,解得x=,
所以28−x=.
答:应安排名工人生产镜架,
名工人生产镜片.
解:设应安排x名工人生产镜架,(28−x)名工人生产镜片,则该车间每天可以生产个镜架和片镜片.
根据镜片数量是镜架数量的2倍可列方程得,解得x=,
所以28−x=.
答:应安排名工人生产镜架,
名工人生产镜片.
答案
解:设应安排$x$名工人生产镜架,$(28-x)$名工人生产镜片,则该车间每天可以生产$\boldsymbol{20x}$个镜架和$\boldsymbol{30(28-x)}$片镜片.
根据镜片数量是镜架数量的2倍可列方程得$\boldsymbol{30(28-x)=2×20x}$,解得 $x=\boldsymbol{12}$,
所以 $28-x=\boldsymbol{16}$.
答: 应安排$\boldsymbol{12}$名工人生产镜架,
$\boldsymbol{16}$名工人生产镜片.
根据镜片数量是镜架数量的2倍可列方程得$\boldsymbol{30(28-x)=2×20x}$,解得 $x=\boldsymbol{12}$,
所以 $28-x=\boldsymbol{16}$.
答: 应安排$\boldsymbol{12}$名工人生产镜架,
$\boldsymbol{16}$名工人生产镜片.
解析
【分析】
这是一元一次方程配套类典型应用题，解题思路如下：第一步先根据所设未知数，结合“生产总量=工人人数×单人日产量”的公式，分别表示出每天生产镜架、镜片的总数量；第二步找准配套等量关系：1个镜架需要配2片镜片，即镜片总数量是镜架总数量的2倍，根据该关系列方程；第三步求解方程，再计算生产镜片的工人数量即可。
【解析】
设安排x名工人生产镜架，(28-x)名工人生产镜片：
1. 计算生产总量：每名工人每天生产20个镜架，x名工人的日镜架产量为$20x$个；每名工人每天生产30片镜片，(28-x)名工人的日镜片产量为$30(28-x)$片。
2. 列方程：根据镜片数量是镜架数量的2倍的等量关系，可列方程：$30(28-x)=2×20x$
3. 解方程：
展开左侧得：$840 - 30x = 40x$
移项合并同类项得：$70x = 840$
解得：$x=12$
4. 计算生产镜片的工人数量：$28 - x = 28 - 12 = 16$
因此各个空依次填写$20x$、$30(28-x)$、$30(28-x)=2×20x$、$12$、$16$、$12$、$16$。
【答案】
$20x$；$30(28-x)$；$30(28-x)=2×20x$；$12$；$16$；$12$；$16$
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题；一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的核心是准确把握配套规则对应的等量关系，结合生产总量计算公式正确列方程即可，是一元一次方程实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
这是一元一次方程配套类典型应用题，解题思路如下：第一步先根据所设未知数，结合“生产总量=工人人数×单人日产量”的公式，分别表示出每天生产镜架、镜片的总数量；第二步找准配套等量关系：1个镜架需要配2片镜片，即镜片总数量是镜架总数量的2倍，根据该关系列方程；第三步求解方程，再计算生产镜片的工人数量即可。
【解析】
设安排x名工人生产镜架，(28-x)名工人生产镜片：
1. 计算生产总量：每名工人每天生产20个镜架，x名工人的日镜架产量为$20x$个；每名工人每天生产30片镜片，(28-x)名工人的日镜片产量为$30(28-x)$片。
2. 列方程：根据镜片数量是镜架数量的2倍的等量关系，可列方程：$30(28-x)=2×20x$
3. 解方程：
展开左侧得：$840 - 30x = 40x$
移项合并同类项得：$70x = 840$
解得：$x=12$
4. 计算生产镜片的工人数量：$28 - x = 28 - 12 = 16$
因此各个空依次填写$20x$、$30(28-x)$、$30(28-x)=2×20x$、$12$、$16$、$12$、$16$。
【答案】
$20x$；$30(28-x)$；$30(28-x)=2×20x$；$12$；$16$；$12$；$16$
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题；一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础类应用题，解题的核心是准确把握配套规则对应的等量关系，结合生产总量计算公式正确列方程即可，是一元一次方程实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
2.一项工作，甲单独做要12 h，乙单独做要24 h，则甲工作1 h可完成这项工作的，乙工作1 h可完成这项工作的，若甲、乙合作x h可完成这项工作，则可列方程为，解得x=。
答案
解：
将总工作量看作单位1，
甲工作1 h可完成这项工作的$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$，
乙工作1 h可完成这项工作的$\boldsymbol{\frac{1}{24}}$，
根据题意列方程：
$\frac{1}{12}x + \frac{1}{24}x = 1$
合并同类项，得$\frac{1}{8}x=1$，
系数化为1，解得$x=\boldsymbol{8}$。
将总工作量看作单位1，
甲工作1 h可完成这项工作的$\boldsymbol{\frac{1}{12}}$，
乙工作1 h可完成这项工作的$\boldsymbol{\frac{1}{24}}$，
根据题意列方程：
$\frac{1}{12}x + \frac{1}{24}x = 1$
合并同类项，得$\frac{1}{8}x=1$，
系数化为1，解得$x=\boldsymbol{8}$。
解析
【分析】
工程类问题通常先将总工作量设为单位“1”，解题思路如下：第一步，根据“工作效率=总工作量÷单独完成的总时间”，分别计算甲、乙每小时完成的工作量（即工作效率）；第二步，两人合作时，总工作量等于两人各自完成的工作量之和，其中单人工作量=工作效率×工作时间，据此等量关系列出一元一次方程；第三步，解一元一次方程即可得到合作所需时间。
【解析】
将这项工作的总工作量看作单位“1”：
1. 甲单独完成需要12h，因此甲工作1h完成的工作量为$1÷12=\frac{1}{12}$；
2. 乙单独完成需要24h，因此乙工作1h完成的工作量为$1÷24=\frac{1}{24}$；
3. 甲、乙合作x h时，甲完成的工作量为$\frac{1}{12}x$，乙完成的工作量为$\frac{1}{24}x$，两人完成的工作量之和等于总工作量1，列方程得：
$\frac{1}{12}x + \frac{1}{24}x = 1$
4. 解方程：
合并同类项，得$\frac{3}{24}x=1$，即$\frac{1}{8}x=1$；
系数化为1，得$x=8$。
【答案】
$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{24}$；$\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}x=1$；$8$
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；工作量计算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，主要考查工程问题基本等量关系的运用，以及列一元一次方程解应用题的能力，熟练掌握“工作量=工作效率×工作时间”“合作总工作量=各单人工作量之和”是解题的关键。
【难度系数】
0.8
工程类问题通常先将总工作量设为单位“1”，解题思路如下：第一步，根据“工作效率=总工作量÷单独完成的总时间”，分别计算甲、乙每小时完成的工作量（即工作效率）；第二步，两人合作时，总工作量等于两人各自完成的工作量之和，其中单人工作量=工作效率×工作时间，据此等量关系列出一元一次方程；第三步，解一元一次方程即可得到合作所需时间。
【解析】
将这项工作的总工作量看作单位“1”：
1. 甲单独完成需要12h，因此甲工作1h完成的工作量为$1÷12=\frac{1}{12}$；
2. 乙单独完成需要24h，因此乙工作1h完成的工作量为$1÷24=\frac{1}{24}$；
3. 甲、乙合作x h时，甲完成的工作量为$\frac{1}{12}x$，乙完成的工作量为$\frac{1}{24}x$，两人完成的工作量之和等于总工作量1，列方程得：
$\frac{1}{12}x + \frac{1}{24}x = 1$
4. 解方程：
合并同类项，得$\frac{3}{24}x=1$，即$\frac{1}{8}x=1$；
系数化为1，得$x=8$。
【答案】
$\frac{1}{12}$；$\frac{1}{24}$；$\frac{1}{12}x+\frac{1}{24}x=1$；$8$
【知识点】
工程问题；一元一次方程的应用；工作量计算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，主要考查工程问题基本等量关系的运用，以及列一元一次方程解应用题的能力，熟练掌握“工作量=工作效率×工作时间”“合作总工作量=各单人工作量之和”是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.41人参加运土劳动，有30根扁担，安排多少人抬，多少人挑，可使扁担和人数相配不多不少？若设有x人挑土，则可列方程是()
A.$2x-(30-x)=41$
B.$\frac{x}{2}+(41-x)=30$
C.$x+\frac{41-x}{2}=30$
D.$30-x=41-x$
A.$2x-(30-x)=41$
B.$\frac{x}{2}+(41-x)=30$
C.$x+\frac{41-x}{2}=30$
D.$30-x=41-x$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确两种运土方式对应的人数和扁担数的关系：挑土是1人用1根扁担，抬土是2人共用1根扁担。题目已设x人挑土，首先可求出抬土的人数为总人数减去挑土人数，再分别计算挑土、抬土所用的扁担数量，最后根据总扁担数为30这一等量关系列方程即可。
【解析】
设有x人挑土，则抬土的人数为$(41-x)$人。
挑土场景下，1人使用1根扁担，因此挑土消耗的扁担数量为x根；
抬土场景下，2人共用1根扁担，因此抬土消耗的扁担数量为$\frac{41-x}{2}$根。
已知总扁担数为30根，两种场景消耗的扁担总数等于总扁担数，因此可列方程：
$x+\frac{41-x}{2}=30$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；配套问题
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题核心是理清不同场景下两类量的对应关系，找准等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两种运土方式对应的人数和扁担数的关系：挑土是1人用1根扁担，抬土是2人共用1根扁担。题目已设x人挑土，首先可求出抬土的人数为总人数减去挑土人数，再分别计算挑土、抬土所用的扁担数量，最后根据总扁担数为30这一等量关系列方程即可。
【解析】
设有x人挑土，则抬土的人数为$(41-x)$人。
挑土场景下，1人使用1根扁担，因此挑土消耗的扁担数量为x根；
抬土场景下，2人共用1根扁担，因此抬土消耗的扁担数量为$\frac{41-x}{2}$根。
已知总扁担数为30根，两种场景消耗的扁担总数等于总扁担数，因此可列方程：
$x+\frac{41-x}{2}=30$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；配套问题
【点评】
本题是典型的配套类实际应用题，解题核心是理清不同场景下两类量的对应关系，找准等量关系即可快速列出方程。
【难度系数】
0.7
4. 整理一批图书，由1人做要30 h完成.现在计划由一部分人先做2 h，再增加3人和他们一起做4 h，完成这项工作.假设这些人的工作效率相同，具体先安排x人工作.可列方程为()
A.$\frac{2}{30}x - \frac{4}{30}(x+3)=1$
B.$\frac{2}{30}x + \frac{4}{30}(x-3)=1$
C.$\frac{2}{30}(x+3) + \frac{4}{30}x=1$
D.$\frac{2}{30}x + \frac{4}{30}(x+3)=1$
A.$\frac{2}{30}x - \frac{4}{30}(x+3)=1$
B.$\frac{2}{30}x + \frac{4}{30}(x-3)=1$
C.$\frac{2}{30}(x+3) + \frac{4}{30}x=1$
D.$\frac{2}{30}x + \frac{4}{30}(x+3)=1$
答案
D
解析
【分析】
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，先算出单人的工作效率：因为1人做完全部工作要30h，所以每人每小时的工作效率为$\frac{1}{30}$。接下来分两个阶段计算工作量：第一阶段是x人工作2小时的工作量，第二阶段是增加3人后（即x+3人）工作4小时的工作量，根据“两个阶段的工作量之和=总工作量1”即可列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
解：把这批图书的总工作量看作单位“1”，则单人每小时的工作效率为$\frac{1}{30}$。
1. 先安排的x人工作2小时的工作量为：$\frac{1}{30} × x × 2 = \frac{2}{30}x$
2. 增加3人后，总人数为$(x+3)$人，这部分人工作4小时的工作量为：$\frac{1}{30} × (x+3) × 4 = \frac{4}{30}(x+3)$
3. 总工作量为两部分之和，等于单位“1”，因此可列方程：
$\frac{2}{30}x + \frac{4}{30}(x+3) = 1$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题应用题、一元一次方程列法、工作量计算公式
【点评】
本题是工程类方程应用的基础题型，解题关键是熟练掌握工程问题中“总工作量设为1”的设定，分阶段准确计算各部分工作量，注意人数变化对应的工作阶段不要混淆即可正确解题。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类一元一次方程应用题，解题时先将总工作量看作单位“1”，先算出单人的工作效率：因为1人做完全部工作要30h，所以每人每小时的工作效率为$\frac{1}{30}$。接下来分两个阶段计算工作量：第一阶段是x人工作2小时的工作量，第二阶段是增加3人后（即x+3人）工作4小时的工作量，根据“两个阶段的工作量之和=总工作量1”即可列出方程，再对应选项判断即可。
【解析】
解：把这批图书的总工作量看作单位“1”，则单人每小时的工作效率为$\frac{1}{30}$。
1. 先安排的x人工作2小时的工作量为：$\frac{1}{30} × x × 2 = \frac{2}{30}x$
2. 增加3人后，总人数为$(x+3)$人，这部分人工作4小时的工作量为：$\frac{1}{30} × (x+3) × 4 = \frac{4}{30}(x+3)$
3. 总工作量为两部分之和，等于单位“1”，因此可列方程：
$\frac{2}{30}x + \frac{4}{30}(x+3) = 1$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
工程问题应用题、一元一次方程列法、工作量计算公式
【点评】
本题是工程类方程应用的基础题型，解题关键是熟练掌握工程问题中“总工作量设为1”的设定，分阶段准确计算各部分工作量，注意人数变化对应的工作阶段不要混淆即可正确解题。
【难度系数】
0.8
5. 水池有一注水管，单开5 h可以将空水池注满水；另有一出水管，单开18 h可以把满池水放完。若两管同时开，则注满水池所需的时间是（）
A.$\frac{90}{13}$ h
B.$\frac{13}{90}$ h
C.$\frac{90}{23}$ h
D.$\frac{23}{90}$ h
A.$\frac{90}{13}$ h
B.$\frac{13}{90}$ h
C.$\frac{90}{23}$ h
D.$\frac{23}{90}$ h
答案
A
解析
【分析】
这是典型的工程类应用题，解题时先将水池的总容量看作单位“1”，先分别求出注水管和出水管的工作效率：注水管单开5小时注满，每小时的注水效率为总容量的$\frac{1}{5}$；出水管单开18小时放完，每小时的放水效率为总容量的$\frac{1}{18}$。两管同时打开时，每小时实际的净进水量为注水效率减去放水效率，再根据“总工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设两管同时开注满水池需要$x$小时，将水池总容量看作单位“1”。
注水管每小时的工作效率为$\frac{1}{5}$，$x$小时的注水量为$\frac{1}{5}x$；
出水管每小时的工作效率为$\frac{1}{18}$，$x$小时的放水量为$\frac{1}{18}x$；
注满水池时，注水量减去放水量等于总容量1，据此列方程：
$\frac{1}{5}x - \frac{1}{18}x =1$
通分计算得：$\frac{18x}{90} - \frac{5x}{90}=1$
化简得：$\frac{13x}{90}=1$
解得：$x=\frac{90}{13}$
所以注满水池所需时间为$\frac{90}{13}$h。
【答案】
A
【知识点】
工程问题解法，一元一次方程的应用，工作效率计算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确计算同时作业时的净工作效率，再结合工作量、效率、时间三者的关系建立方程求解，掌握该方法可解决同类型的进出水、合作做工类问题。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类应用题，解题时先将水池的总容量看作单位“1”，先分别求出注水管和出水管的工作效率：注水管单开5小时注满，每小时的注水效率为总容量的$\frac{1}{5}$；出水管单开18小时放完，每小时的放水效率为总容量的$\frac{1}{18}$。两管同时打开时，每小时实际的净进水量为注水效率减去放水效率，再根据“总工作量=工作效率×工作时间”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
设两管同时开注满水池需要$x$小时，将水池总容量看作单位“1”。
注水管每小时的工作效率为$\frac{1}{5}$，$x$小时的注水量为$\frac{1}{5}x$；
出水管每小时的工作效率为$\frac{1}{18}$，$x$小时的放水量为$\frac{1}{18}x$；
注满水池时，注水量减去放水量等于总容量1，据此列方程：
$\frac{1}{5}x - \frac{1}{18}x =1$
通分计算得：$\frac{18x}{90} - \frac{5x}{90}=1$
化简得：$\frac{13x}{90}=1$
解得：$x=\frac{90}{13}$
所以注满水池所需时间为$\frac{90}{13}$h。
【答案】
A
【知识点】
工程问题解法，一元一次方程的应用，工作效率计算
【点评】
本题是工程问题的基础题型，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确计算同时作业时的净工作效率，再结合工作量、效率、时间三者的关系建立方程求解，掌握该方法可解决同类型的进出水、合作做工类问题。
【难度系数】
0.7
