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例1 用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱。为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设把x张彩纸制作圆柱侧面，则可列方程为()
A.$60x=20(200-x)$
B.$20x=2×60(200-x)$
C.$2×60x=20(200-x)$
D.$2×20x=60(200-x)$
【思路导析】因为用x张彩纸制作圆柱侧面，所以用$(200-x)$张彩纸制作底面，所以制作的圆柱侧面有$20x$个，底面有$60(200-x)$个。
因为一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱，所以圆柱侧面的个数$×2=$底面个数。
【请你解答】
A.$60x=20(200-x)$
B.$20x=2×60(200-x)$
C.$2×60x=20(200-x)$
D.$2×20x=60(200-x)$
【思路导析】因为用x张彩纸制作圆柱侧面，所以用$(200-x)$张彩纸制作底面，所以制作的圆柱侧面有$20x$个，底面有$60(200-x)$个。
因为一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱，所以圆柱侧面的个数$×2=$底面个数。
【请你解答】
答案
D
解析
【分析】
本题是一元一次方程配套类应用题，解题思路分三步：第一步先确定制作侧面和底面的彩纸数量，已知x张做侧面，总彩纸200张，因此做底面的彩纸为(200-x)张；第二步分别计算侧面、底面的总数量：每张彩纸做20个侧面，所以侧面总数为20x，每张彩纸做60个底面，所以底面总数为60(200-x)；第三步找配套等量关系：1个圆柱需要1个侧面配2个底面，要正好配套，底面总数量是侧面总数量的2倍，将对应量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则制作底面的彩纸数量为(200-x)张。
可制作的侧面总数量：20x 个
可制作的底面总数量：60(200-x) 个
根据“1个圆柱需要1个侧面搭配2个底面，正好配套时底面总数是侧面总数的2倍”，列方程得：
$2×20x = 60(200-x)$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 配套问题
2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是配套问题的基础题型，解题核心是准确抓住“1个侧面配2个底面”的数量关系，易错点是容易颠倒侧面和底面的2倍对应关系，解题时可结合实际配套逻辑判断哪个量更大，避免列错方程。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程配套类应用题，解题思路分三步：第一步先确定制作侧面和底面的彩纸数量，已知x张做侧面，总彩纸200张，因此做底面的彩纸为(200-x)张；第二步分别计算侧面、底面的总数量：每张彩纸做20个侧面，所以侧面总数为20x，每张彩纸做60个底面，所以底面总数为60(200-x)；第三步找配套等量关系：1个圆柱需要1个侧面配2个底面，要正好配套，底面总数量是侧面总数量的2倍，将对应量代入等量关系即可列出方程。
【解析】
解：设把x张彩纸制作圆柱侧面，则制作底面的彩纸数量为(200-x)张。
可制作的侧面总数量：20x 个
可制作的底面总数量：60(200-x) 个
根据“1个圆柱需要1个侧面搭配2个底面，正好配套时底面总数是侧面总数的2倍”，列方程得：
$2×20x = 60(200-x)$
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 配套问题
2. 一元一次方程的实际应用
【点评】
本题是配套问题的基础题型，解题核心是准确抓住“1个侧面配2个底面”的数量关系，易错点是容易颠倒侧面和底面的2倍对应关系，解题时可结合实际配套逻辑判断哪个量更大，避免列错方程。
【难度系数】
0.8
例2 为建设市民河堤漫步休闲通道，某新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A，B两个工程队先后接力完成.A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天.
(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列方程如下：
甲：$12x + 8(20 - x) = 180$；
乙：$\frac{x}{12} + \frac{180 - x}{8} = 20$.
请你分别指出甲、乙两名同学所列方程中的代数式表示的意义.
甲：$x$表示________，
$20 - x$表示________.
乙：$x$表示________，
$180 - x$表示________.
(2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度.(写出完整的解答过程)
【思路导析】根据不同对象所完成工作量之和等于总工作量寻找等量关系.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列方程如下：
甲：$12x + 8(20 - x) = 180$；
乙：$\frac{x}{12} + \frac{180 - x}{8} = 20$.
请你分别指出甲、乙两名同学所列方程中的代数式表示的意义.
甲：$x$表示________，
$20 - x$表示________.
乙：$x$表示________，
$180 - x$表示________.
(2)请你从甲、乙两位同学的解答思路中，选择一种你喜欢的思路，求A、B两工程队分别整治河堤的长度.(写出完整的解答过程)
【思路导析】根据不同对象所完成工作量之和等于总工作量寻找等量关系.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1)
甲：$x$表示A工程队整治河堤的天数，
$20 - x$表示B工程队整治河堤的天数。
乙：$x$表示A工程队整治河堤的长度，
$180 - x$表示B工程队整治河堤的长度。
(2) 选择甲同学的思路求解：
设A工程队整治河堤的天数为$x$天，则B工程队整治河堤的天数为$(20-x)$天。
根据题意列方程：
$12x + 8(20 - x) = 180$
去括号，得：$12x + 160 - 8x = 180$
移项，得：$12x - 8x = 180 - 160$
合并同类项，得：$4x = 20$
系数化为1，得：$x = 5$
A工程队整治河堤的长度为：$12 × 5 = 60$（米）
B工程队整治河堤的长度为：$8 × (20 - 5) = 120$（米）
答：A工程队整治河堤的长度为60米，B工程队整治河堤的长度为120米。
(1)
甲：$x$表示A工程队整治河堤的天数，
$20 - x$表示B工程队整治河堤的天数。
乙：$x$表示A工程队整治河堤的长度，
$180 - x$表示B工程队整治河堤的长度。
(2) 选择甲同学的思路求解：
设A工程队整治河堤的天数为$x$天，则B工程队整治河堤的天数为$(20-x)$天。
根据题意列方程：
$12x + 8(20 - x) = 180$
去括号，得：$12x + 160 - 8x = 180$
移项，得：$12x - 8x = 180 - 160$
合并同类项，得：$4x = 20$
系数化为1，得：$x = 5$
A工程队整治河堤的长度为：$12 × 5 = 60$（米）
B工程队整治河堤的长度为：$8 × (20 - 5) = 120$（米）
答：A工程队整治河堤的长度为60米，B工程队整治河堤的长度为120米。
解析
【分析】
(1) 判断未知数的意义需结合方程对应的等量关系分析：甲同学的方程遵循“两队整治总长度之和=180米”的等量关系，结合“工作总量=工作效率×工作时间”的公式，可推导出x的意义；乙同学的方程遵循“两队工作总时长之和=20天”的等量关系，结合“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，可推导出x的意义。
(2) 若选择甲同学的思路，先设A队工作天数为未知数，根据总工作量的等量关系列方程，解方程求出天数后，再分别乘两队的工作效率，即可得到两队整治河堤的长度。
【解析】
(1) 甲的方程中，12是A队每天整治长度，8是B队每天整治长度，两项乘积相加为总长度180米，因此x表示A工程队整治河堤的天数，20-x表示B工程队整治河堤的天数；
乙的方程中，两项均为“整治长度÷每天整治长度”即工作时间，相加为总时长20天，因此x表示A工程队整治河堤的长度，180-x表示B工程队整治河堤的长度。
(2) 选择甲同学的思路求解：
设A工程队整治河堤的天数为$x$天，则B工程队整治河堤的天数为$(20-x)$天。
根据题意列方程：
$12x + 8(20 - x) = 180$
去括号，得：$12x + 160 - 8x = 180$
移项，得：$12x - 8x = 180 - 160$
合并同类项，得：$4x = 20$
系数化为1，得：$x = 5$
A工程队整治河堤的长度为：$12 × 5 = 60$（米）
B工程队整治河堤的长度为：$8 × (20 - 5) = 120$（米）
【答案】
(1) A工程队整治河堤的天数；B工程队整治河堤的天数；A工程队整治河堤的长度；B工程队整治河堤的长度
(2) A工程队整治河堤的长度为60米，B工程队整治河堤的长度为120米
【知识点】
一元一次方程应用；工程问题；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的工程类一元一次方程应用题，设置了两种不同的设元方式，能够帮助学生理解间接设元和直接设元的区别，考查学生对工程问题基本等量关系的掌握，有效锻炼学生分析题意、梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 判断未知数的意义需结合方程对应的等量关系分析：甲同学的方程遵循“两队整治总长度之和=180米”的等量关系，结合“工作总量=工作效率×工作时间”的公式，可推导出x的意义；乙同学的方程遵循“两队工作总时长之和=20天”的等量关系，结合“工作时间=工作总量÷工作效率”的公式，可推导出x的意义。
(2) 若选择甲同学的思路，先设A队工作天数为未知数，根据总工作量的等量关系列方程，解方程求出天数后，再分别乘两队的工作效率，即可得到两队整治河堤的长度。
【解析】
(1) 甲的方程中，12是A队每天整治长度，8是B队每天整治长度，两项乘积相加为总长度180米，因此x表示A工程队整治河堤的天数，20-x表示B工程队整治河堤的天数；
乙的方程中，两项均为“整治长度÷每天整治长度”即工作时间，相加为总时长20天，因此x表示A工程队整治河堤的长度，180-x表示B工程队整治河堤的长度。
(2) 选择甲同学的思路求解：
设A工程队整治河堤的天数为$x$天，则B工程队整治河堤的天数为$(20-x)$天。
根据题意列方程：
$12x + 8(20 - x) = 180$
去括号，得：$12x + 160 - 8x = 180$
移项，得：$12x - 8x = 180 - 160$
合并同类项，得：$4x = 20$
系数化为1，得：$x = 5$
A工程队整治河堤的长度为：$12 × 5 = 60$（米）
B工程队整治河堤的长度为：$8 × (20 - 5) = 120$（米）
【答案】
(1) A工程队整治河堤的天数；B工程队整治河堤的天数；A工程队整治河堤的长度；B工程队整治河堤的长度
(2) A工程队整治河堤的长度为60米，B工程队整治河堤的长度为120米
【知识点】
一元一次方程应用；工程问题；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的工程类一元一次方程应用题，设置了两种不同的设元方式，能够帮助学生理解间接设元和直接设元的区别，考查学生对工程问题基本等量关系的掌握，有效锻炼学生分析题意、梳理数量关系的能力。
【难度系数】
0.7
例3 某中学库存若干套桌椅，准备修理后支援贫困山区学校，现有甲、乙两木工组，甲每天修理桌椅16套，乙每天修理的桌椅比甲多8套，甲单独修理完这些桌椅比乙单独修理完多用20天，学校每天付甲组80元修理费，付乙组120元修理费。
(1)该中学库存多少套桌椅？
(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：a.由甲单独修理；b.由乙单独修理；c.甲、乙合作同时修理，你认为哪种方案省时又省钱？为什么？
【规范解答】(1)设该中学库存$x$套桌椅，甲每天修理16套，乙每天修理$16+8=24$套。
由题意得：$\frac{x}{16} - \frac{x}{24} = 20$. 解得$x=960$
(2)方案a 由甲单独修理，时间为$\frac{960}{16}=60$天，费用：$(80+10)×60=5400$(元).
方案b 由乙单独修理，时间为$\frac{960}{24}=40$天，费用：$(120+10)×40=5200$(元).
方案c 由甲、乙合作同时修理，效率和为：$16+24=40$(套/天)
时间为：$\frac{960}{40}=24$(天)，费用：$(80+120+10)×24=5040$(元)
比较：时间：$24＜40＜60$，费用：$5040＜5200＜5400$.
故选择方案c.
(1)该中学库存多少套桌椅？
(2)在修理过程中，学校要派一名工人进行质量监督，学校负担他每天10元生活补助费，现有三种修理方案：a.由甲单独修理；b.由乙单独修理；c.甲、乙合作同时修理，你认为哪种方案省时又省钱？为什么？
【规范解答】(1)设该中学库存$x$套桌椅，甲每天修理16套，乙每天修理$16+8=24$套。
由题意得：$\frac{x}{16} - \frac{x}{24} = 20$. 解得$x=960$
(2)方案a 由甲单独修理，时间为$\frac{960}{16}=60$天，费用：$(80+10)×60=5400$(元).
方案b 由乙单独修理，时间为$\frac{960}{24}=40$天，费用：$(120+10)×40=5200$(元).
方案c 由甲、乙合作同时修理，效率和为：$16+24=40$(套/天)
时间为：$\frac{960}{40}=24$(天)，费用：$(80+120+10)×24=5040$(元)
比较：时间：$24＜40＜60$，费用：$5040＜5200＜5400$.
故选择方案c.
答案
解：
(1) 设该中学库存$x$套桌椅，
乙每天修理桌椅的数量为$16+8=24$套。
由题意列方程：
$\frac{x}{16}-\frac{x}{24}=20$
解得$x=960$。
(2) 计算三种方案的修理时间和总费用：
方案a：甲单独修理
修理时间：$\frac{960}{16}=60$天
总费用：$(80+10)×60=5400$元
方案b：乙单独修理
修理时间：$\frac{960}{24}=40$天
总费用：$(120+10)×40=5200$元
方案c：甲、乙合作同时修理
每天一共修理桌椅：$16+24=40$套
修理时间：$\frac{960}{40}=24$天
总费用：$(80+120+10)×24=5040$元
比较可得：修理时间$24＜40＜60$，总费用$5040＜5200＜5400$，方案c耗时最短，总费用最低。
答：(1)该中学库存960套桌椅；(2)选择方案c省时又省钱，因为该方案修理所需时间最少，且总支出费用最少。
(1) 设该中学库存$x$套桌椅，
乙每天修理桌椅的数量为$16+8=24$套。
由题意列方程：
$\frac{x}{16}-\frac{x}{24}=20$
解得$x=960$。
(2) 计算三种方案的修理时间和总费用：
方案a：甲单独修理
修理时间：$\frac{960}{16}=60$天
总费用：$(80+10)×60=5400$元
方案b：乙单独修理
修理时间：$\frac{960}{24}=40$天
总费用：$(120+10)×40=5200$元
方案c：甲、乙合作同时修理
每天一共修理桌椅：$16+24=40$套
修理时间：$\frac{960}{40}=24$天
总费用：$(80+120+10)×24=5040$元
比较可得：修理时间$24＜40＜60$，总费用$5040＜5200＜5400$，方案c耗时最短，总费用最低。
答：(1)该中学库存960套桌椅；(2)选择方案c省时又省钱，因为该方案修理所需时间最少，且总支出费用最少。
解析
【分析】
(1) 本题属于工程类一元一次方程应用题，核心等量关系为：甲单独修理的总天数 - 乙单独修理的总天数 = 20天。首先计算出乙每天修理的桌椅套数，再设库存桌椅总套数为x，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出甲、乙的工作时间，代入等量关系列方程求解即可。
(2) 要选出省时又省钱的方案，需分别计算三种方案的修理时长和总费用，计算总费用时不要遗漏每天10元的质量监督员生活补助费，最后对比三个方案的时长和费用，选出时间最短、费用最低的方案即可。
【解析】
(1) 设该中学库存$x$套桌椅，
乙每天修理桌椅的数量为$16+8=24$套。
由题意列方程：
$\frac{x}{16}-\frac{x}{24}=20$
通分后得$\frac{3x-2x}{48}=20$，解得$x=960$。
(2) 计算三种方案的修理时间和总费用：
方案a：甲单独修理
修理时间：$\frac{960}{16}=60$天
总费用：$(80+10)×60=5400$元
方案b：乙单独修理
修理时间：$\frac{960}{24}=40$天
总费用：$(120+10)×40=5200$元
方案c：甲、乙合作同时修理
每天一共修理桌椅：$16+24=40$套
修理时间：$\frac{960}{40}=24$天
总费用：$(80+120+10)×24=5040$元
对比可得：修理时间$24＜40＜60$，总费用$5040＜5200＜5400$，方案c耗时最短，总费用最低。
【答案】
(1)该中学库存960套桌椅；(2)选择方案c省时又省钱，因为该方案修理所需时间最少，且总支出费用最少。
【知识点】
一元一次方程应用、工程问题、方案选择
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，既考查列一元一次方程解应用题的能力，也考查数据计算与对比分析的能力，解题时要注意不要遗漏监督员的生活补助费，避免总费用计算出错。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于工程类一元一次方程应用题，核心等量关系为：甲单独修理的总天数 - 乙单独修理的总天数 = 20天。首先计算出乙每天修理的桌椅套数，再设库存桌椅总套数为x，根据“工作时间=工作总量÷工作效率”分别表示出甲、乙的工作时间，代入等量关系列方程求解即可。
(2) 要选出省时又省钱的方案，需分别计算三种方案的修理时长和总费用，计算总费用时不要遗漏每天10元的质量监督员生活补助费，最后对比三个方案的时长和费用，选出时间最短、费用最低的方案即可。
【解析】
(1) 设该中学库存$x$套桌椅，
乙每天修理桌椅的数量为$16+8=24$套。
由题意列方程：
$\frac{x}{16}-\frac{x}{24}=20$
通分后得$\frac{3x-2x}{48}=20$，解得$x=960$。
(2) 计算三种方案的修理时间和总费用：
方案a：甲单独修理
修理时间：$\frac{960}{16}=60$天
总费用：$(80+10)×60=5400$元
方案b：乙单独修理
修理时间：$\frac{960}{24}=40$天
总费用：$(120+10)×40=5200$元
方案c：甲、乙合作同时修理
每天一共修理桌椅：$16+24=40$套
修理时间：$\frac{960}{40}=24$天
总费用：$(80+120+10)×24=5040$元
对比可得：修理时间$24＜40＜60$，总费用$5040＜5200＜5400$，方案c耗时最短，总费用最低。
【答案】
(1)该中学库存960套桌椅；(2)选择方案c省时又省钱，因为该方案修理所需时间最少，且总支出费用最少。
【知识点】
一元一次方程应用、工程问题、方案选择
【点评】
本题是结合生活场景的实际应用题，既考查列一元一次方程解应用题的能力，也考查数据计算与对比分析的能力，解题时要注意不要遗漏监督员的生活补助费，避免总费用计算出错。
【难度系数】
0.7
