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练习四
定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”.如方程 $2x=4$ 和 $3x+6=0$ 为“兄弟方程”.
(1)若关于 $x$ 的方程 $5x+m=0$ 与方程 $2x-4=x+1$ 是“兄弟方程”，求 $m$ 的值；
(2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为 8，其中一个解为 $n$，求 $n$ 的值；
(3)若关于 $x$ 的方程 $2x+3m-2=0$ 和 $3x-5m+4=0$ 是“兄弟方程”，求这两个方程的解.
定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”.如方程 $2x=4$ 和 $3x+6=0$ 为“兄弟方程”.
(1)若关于 $x$ 的方程 $5x+m=0$ 与方程 $2x-4=x+1$ 是“兄弟方程”，求 $m$ 的值；
(2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为 8，其中一个解为 $n$，求 $n$ 的值；
(3)若关于 $x$ 的方程 $2x+3m-2=0$ 和 $3x-5m+4=0$ 是“兄弟方程”，求这两个方程的解.
答案
解：
(1) 解方程 $2x - 4 = x + 1$，
移项得：$2x - x = 1 + 4$，
解得：$x = 5$。
由“兄弟方程”的定义，可知方程$5x + m = 0$的解为$x = -5$。
将$x=-5$代入$5x + m = 0$，得：
$5×(-5) + m = 0$，
解得：$m = 25$。
(2) 由“兄弟方程”的定义，可知另一个解为$-n$。
根据两个解的差为8，分两种情况：
当$n - (-n) = 8$时，$2n = 8$，解得$n=4$；
当$-n - n = 8$时，$-2n = 8$，解得$n=-4$。
所以$n$的值为$4$或$-4$。
(3) 解方程$2x + 3m - 2 = 0$，得：
$2x = 2 - 3m$，$x = \frac{2 - 3m}{2}$。
解方程$3x - 5m + 4 = 0$，得：
$3x = 5m - 4$，$x = \frac{5m - 4}{3}$。
由“兄弟方程”的定义，两个解互为相反数，因此：
$\frac{2 - 3m}{2} + \frac{5m - 4}{3} = 0$，
两边同乘6去分母，得：$3(2 - 3m) + 2(5m - 4) = 0$，
展开整理得：$6 - 9m + 10m - 8 = 0$，
解得：$m = 2$。
将$m=2$代入，第一个方程的解为$\frac{2 - 3×2}{2} = -2$，
第二个方程的解为$2$。
所以这两个方程的解分别为$-2$和$2$。
(1) 解方程 $2x - 4 = x + 1$，
移项得：$2x - x = 1 + 4$，
解得：$x = 5$。
由“兄弟方程”的定义，可知方程$5x + m = 0$的解为$x = -5$。
将$x=-5$代入$5x + m = 0$，得：
$5×(-5) + m = 0$，
解得：$m = 25$。
(2) 由“兄弟方程”的定义，可知另一个解为$-n$。
根据两个解的差为8，分两种情况：
当$n - (-n) = 8$时，$2n = 8$，解得$n=4$；
当$-n - n = 8$时，$-2n = 8$，解得$n=-4$。
所以$n$的值为$4$或$-4$。
(3) 解方程$2x + 3m - 2 = 0$，得：
$2x = 2 - 3m$，$x = \frac{2 - 3m}{2}$。
解方程$3x - 5m + 4 = 0$，得：
$3x = 5m - 4$，$x = \frac{5m - 4}{3}$。
由“兄弟方程”的定义，两个解互为相反数，因此：
$\frac{2 - 3m}{2} + \frac{5m - 4}{3} = 0$，
两边同乘6去分母，得：$3(2 - 3m) + 2(5m - 4) = 0$，
展开整理得：$6 - 9m + 10m - 8 = 0$，
解得：$m = 2$。
将$m=2$代入，第一个方程的解为$\frac{2 - 3×2}{2} = -2$，
第二个方程的解为$2$。
所以这两个方程的解分别为$-2$和$2$。
解析
【分析】
本题围绕新定义“兄弟方程”展开，解题核心是抓住“两个方程的解互为相反数”这一核心条件，结合一元一次方程的解法逐步推导：
(1) 先解出方程$2x-4=x+1$的解，根据“兄弟方程”的定义得到$5x+m=0$的解为其相反数，将解代入$5x+m=0$即可求出m；
(2) 已知一个解为n，由定义可知另一个解为$-n$，两个解的差为8，需分“n减去$-n$等于8”和“$-n$减去n等于8”两种情况列方程求解，避免漏解；
(3) 先分别把两个方程的解用含m的代数式表示出来，再根据两个解互为相反数（和为0）列方程求出m的值，最后将m代回代数式即可得到两个方程的解。
【解析】
(1) 解方程 $2x - 4 = x + 1$，
移项得：$2x - x = 1 + 4$，
解得：$x = 5$。
由“兄弟方程”的定义，可知方程$5x + m = 0$的解为$x = -5$。
将$x=-5$代入$5x + m = 0$，得：
$5×(-5) + m = 0$，
解得：$m = 25$。
(2) 由“兄弟方程”的定义，可知另一个解为$-n$。
根据两个解的差为8，分两种情况：
当$n - (-n) = 8$时，$2n = 8$，解得$n=4$；
当$-n - n = 8$时，$-2n = 8$，解得$n=-4$。
所以$n$的值为$4$或$-4$。
(3) 解方程$2x + 3m - 2 = 0$，得：
$2x = 2 - 3m$，$x = \frac{2 - 3m}{2}$。
解方程$3x - 5m + 4 = 0$，得：
$3x = 5m - 4$，$x = \frac{5m - 4}{3}$。
由“兄弟方程”的定义，两个解互为相反数，因此：
$\frac{2 - 3m}{2} + \frac{5m - 4}{3} = 0$，
两边同乘6去分母，得：$3(2 - 3m) + 2(5m - 4) = 0$，
展开整理得：$6 - 9m + 10m - 8 = 0$，
解得：$m = 2$。
将$m=2$代入，第一个方程的解为$\frac{2 - 3×2}{2} = -2$，
第二个方程的解为$2$。
所以这两个方程的解分别为$-2$和$2$。
【答案】
(1) $m=25$；
(2) $n=4$或$n=-4$；
(3) 两个方程的解分别为$-2$和$2$。
【知识点】
一元一次方程求解，相反数的性质，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题的关键是准确理解“兄弟方程”的含义，将新定义转化为已学的相反数相关的数量关系，第二问需要注意分类讨论，避免因考虑不全面漏解。
【难度系数】
0.7
本题围绕新定义“兄弟方程”展开，解题核心是抓住“两个方程的解互为相反数”这一核心条件，结合一元一次方程的解法逐步推导：
(1) 先解出方程$2x-4=x+1$的解，根据“兄弟方程”的定义得到$5x+m=0$的解为其相反数，将解代入$5x+m=0$即可求出m；
(2) 已知一个解为n，由定义可知另一个解为$-n$，两个解的差为8，需分“n减去$-n$等于8”和“$-n$减去n等于8”两种情况列方程求解，避免漏解；
(3) 先分别把两个方程的解用含m的代数式表示出来，再根据两个解互为相反数（和为0）列方程求出m的值，最后将m代回代数式即可得到两个方程的解。
【解析】
(1) 解方程 $2x - 4 = x + 1$，
移项得：$2x - x = 1 + 4$，
解得：$x = 5$。
由“兄弟方程”的定义，可知方程$5x + m = 0$的解为$x = -5$。
将$x=-5$代入$5x + m = 0$，得：
$5×(-5) + m = 0$，
解得：$m = 25$。
(2) 由“兄弟方程”的定义，可知另一个解为$-n$。
根据两个解的差为8，分两种情况：
当$n - (-n) = 8$时，$2n = 8$，解得$n=4$；
当$-n - n = 8$时，$-2n = 8$，解得$n=-4$。
所以$n$的值为$4$或$-4$。
(3) 解方程$2x + 3m - 2 = 0$，得：
$2x = 2 - 3m$，$x = \frac{2 - 3m}{2}$。
解方程$3x - 5m + 4 = 0$，得：
$3x = 5m - 4$，$x = \frac{5m - 4}{3}$。
由“兄弟方程”的定义，两个解互为相反数，因此：
$\frac{2 - 3m}{2} + \frac{5m - 4}{3} = 0$，
两边同乘6去分母，得：$3(2 - 3m) + 2(5m - 4) = 0$，
展开整理得：$6 - 9m + 10m - 8 = 0$，
解得：$m = 2$。
将$m=2$代入，第一个方程的解为$\frac{2 - 3×2}{2} = -2$，
第二个方程的解为$2$。
所以这两个方程的解分别为$-2$和$2$。
【答案】
(1) $m=25$；
(2) $n=4$或$n=-4$；
(3) 两个方程的解分别为$-2$和$2$。
【知识点】
一元一次方程求解，相反数的性质，新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查一元一次方程的相关知识，解题的关键是准确理解“兄弟方程”的含义，将新定义转化为已学的相反数相关的数量关系，第二问需要注意分类讨论，避免因考虑不全面漏解。
【难度系数】
0.7
