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8.规定符号“f”“g”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下：
(1)$f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,···,f(10)=9,···$.
(2)$g(\frac{1}{2})=2,g(\frac{1}{3})=3,g(\frac{1}{4})=4,g(\frac{1}{5})=5,···,g(\frac{1}{11})=11,···$.
利用以上规定计算：$g(\frac{1}{2026})-f(2026)=$
(1)$f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,···,f(10)=9,···$.
(2)$g(\frac{1}{2})=2,g(\frac{1}{3})=3,g(\frac{1}{4})=4,g(\frac{1}{5})=5,···,g(\frac{1}{11})=11,···$.
利用以上规定计算：$g(\frac{1}{2026})-f(2026)=$
1
.答案
1
解析:由(1),知$f(n)=n-1$,由(2),知$g(n)=\frac{1}{n}$,所以$g(\frac{1}{2 026})-f(2 026)=2 026-2 025=1$.
解析:由(1),知$f(n)=n-1$,由(2),知$g(n)=\frac{1}{n}$,所以$g(\frac{1}{2 026})-f(2 026)=2 026-2 025=1$.
解析
【分析】
解题时先分别分析符号f、g的运算规律：首先观察f的运算结果，可发现f(n)的结果总比输入的n小1；再观察g的运算结果，可发现当输入是$\frac{1}{k}$时，g的运算结果就是k。找到两个运算的通用规律后，将2026分别代入两个运算中，最后计算两者的差即可。
【解析】
根据题中给出的运算示例归纳规律：
1. 由$f(1)=0=1-1$，$f(2)=1=2-1$，$f(3)=2=3-1$……可得通用规律：$f(n)=n-1$，因此$f(2026)=2026-1=2025$；
2. 由$g(\frac{1}{2})=2$，$g(\frac{1}{3})=3$，$g(\frac{1}{4})=4$……可得通用规律：$g(\frac{1}{k})=k$，因此$g(\frac{1}{2026})=2026$；
3. 计算差值：$g(\frac{1}{2026})-f(2026)=2026-2025=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，规律探究，有理数减法
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是通过给出的有限个运算示例归纳出通用的运算规则，再代入数值计算即可，对学生的观察归纳能力有基础要求。
【难度系数】
0.8
解题时先分别分析符号f、g的运算规律：首先观察f的运算结果，可发现f(n)的结果总比输入的n小1；再观察g的运算结果，可发现当输入是$\frac{1}{k}$时，g的运算结果就是k。找到两个运算的通用规律后，将2026分别代入两个运算中，最后计算两者的差即可。
【解析】
根据题中给出的运算示例归纳规律：
1. 由$f(1)=0=1-1$，$f(2)=1=2-1$，$f(3)=2=3-1$……可得通用规律：$f(n)=n-1$，因此$f(2026)=2026-1=2025$；
2. 由$g(\frac{1}{2})=2$，$g(\frac{1}{3})=3$，$g(\frac{1}{4})=4$……可得通用规律：$g(\frac{1}{k})=k$，因此$g(\frac{1}{2026})=2026$；
3. 计算差值：$g(\frac{1}{2026})-f(2026)=2026-2025=1$。
【答案】
1
【知识点】
新定义运算，规律探究，有理数减法
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心是通过给出的有限个运算示例归纳出通用的运算规则，再代入数值计算即可，对学生的观察归纳能力有基础要求。
【难度系数】
0.8
9.计算.
(1) $15÷(-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{6})$.
(2) $(-2)^2 - |-7| - 3÷(-\dfrac{1}{4}) + (-3)^3×(-\dfrac{1}{3})^2$.
(3) $(-5)+(-4)-(+101)-(-9)$.
(4) $-1^{2026}×[4 - (-3)^2] + 3÷(-\dfrac{3}{4})$.
(1) $15÷(-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{6})$.
(2) $(-2)^2 - |-7| - 3÷(-\dfrac{1}{4}) + (-3)^3×(-\dfrac{1}{3})^2$.
(3) $(-5)+(-4)-(+101)-(-9)$.
(4) $-1^{2026}×[4 - (-3)^2] + 3÷(-\dfrac{3}{4})$.
答案
(1)原式$=15÷(-\frac{2}{3})=15×(-\frac{3}{2})=-22.5$.
(2)原式$=4-7-3×(-4)+(-27)×\frac{1}{9}=4-7+12+(-3)=6$.
(3)原式$=(-5)+(-4)+(-101)+9=-101$.
(4)原式$=-1×(4-9)+3×(-\frac{4}{3})=-1×(-5)+(-4)=5+(-4)=1$.
(2)原式$=4-7-3×(-4)+(-27)×\frac{1}{9}=4-7+12+(-3)=6$.
(3)原式$=(-5)+(-4)+(-101)+9=-101$.
(4)原式$=-1×(4-9)+3×(-\frac{4}{3})=-1×(-5)+(-4)=5+(-4)=1$.
解析
【分析】
解决这几道有理数运算题，要严格遵循有理数运算规则：①运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同级运算从左到右依次计算。②除法可转化为乘法计算，去括号时注意符号变化：括号前是负号，去括号后括号内各项要变号。
逐题思路：
(1)先通分计算括号内的分数加法，再将除法转化为乘法计算结果；
(2)先计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后按顺序计算加减；
(3)先根据去括号法则化简原式，再依次计算加减法；
(4)先计算乘方，再算括号内的减法，接着计算乘除，最后算加减。
【解析】
(1) 先计算括号内的加法：
$-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{6}=-\dfrac{9}{6}+\dfrac{5}{6}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}$
原式$=15÷(-\dfrac{2}{3})=15×(-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{45}{2}=-22.5$
(2) 先计算乘方和绝对值：$(-2)^2=4$，$|-7|=7$，$(-3)^3=-27$，$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，再计算乘除：
原式$=4-7-3×(-4)+(-27)×\dfrac{1}{9}$
$=4-7+12-3$
$=6$
(3) 先去括号化简符号：
原式$=-5-4-101+9$
$=-110+9$
$=-101$
(4) 先计算乘方：$-1^{2026}=-1$，$(-3)^2=9$，再依次计算括号、乘除、加减：
原式$=-1×(4-9)+3×(-\dfrac{4}{3})$
$=-1×(-5)-4$
$=5-4$
$=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-22.5}$（或$\boldsymbol{-\dfrac{45}{2}}$）；(2) $\boldsymbol{6}$；(3) $\boldsymbol{-101}$；(4) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
有理数混合运算，去括号法则，乘方运算
【点评】
这是有理数运算的常规训练题，核心考察运算顺序的掌握和符号处理能力，计算时要注意通分准确性、乘方符号判断、去括号符号变化，养成检查每步符号的习惯可有效降低错误率。
【难度系数】
0.75
解决这几道有理数运算题，要严格遵循有理数运算规则：①运算顺序：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算，同级运算从左到右依次计算。②除法可转化为乘法计算，去括号时注意符号变化：括号前是负号，去括号后括号内各项要变号。
逐题思路：
(1)先通分计算括号内的分数加法，再将除法转化为乘法计算结果；
(2)先计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后按顺序计算加减；
(3)先根据去括号法则化简原式，再依次计算加减法；
(4)先计算乘方，再算括号内的减法，接着计算乘除，最后算加减。
【解析】
(1) 先计算括号内的加法：
$-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{6}=-\dfrac{9}{6}+\dfrac{5}{6}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3}$
原式$=15÷(-\dfrac{2}{3})=15×(-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{45}{2}=-22.5$
(2) 先计算乘方和绝对值：$(-2)^2=4$，$|-7|=7$，$(-3)^3=-27$，$(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，再计算乘除：
原式$=4-7-3×(-4)+(-27)×\dfrac{1}{9}$
$=4-7+12-3$
$=6$
(3) 先去括号化简符号：
原式$=-5-4-101+9$
$=-110+9$
$=-101$
(4) 先计算乘方：$-1^{2026}=-1$，$(-3)^2=9$，再依次计算括号、乘除、加减：
原式$=-1×(4-9)+3×(-\dfrac{4}{3})$
$=-1×(-5)-4$
$=5-4$
$=1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-22.5}$（或$\boldsymbol{-\dfrac{45}{2}}$）；(2) $\boldsymbol{6}$；(3) $\boldsymbol{-101}$；(4) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
有理数混合运算，去括号法则，乘方运算
【点评】
这是有理数运算的常规训练题，核心考察运算顺序的掌握和符号处理能力，计算时要注意通分准确性、乘方符号判断、去括号符号变化，养成检查每步符号的习惯可有效降低错误率。
【难度系数】
0.75
10.数学上,我们把$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$称作二阶行列式,规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$,例如$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1×4 -2×3=-2$.请阅读理解上述材料,解答下列问题.
(1)$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & \frac{1}{3} \end{vmatrix}=$ ______ .
(2)已知实数$a,b$满足二阶行列式$\begin{vmatrix} a & 2b \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=7$,求$b-\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}$的值.
(3)直接写出$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 7 \end{vmatrix}+\dots+\begin{vmatrix} 99 & 100 \\ 102 & 103 \end{vmatrix}$的计算结果.
(1)$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & \frac{1}{3} \end{vmatrix}=$ ______ .
(2)已知实数$a,b$满足二阶行列式$\begin{vmatrix} a & 2b \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=7$,求$b-\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}$的值.
(3)直接写出$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 7 \end{vmatrix}+\dots+\begin{vmatrix} 99 & 100 \\ 102 & 103 \end{vmatrix}$的计算结果.
答案
(1)原式$=3×\frac{1}{3}-0×4=1-0=1$.
(2)已知实数$a,b$满足二阶行列式$\begin{vmatrix} a & 2b \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=7$,则$3a-2b=7$.
$b-\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(3a-2b-1)=-\frac{1}{2}×(7-1)=-3$.
(3)原式$=(1×5-2×4)+(3×7-4×6)+\dots+(99×103-100×102)$
$=-3+(-3)+\dots+(-3)$
$=-3×50$
$=-150$.
(2)已知实数$a,b$满足二阶行列式$\begin{vmatrix} a & 2b \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=7$,则$3a-2b=7$.
$b-\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(3a-2b-1)=-\frac{1}{2}×(7-1)=-3$.
(3)原式$=(1×5-2×4)+(3×7-4×6)+\dots+(99×103-100×102)$
$=-3+(-3)+\dots+(-3)$
$=-3×50$
$=-150$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确掌握二阶行列式的运算法则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，再分小问逐步求解：
(1) 直接将对应数值代入运算法则计算即可；
(2) 先根据运算法则列出关于$a$、$b$的等式，再观察所求代数式和所得等式的关联，用整体代入法计算，无需单独求出$a$、$b$的具体值；
(3) 先计算前几个二阶行列式的结果，找到每个行列式结果均为$-3$的规律，再统计共有多少个这样的行列式，最后用乘法计算总和即可。
【解析】
(1) 根据二阶行列式运算法则：
$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & \frac{1}{3} \end{vmatrix}=3×\frac{1}{3}-0×4=1-0=1$
(2) 由二阶行列式运算法则可得：
$\begin{vmatrix} a & 2b \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=3a-2b=7$
对所求代数式变形：
$b-\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(3a-2b)+\frac{1}{2}$
将$3a-2b=7$整体代入：
原式$=-\frac{1}{2}×7+\frac{1}{2}=-3$
(3) 先计算每个二阶行列式的结果：
$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=1×5-2×4=-3$
$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 7 \end{vmatrix}=3×7-4×6=-3$
……
$\begin{vmatrix} 99 & 100 \\ 102 & 103 \end{vmatrix}=99×103-100×102=-3$
统计项数：行列式第一行第一个数依次为1、3、……、99，共50个奇数，即共有50个行列式
所以总和$=(-3)×50=-150$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-3}$；(3) $\boxed{-150}$
【知识点】
新定义运算，整体代入求值，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义题型，首先需要准确理解题目给出的运算规则，再结合代数式变形、规律探究等知识解题，整体代入思想可以简化计算，探究规律时要注意准确统计项数，避免因计数错误失分。
【难度系数】
0.65
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确掌握二阶行列式的运算法则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，再分小问逐步求解：
(1) 直接将对应数值代入运算法则计算即可；
(2) 先根据运算法则列出关于$a$、$b$的等式，再观察所求代数式和所得等式的关联，用整体代入法计算，无需单独求出$a$、$b$的具体值；
(3) 先计算前几个二阶行列式的结果，找到每个行列式结果均为$-3$的规律，再统计共有多少个这样的行列式，最后用乘法计算总和即可。
【解析】
(1) 根据二阶行列式运算法则：
$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & \frac{1}{3} \end{vmatrix}=3×\frac{1}{3}-0×4=1-0=1$
(2) 由二阶行列式运算法则可得：
$\begin{vmatrix} a & 2b \\ 1 & 3 \end{vmatrix}=3a-2b=7$
对所求代数式变形：
$b-\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(3a-2b)+\frac{1}{2}$
将$3a-2b=7$整体代入：
原式$=-\frac{1}{2}×7+\frac{1}{2}=-3$
(3) 先计算每个二阶行列式的结果：
$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=1×5-2×4=-3$
$\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 7 \end{vmatrix}=3×7-4×6=-3$
……
$\begin{vmatrix} 99 & 100 \\ 102 & 103 \end{vmatrix}=99×103-100×102=-3$
统计项数：行列式第一行第一个数依次为1、3、……、99，共50个奇数，即共有50个行列式
所以总和$=(-3)×50=-150$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{-3}$；(3) $\boxed{-150}$
【知识点】
新定义运算，整体代入求值，有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义题型，首先需要准确理解题目给出的运算规则，再结合代数式变形、规律探究等知识解题，整体代入思想可以简化计算，探究规律时要注意准确统计项数，避免因计数错误失分。
【难度系数】
0.65
