登录
1.下列运算中,结果最小的是(
A.1−2+3−4
B.1×(−2)+3−4
C.1−(−2×3)−4
D.1×(−2)×3−4
D
).A.1−2+3−4
B.1×(−2)+3−4
C.1−(−2×3)−4
D.1×(−2)×3−4
答案
D
解析
【分析】
要找出运算结果最小的选项，解题思路是先按照有理数混合运算的规则（先乘除后加减，有括号先算括号内，注意符号运算规则），分别计算出四个选项的运算结果，再对四个结果进行大小比较，数值最小的对应的选项就是答案。
【解析】
我们依次计算每个选项的结果：
A选项：$1-2+3-4=(1+3)-(2+4)=4-6=-2$
B选项：先算乘法$1×(-2)=-2$，再算加减：$-2+3-4=1-4=-3$
C选项：先算括号内的乘法$-2×3=-6$，再算加减：$1-(-6)-4=1+6-4=3$
D选项：先算乘法$1×(-2)×3=-6$，再算减法：$-6-4=-10$
将四个结果比较大小可得：$-10＜-3＜-2＜3$，因此结果最小的是D选项对应的运算。
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题重点考查有理数运算顺序和符号处理能力，计算时要严格遵循先乘除后加减的规则，尤其注意去括号、负数乘法的符号变化，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要找出运算结果最小的选项，解题思路是先按照有理数混合运算的规则（先乘除后加减，有括号先算括号内，注意符号运算规则），分别计算出四个选项的运算结果，再对四个结果进行大小比较，数值最小的对应的选项就是答案。
【解析】
我们依次计算每个选项的结果：
A选项：$1-2+3-4=(1+3)-(2+4)=4-6=-2$
B选项：先算乘法$1×(-2)=-2$，再算加减：$-2+3-4=1-4=-3$
C选项：先算括号内的乘法$-2×3=-6$，再算加减：$1-(-6)-4=1+6-4=3$
D选项：先算乘法$1×(-2)×3=-6$，再算减法：$-6-4=-10$
将四个结果比较大小可得：$-10＜-3＜-2＜3$，因此结果最小的是D选项对应的运算。
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算；有理数大小比较
【点评】
本题重点考查有理数运算顺序和符号处理能力，计算时要严格遵循先乘除后加减的规则，尤其注意去括号、负数乘法的符号变化，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.8
2.观察算式$(-20)×24×\frac{1}{6}×(-5)$.在解题过程中,能使运算变得简便的运算律是(
A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律、结合律
D.分配律
C
).A.乘法交换律
B.乘法结合律
C.乘法交换律、结合律
D.分配律
答案
C 解析:$(-20)×24×\frac{1}{6}×(-5)=[(-20)×(-5)]×(24×\frac{1}{6})$,运用到乘法交换律、结合律.
解析
【分析】
拿到这道有理数连乘的题目，首先观察各因数的特点：-20与-5相乘可得正整数100，24与$\frac{1}{6}$相乘可得整数4，两组计算都非常简便。要实现这样的分组运算，首先需要调整因数的位置，将能简便计算的因数放在一起，这一步用到乘法交换律；调整位置后，把两组因数分别括起来优先计算，这一步用到乘法结合律，因此两种运算律都需要用到。
【解析】
对原式进行简便运算：
第一步，利用乘法交换律交换因数位置，原式变为：
$(-20)×(-5)×24×\frac{1}{6}$
第二步，利用乘法结合律将可简便计算的两组分别结合：
$[(-20)×(-5)]×(24×\frac{1}{6})$
分别计算括号内的部分：
$(-20)×(-5)=100$，$24×\frac{1}{6}=4$
最终计算得$100×4=400$
整个简便运算过程用到了乘法交换律和乘法结合律，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
乘法交换律，乘法结合律，有理数乘法简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法运算中运算律的选择应用，解题核心是先观察算式中因数的特征，找到可凑整、约分的因数组合，再通过对应运算律调整运算顺序简化计算，属于有理数运算的基础题型。
【难度系数】
0.8
拿到这道有理数连乘的题目，首先观察各因数的特点：-20与-5相乘可得正整数100，24与$\frac{1}{6}$相乘可得整数4，两组计算都非常简便。要实现这样的分组运算，首先需要调整因数的位置，将能简便计算的因数放在一起，这一步用到乘法交换律；调整位置后，把两组因数分别括起来优先计算，这一步用到乘法结合律，因此两种运算律都需要用到。
【解析】
对原式进行简便运算：
第一步，利用乘法交换律交换因数位置，原式变为：
$(-20)×(-5)×24×\frac{1}{6}$
第二步，利用乘法结合律将可简便计算的两组分别结合：
$[(-20)×(-5)]×(24×\frac{1}{6})$
分别计算括号内的部分：
$(-20)×(-5)=100$，$24×\frac{1}{6}=4$
最终计算得$100×4=400$
整个简便运算过程用到了乘法交换律和乘法结合律，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
乘法交换律，乘法结合律，有理数乘法简便运算
【点评】
本题考查有理数乘法运算中运算律的选择应用，解题核心是先观察算式中因数的特征，找到可凑整、约分的因数组合，再通过对应运算律调整运算顺序简化计算，属于有理数运算的基础题型。
【难度系数】
0.8
3.计算$\underbrace{2+2+\dots+2}_{m个}+\underbrace{3×3×\dots×3}_{n个}$的结果是(
A.$2^m +3n$
B.$m^2 +3n$
C.$2m +n^3$
D.$2m +3^n$
D
).A.$2^m +3n$
B.$m^2 +3n$
C.$2m +n^3$
D.$2m +3^n$
答案
D
解析
【分析】
解题时先拆分算式为两个部分分别分析：①第一部分是m个2相加，回忆乘法的定义：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法，即可将这部分转化为乘法形式；②第二部分是n个3相乘，回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，即可将这部分转化为乘方形式，最后将两部分结果相加，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：计算$\underbrace{2+2+\dots+2}_{m个}$：
根据乘法的意义，m个相同加数2相加的和为$2× m=2m$。
第二步：计算$\underbrace{3×3×\dots×3}_{n个}$：
根据乘方的定义，n个相同因数3相乘的积为$3^n$。
第三步：将两部分结果相加，得原式的结果为$2m+3^n$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
乘法的意义；乘方的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是区分乘法和乘方的适用场景：相同加数的和用乘法计算，相同因数的积用乘方计算，掌握两个基本定义即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时先拆分算式为两个部分分别分析：①第一部分是m个2相加，回忆乘法的定义：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法，即可将这部分转化为乘法形式；②第二部分是n个3相乘，回忆乘方的定义：求n个相同因数乘积的运算叫做乘方，即可将这部分转化为乘方形式，最后将两部分结果相加，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：计算$\underbrace{2+2+\dots+2}_{m个}$：
根据乘法的意义，m个相同加数2相加的和为$2× m=2m$。
第二步：计算$\underbrace{3×3×\dots×3}_{n个}$：
根据乘方的定义，n个相同因数3相乘的积为$3^n$。
第三步：将两部分结果相加，得原式的结果为$2m+3^n$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
乘法的意义；乘方的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心是区分乘法和乘方的适用场景：相同加数的和用乘法计算，相同因数的积用乘方计算，掌握两个基本定义即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4.若规定“!”是一种数学运算符号，且$1!=1$，$2!=2×1=2$，$3!=3×2×1=6$，$4!=4×3×2×1=24$……则$\frac{100!}{98!}$的值为（
A.9900
B.99!
C.$\frac{50}{49}$
D.2
A
）.A.9900
B.99!
C.$\frac{50}{49}$
D.2
答案
A 解析:由题意,得$\frac{100!}{98!}=\frac{100×99×98×\dots×2×1}{98×97×\dots×2×1}=100×99=9900$.
解析
【分析】
首先要先理解题目新规定的“!”运算的含义，根据给出的示例可知，n!表示从n开始依次乘比前一个数小1的正整数，一直乘到1为止。计算$\frac{100!}{98!}$时不需要分别算出100!和98!的具体数值（数值过大计算繁琐），可以先把两个阶乘按照定义展开，找到分子分母的相同部分，通过约分简化计算，最后求出结果即可。
【解析】
根据题意中“!”的运算规则可得：
$100! = 100×99×98×97×\dots×2×1$
$98! = 98×97×\dots×2×1$
因此$\frac{100!}{98!}=\frac{100×99×98×97×\dots×2×1}{98×97×\dots×2×1}$，分子分母中$98×97×\dots×2×1$的部分可以相互约掉，剩余部分计算为$100×99=9900$。
【答案】A
【知识点】
新定义运算；有理数乘法；分数约分
【点评】
本题是典型的新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的新运算规则，再结合约分方法简化计算，不需要计算大数阶乘的具体结果，考查对新信息的理解能力和简便运算的意识。
【难度系数】
0.8
首先要先理解题目新规定的“!”运算的含义，根据给出的示例可知，n!表示从n开始依次乘比前一个数小1的正整数，一直乘到1为止。计算$\frac{100!}{98!}$时不需要分别算出100!和98!的具体数值（数值过大计算繁琐），可以先把两个阶乘按照定义展开，找到分子分母的相同部分，通过约分简化计算，最后求出结果即可。
【解析】
根据题意中“!”的运算规则可得：
$100! = 100×99×98×97×\dots×2×1$
$98! = 98×97×\dots×2×1$
因此$\frac{100!}{98!}=\frac{100×99×98×97×\dots×2×1}{98×97×\dots×2×1}$，分子分母中$98×97×\dots×2×1$的部分可以相互约掉，剩余部分计算为$100×99=9900$。
【答案】A
【知识点】
新定义运算；有理数乘法；分数约分
【点评】
本题是典型的新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的新运算规则，再结合约分方法简化计算，不需要计算大数阶乘的具体结果，考查对新信息的理解能力和简便运算的意识。
【难度系数】
0.8
5.观察下列两个等式：$1-\frac{2}{3}=2×1×\frac{2}{3}-1$，$2-\frac{3}{5}=2×2×\frac{3}{5}-1$.给出定义如下:我们称使等式$a-b=2ab-1$成立的一对有理数$a,b$为“同心有理数对”,记为$(a,b)$,如数对$(1,\frac{2}{3})$,$(2,\frac{3}{5})$都是“同心有理数对”.下列数对中,是“同心有理数对”的是(
A.$(-3,\frac{4}{7})$
B.$(4,\frac{4}{9})$
C.$(-5,\frac{6}{11})$
D.$(6,\frac{7}{13})$
D
).A.$(-3,\frac{4}{7})$
B.$(4,\frac{4}{9})$
C.$(-5,\frac{6}{11})$
D.$(6,\frac{7}{13})$
答案
D
解析:因为$-3-\frac{4}{7}=-\frac{25}{7},2×(-3)×\frac{4}{7}-1=-\frac{31}{7},-\frac{25}{7}≠-\frac{31}{7}$,
所以$(-3,\frac{4}{7})$不是“同心有理数对”;
因为$4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9},2×4×\frac{4}{9}-1=\frac{23}{9},\frac{32}{9}≠\frac{23}{9}$,所以$(4,\frac{4}{9})$不是“同心有理数对”;
因为$-5-\frac{6}{11}=-\frac{61}{11},2×(-5)×\frac{6}{11}-1=-\frac{71}{11},-\frac{61}{11}≠-\frac{71}{11}$,
所以$(-5,\frac{6}{11})$不是“同心有理数对”;
因为$6-\frac{7}{13}=\frac{71}{13},2×6×\frac{7}{13}-1=\frac{71}{13}$,所以$(6,\frac{7}{13})$是“同心有理数对”.
解析:因为$-3-\frac{4}{7}=-\frac{25}{7},2×(-3)×\frac{4}{7}-1=-\frac{31}{7},-\frac{25}{7}≠-\frac{31}{7}$,
所以$(-3,\frac{4}{7})$不是“同心有理数对”;
因为$4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9},2×4×\frac{4}{9}-1=\frac{23}{9},\frac{32}{9}≠\frac{23}{9}$,所以$(4,\frac{4}{9})$不是“同心有理数对”;
因为$-5-\frac{6}{11}=-\frac{61}{11},2×(-5)×\frac{6}{11}-1=-\frac{71}{11},-\frac{61}{11}≠-\frac{71}{11}$,
所以$(-5,\frac{6}{11})$不是“同心有理数对”;
因为$6-\frac{7}{13}=\frac{71}{13},2×6×\frac{7}{13}-1=\frac{71}{13}$,所以$(6,\frac{7}{13})$是“同心有理数对”.
解析
【分析】
首先明确“同心有理数对”的判断规则：若数对$(a,b)$满足等式$a-b=2ab-1$，则该数对为“同心有理数对”。解题时只需将每个选项中的$a$、$b$分别代入等式左右两边计算，对比两边结果是否相等，相等的即为符合要求的选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
1. 验证选项A：$a=-3$，$b=\frac{4}{7}$
左边：$a-b=-3-\frac{4}{7}=-\frac{21}{7}-\frac{4}{7}=-\frac{25}{7}$
右边：$2ab-1=2×(-3)×\frac{4}{7}-1=-\frac{24}{7}-\frac{7}{7}=-\frac{31}{7}$
$-\frac{25}{7}≠-\frac{31}{7}$，故$(-3,\frac{4}{7})$不是“同心有理数对”。
2. 验证选项B：$a=4$，$b=\frac{4}{9}$
左边：$a-b=4-\frac{4}{9}=\frac{36}{9}-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}$
右边：$2ab-1=2×4×\frac{4}{9}-1=\frac{32}{9}-\frac{9}{9}=\frac{23}{9}$
$\frac{32}{9}≠\frac{23}{9}$，故$(4,\frac{4}{9})$不是“同心有理数对”。
3. 验证选项C：$a=-5$，$b=\frac{6}{11}$
左边：$a-b=-5-\frac{6}{11}=-\frac{55}{11}-\frac{6}{11}=-\frac{61}{11}$
右边：$2ab-1=2×(-5)×\frac{6}{11}-1=-\frac{60}{11}-\frac{11}{11}=-\frac{71}{11}$
$-\frac{61}{11}≠-\frac{71}{11}$，故$(-5,\frac{6}{11})$不是“同心有理数对”。
4. 验证选项D：$a=6$，$b=\frac{7}{13}$
左边：$a-b=6-\frac{7}{13}=\frac{78}{13}-\frac{7}{13}=\frac{71}{13}$
右边：$2ab-1=2×6×\frac{7}{13}-1=\frac{84}{13}-\frac{13}{13}=\frac{71}{13}$
左边=右边，故$(6,\frac{7}{13})$是“同心有理数对”。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题核心是准确理解新定义的运算规则，按照规则代入数值计算即可，计算过程中要注意有理数运算的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
首先明确“同心有理数对”的判断规则：若数对$(a,b)$满足等式$a-b=2ab-1$，则该数对为“同心有理数对”。解题时只需将每个选项中的$a$、$b$分别代入等式左右两边计算，对比两边结果是否相等，相等的即为符合要求的选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
1. 验证选项A：$a=-3$，$b=\frac{4}{7}$
左边：$a-b=-3-\frac{4}{7}=-\frac{21}{7}-\frac{4}{7}=-\frac{25}{7}$
右边：$2ab-1=2×(-3)×\frac{4}{7}-1=-\frac{24}{7}-\frac{7}{7}=-\frac{31}{7}$
$-\frac{25}{7}≠-\frac{31}{7}$，故$(-3,\frac{4}{7})$不是“同心有理数对”。
2. 验证选项B：$a=4$，$b=\frac{4}{9}$
左边：$a-b=4-\frac{4}{9}=\frac{36}{9}-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}$
右边：$2ab-1=2×4×\frac{4}{9}-1=\frac{32}{9}-\frac{9}{9}=\frac{23}{9}$
$\frac{32}{9}≠\frac{23}{9}$，故$(4,\frac{4}{9})$不是“同心有理数对”。
3. 验证选项C：$a=-5$，$b=\frac{6}{11}$
左边：$a-b=-5-\frac{6}{11}=-\frac{55}{11}-\frac{6}{11}=-\frac{61}{11}$
右边：$2ab-1=2×(-5)×\frac{6}{11}-1=-\frac{60}{11}-\frac{11}{11}=-\frac{71}{11}$
$-\frac{61}{11}≠-\frac{71}{11}$，故$(-5,\frac{6}{11})$不是“同心有理数对”。
4. 验证选项D：$a=6$，$b=\frac{7}{13}$
左边：$a-b=6-\frac{7}{13}=\frac{78}{13}-\frac{7}{13}=\frac{71}{13}$
右边：$2ab-1=2×6×\frac{7}{13}-1=\frac{84}{13}-\frac{13}{13}=\frac{71}{13}$
左边=右边，故$(6,\frac{7}{13})$是“同心有理数对”。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题核心是准确理解新定义的运算规则，按照规则代入数值计算即可，计算过程中要注意有理数运算的符号问题，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.8
6.定义运算：$a * b = ab + a + b^2$.例如$1 * 2 = 1×2 + 1 + 2^2 = 7$.那么$2024 * (-2025)$的值是
4 049
.答案
4 049
解析:$2 024 * (-2 025)=2 024×(-2 025)+2 024+2 025^2=2 024×(-2 025+1)+2 025^2$
$=-2 024^2+2 025^2=(2 025+2 024)×(2 025-2 024)=4 049$.
解析:$2 024 * (-2 025)=2 024×(-2 025)+2 024+2 025^2=2 024×(-2 025+1)+2 025^2$
$=-2 024^2+2 025^2=(2 025+2 024)×(2 025-2 024)=4 049$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算题，解题时首先要明确给定的运算规则：$a*b = ab + a + b^2$，即运算结果等于两个数的乘积、第一个数、第二个数的平方三者之和。计算$2024 * (-2025)$时，先将$a=2024$，$b=-2025$代入运算公式得到算式，若直接计算大数乘积容易出错，因此先观察算式结构，通过提取公因式、利用平方差的运算规律进行简便运算，就能快速得到结果。
【解析】
根据新定义的运算规则$a*b = ab + a + b^2$，代入$a=2024$，$b=-2025$可得：
$\begin{aligned}2024 * (-2025) &= 2024×(-2025) + 2024 + (-2025)^2 \\&= 2024×(-2025) + 2024 + 2025^2 \\&= 2024×(-2025 + 1) + 2025^2 \\&= -2024^2 + 2025^2 \\&= (2025 + 2024)×(2025 - 2024) \\&= 4049×1 \\&= 4049\end{aligned}$
【答案】
$4049$
【知识点】
新定义运算；有理数混合运算；简便运算
【点评】
本题既考查对新运算规则的理解应用能力，也考查有理数运算的简便计算技巧，解题时切忌直接计算大数乘积，先观察算式结构选择合适的简便方法，能有效降低出错率，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算题，解题时首先要明确给定的运算规则：$a*b = ab + a + b^2$，即运算结果等于两个数的乘积、第一个数、第二个数的平方三者之和。计算$2024 * (-2025)$时，先将$a=2024$，$b=-2025$代入运算公式得到算式，若直接计算大数乘积容易出错，因此先观察算式结构，通过提取公因式、利用平方差的运算规律进行简便运算，就能快速得到结果。
【解析】
根据新定义的运算规则$a*b = ab + a + b^2$，代入$a=2024$，$b=-2025$可得：
$\begin{aligned}2024 * (-2025) &= 2024×(-2025) + 2024 + (-2025)^2 \\&= 2024×(-2025) + 2024 + 2025^2 \\&= 2024×(-2025 + 1) + 2025^2 \\&= -2024^2 + 2025^2 \\&= (2025 + 2024)×(2025 - 2024) \\&= 4049×1 \\&= 4049\end{aligned}$
【答案】
$4049$
【知识点】
新定义运算；有理数混合运算；简便运算
【点评】
本题既考查对新运算规则的理解应用能力，也考查有理数运算的简便计算技巧，解题时切忌直接计算大数乘积，先观察算式结构选择合适的简便方法，能有效降低出错率，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7.魔术师请观众任意想一个数，在心中将这个数按照以下步骤操作后告诉魔术师结果.魔术师立刻说出了观众想的这个数.
小乐想了一个数，并告诉魔术师结果为80，则小乐想的这个数是
小乐想了一个数，并告诉魔术师结果为80，则小乐想的这个数是
75
.答案
75 解析:$[(80-7)×4+8]÷4=75$.
解析
【分析】
已知操作后的最终结果，求最初的数，可采用逆推法求解：我们将操作步骤反向执行，每一步运算替换为它的逆运算（加法的逆运算是减法，除法的逆运算是乘法，以此类推），从结果80开始，从后往前一步步计算，就能得到最初的数。
【解析】
按照逆推的思路，从结果80反向计算：
1. 最后一步是“加7”得到80，因此加7前的数：$80-7=73$
2. 前一步是“除以4”得到73，因此除以4前的数：$73×4=292$
3. 再前一步是“减8”得到292，因此减8前的数：$292+8=300$
4. 第一步是“乘4”得到300，因此原数为：$300÷4=75$
列综合算式计算：$[(80-7)×4+8]÷4=75$
【答案】
75
【知识点】
有理数混合运算，逆推法，四则运算互逆
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力和运算基本功，只要理清正向运算的顺序，反向逐步替换为逆运算计算即可，解题时注意逆推的先后顺序不要混淆。
【难度系数】
0.8
已知操作后的最终结果，求最初的数，可采用逆推法求解：我们将操作步骤反向执行，每一步运算替换为它的逆运算（加法的逆运算是减法，除法的逆运算是乘法，以此类推），从结果80开始，从后往前一步步计算，就能得到最初的数。
【解析】
按照逆推的思路，从结果80反向计算：
1. 最后一步是“加7”得到80，因此加7前的数：$80-7=73$
2. 前一步是“除以4”得到73，因此除以4前的数：$73×4=292$
3. 再前一步是“减8”得到292，因此减8前的数：$292+8=300$
4. 第一步是“乘4”得到300，因此原数为：$300÷4=75$
列综合算式计算：$[(80-7)×4+8]÷4=75$
【答案】
75
【知识点】
有理数混合运算，逆推法，四则运算互逆
【点评】
本题侧重考查逻辑推理能力和运算基本功，只要理清正向运算的顺序，反向逐步替换为逆运算计算即可，解题时注意逆推的先后顺序不要混淆。
【难度系数】
0.8
