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1.(2025·福建)在分别写有－1,1,2的三张卡片中,不放回地随机抽取两张,这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
B
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：第一步，明确事件类型为不放回随机抽取，属于等可能事件，适用概率公式求解；第二步，用列举法找出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果总数；第三步，根据相反数的定义，筛选出两张卡片数字互为相反数的结果数；第四步，代入概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
首先列举从写有-1,1,2的三张卡片中不放回随机抽取两张的所有等可能结果：
共有3种等可能的组合，分别为：(-1,1)、(-1,2)、(1,2)。
根据相反数的定义，只有-1和1互为相反数，即符合“两张卡片上的数恰好互为相反数”的结果有1种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片数字互为相反数})=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
概率公式，相反数定义，列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，解题的关键是准确梳理出所有等可能的抽取结果，注意不放回抽取不会出现同一张卡片被重复抽取的情况，整体计算量小，掌握基础的概率计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查等可能条件下的概率计算，解题思路如下：第一步，明确事件类型为不放回随机抽取，属于等可能事件，适用概率公式求解；第二步，用列举法找出所有不放回抽取两张卡片的等可能结果总数；第三步，根据相反数的定义，筛选出两张卡片数字互为相反数的结果数；第四步，代入概率公式“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可得到结果。
【解析】
首先列举从写有-1,1,2的三张卡片中不放回随机抽取两张的所有等可能结果：
共有3种等可能的组合，分别为：(-1,1)、(-1,2)、(1,2)。
根据相反数的定义，只有-1和1互为相反数，即符合“两张卡片上的数恰好互为相反数”的结果有1种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两张卡片数字互为相反数})=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\dfrac{1}{3}$
【答案】
B
【知识点】
概率公式，相反数定义，列举法求概率
【点评】
本题是概率基础题型，解题的关键是准确梳理出所有等可能的抽取结果，注意不放回抽取不会出现同一张卡片被重复抽取的情况，整体计算量小，掌握基础的概率计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.甲、乙、丙三名同学并排走在一起,则甲、乙恰好相邻的概率是 （
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
D
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题是等可能条件下的概率求解问题，解题思路为：首先明确三个人并排排列的所有等可能结果总数，再统计出其中甲、乙恰好相邻的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。思考时要注意所有排列结果的可能性是相等的，列举时要做到不重复、不遗漏。
【解析】
首先列举甲、乙、丙三名同学并排排列的所有等可能的情况，共6种：
①甲乙丙、②甲丙乙、③乙甲丙、④乙丙甲、⑤丙甲乙、⑥丙乙甲。
其中甲、乙恰好相邻的情况有：①甲乙丙、③乙甲丙、⑤丙甲乙、⑥丙乙甲，共4种。
根据概率计算公式可得，甲、乙恰好相邻的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
古典概型概率计算，列举法计数，简单排列计数
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对列举法求概率的掌握，解题的关键是完整枚举所有排列情况，也可通过将相邻元素看作整体的方法快速统计符合条件的结果数，是概率模块的常见考查类型。
【难度系数】
0.8
本题是等可能条件下的概率求解问题，解题思路为：首先明确三个人并排排列的所有等可能结果总数，再统计出其中甲、乙恰好相邻的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。思考时要注意所有排列结果的可能性是相等的，列举时要做到不重复、不遗漏。
【解析】
首先列举甲、乙、丙三名同学并排排列的所有等可能的情况，共6种：
①甲乙丙、②甲丙乙、③乙甲丙、④乙丙甲、⑤丙甲乙、⑥丙乙甲。
其中甲、乙恰好相邻的情况有：①甲乙丙、③乙甲丙、⑤丙甲乙、⑥丙乙甲，共4种。
根据概率计算公式可得，甲、乙恰好相邻的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
古典概型概率计算，列举法计数，简单排列计数
【点评】
本题属于概率基础题型，核心考查对列举法求概率的掌握，解题的关键是完整枚举所有排列情况，也可通过将相邻元素看作整体的方法快速统计符合条件的结果数，是概率模块的常见考查类型。
【难度系数】
0.8
3.小莹在做手抄报时,用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔,这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致.完成手抄报后,她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上,每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
3.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要计算每个笔帽和笔芯颜色都不匹配的概率，首先需要明确所有等可能的盖笔帽的总情况数，再找出满足“每个笔帽和笔芯都不匹配”的情况数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可。由于总情况数较少，可通过列举法逐一列出所有情况，避免遗漏或重复。
【解析】
将红色、黄色、蓝色的笔分别记为R、Y、B，对应同色的笔帽分别记为r、y、b，逐一列举所有随机盖笔帽的等可能结果：
1. (R-r, Y-y, B-b)：全部匹配
2. (R-r, Y-b, B-y)：仅红色匹配
3. (R-y, Y-r, B-b)：仅蓝色匹配
4. (R-y, Y-b, B-r)：全部不匹配
5. (R-b, Y-r, B-y)：全部不匹配
6. (R-b, Y-y, B-r)：仅黄色匹配
总共有6种等可能的结果，其中满足“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的结果有2种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，解题核心是用列举法准确枚举所有等可能的结果，再筛选出符合条件的结果代入公式计算，熟练掌握列举法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算每个笔帽和笔芯颜色都不匹配的概率，首先需要明确所有等可能的盖笔帽的总情况数，再找出满足“每个笔帽和笔芯都不匹配”的情况数，最后根据概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算即可。由于总情况数较少，可通过列举法逐一列出所有情况，避免遗漏或重复。
【解析】
将红色、黄色、蓝色的笔分别记为R、Y、B，对应同色的笔帽分别记为r、y、b，逐一列举所有随机盖笔帽的等可能结果：
1. (R-r, Y-y, B-b)：全部匹配
2. (R-r, Y-b, B-y)：仅红色匹配
3. (R-y, Y-r, B-b)：仅蓝色匹配
4. (R-y, Y-b, B-r)：全部不匹配
5. (R-b, Y-r, B-y)：全部不匹配
6. (R-b, Y-y, B-r)：仅黄色匹配
总共有6种等可能的结果，其中满足“每个笔帽和笔芯颜色都不匹配”的结果有2种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础常考题，解题核心是用列举法准确枚举所有等可能的结果，再筛选出符合条件的结果代入公式计算，熟练掌握列举法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
4.(2025·陕西)某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”(分别记作A,B,C,D,E)共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式.同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同.
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率.
(1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
$\frac{1}{5}$
;(2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率.
答案
4.(1)$\frac{1}{5}$
(2)解:画树状图如答图所示.
共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的结果有20种,
∴这两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
解析
【分析】
(1) 本题属于简单古典概型问题，总共有5种等可能的抽取结果，抽到“科技”是其中1种符合条件的结果，直接根据概率公式“$P(事件)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$”计算即可。
(2) 本题是有放回的两步抽取试验，所有结果等可能，可通过画树状图枚举所有等可能的总结果，再找出两个小组研究方向不同的结果数，代入概率公式计算即可，解题时要注意放回抽取的特征，两次抽取的总可选数量不变。
【解析】
(1) 五张卡片分别对应A、B、C、D、E共5种等可能的抽取结果，其中“科技”（E）仅1种，故抽到卡片内容是“科技”的概率为$\frac{1}{5}$。
(2) 依题意画树状图：第一小组抽取有A、B、C、D、E共5种等可能结果，由于是放回抽取，第二小组抽取时仍有5种等可能结果，因此总共有$5×5=25$种等可能的结果。
其中两个小组研究方向不同的结果：当第一小组抽到任意一个方向时，第二小组都有4个和它不同的方向，共$5×4=20$种。
根据概率公式可得，两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$
(2)解:画树状图如答图所示.
共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的结果有20种,
∴这两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
【知识点】
1. 概率公式
2. 树状图法求概率
3. 有放回抽样概率
【点评】
本题是概率的常规考查题型，第一问为基础的单步概率计算，第二问重点考查对两步有放回试验的等可能结果的枚举能力，解题时要注意区分放回和不放回抽取的差异，避免数错总结果数。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于简单古典概型问题，总共有5种等可能的抽取结果，抽到“科技”是其中1种符合条件的结果，直接根据概率公式“$P(事件)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$”计算即可。
(2) 本题是有放回的两步抽取试验，所有结果等可能，可通过画树状图枚举所有等可能的总结果，再找出两个小组研究方向不同的结果数，代入概率公式计算即可，解题时要注意放回抽取的特征，两次抽取的总可选数量不变。
【解析】
(1) 五张卡片分别对应A、B、C、D、E共5种等可能的抽取结果，其中“科技”（E）仅1种，故抽到卡片内容是“科技”的概率为$\frac{1}{5}$。
(2) 依题意画树状图：第一小组抽取有A、B、C、D、E共5种等可能结果，由于是放回抽取，第二小组抽取时仍有5种等可能结果，因此总共有$5×5=25$种等可能的结果。
其中两个小组研究方向不同的结果：当第一小组抽到任意一个方向时，第二小组都有4个和它不同的方向，共$5×4=20$种。
根据概率公式可得，两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$
(2)解:画树状图如答图所示.
共有25种等可能的结果,其中这两个小组研究方向不同的结果有20种,
∴这两个小组研究方向不同的概率为$\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$.
【知识点】
1. 概率公式
2. 树状图法求概率
3. 有放回抽样概率
【点评】
本题是概率的常规考查题型，第一问为基础的单步概率计算，第二问重点考查对两步有放回试验的等可能结果的枚举能力，解题时要注意区分放回和不放回抽取的差异，避免数错总结果数。
【难度系数】
0.7
5.(2025·武汉)某校即将举行运动会，现有“跳高”“500米”“1000米”三个项目中，小明、小王和小丽三位同学随机选择其中一项，则他们选择同一项项目的概率是（
A.$\frac{1}{7}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{5}$
B
）A.$\frac{1}{7}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
5.B
解析
【分析】
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路清晰可分三步：第一步先计算三位同学选项目的所有等可能总结果数，每位同学都有3个项目可选，三人选择互不影响，总结果数用乘法即可算出；第二步统计三人选择同一项的符合条件的结果数，三个项目对应3种全相同的选择情况；第三步代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能总结果数”计算就能得到答案。
【解析】
解：先计算所有等可能的选择结果总数：
每位同学都有3种项目可选，因此三人的选择总共有 $3×3×3=27$ 种等可能的情况。
再统计“三人选择同一项项目”的符合条件的结果数：三人可同时选跳高、同时选500米、同时选1000米，共3种符合要求的情况。
根据概率公式计算所求概率：$P=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
概率公式应用，列举法求概率，等可能事件
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题核心是准确统计总情况数和符合要求的情况数，掌握概率的基本计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道等可能条件下的概率计算题，解题思路清晰可分三步：第一步先计算三位同学选项目的所有等可能总结果数，每位同学都有3个项目可选，三人选择互不影响，总结果数用乘法即可算出；第二步统计三人选择同一项的符合条件的结果数，三个项目对应3种全相同的选择情况；第三步代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能总结果数”计算就能得到答案。
【解析】
解：先计算所有等可能的选择结果总数：
每位同学都有3种项目可选，因此三人的选择总共有 $3×3×3=27$ 种等可能的情况。
再统计“三人选择同一项项目”的符合条件的结果数：三人可同时选跳高、同时选500米、同时选1000米，共3种符合要求的情况。
根据概率公式计算所求概率：$P=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
概率公式应用，列举法求概率，等可能事件
【点评】
本题属于概率计算的基础题型，解题核心是准确统计总情况数和符合要求的情况数，掌握概率的基本计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.经过某路口的汽车,可能直行,也可能左拐或右拐.假设这三种可能性相同,现有两辆汽车经过该路口,则恰好有一车直行,另一车左拐的概率为 （
A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
A
）A.$\frac{2}{9}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查等可能条件下的两步概率计算，解题思路如下：首先明确每辆车的行驶方向有3种等可能的情况，我们可以通过列表或画树状图的方法，列出两辆汽车经过路口的所有等可能结果，再从中筛选出“恰好有一车直行，另一车左拐”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列出两辆汽车行驶方向的所有等可能结果（记直行=直，左拐=左，右拐=右）：
| 第一辆车\第二辆车 | 直 | 左 | 右 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 直 | （直，直） | （直，左） | （直，右） |
| 左 | （左，直） | （左，左） | （左，右） |
| 右 | （右，直） | （右，左） | （右，右） |
由表格可知，总共有9种等可能的结果，其中恰好有一车直行、另一车左拐的结果有2种，分别是（直，左）和（左，直）。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{2}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是不重不漏地枚举所有等可能的结果，注意要考虑两车行驶的顺序，避免漏算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
本题考查等可能条件下的两步概率计算，解题思路如下：首先明确每辆车的行驶方向有3种等可能的情况，我们可以通过列表或画树状图的方法，列出两辆汽车经过路口的所有等可能结果，再从中筛选出“恰好有一车直行，另一车左拐”的结果数，最后根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算即可。
【解析】
我们用列表法列出两辆汽车行驶方向的所有等可能结果（记直行=直，左拐=左，右拐=右）：
| 第一辆车\第二辆车 | 直 | 左 | 右 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 直 | （直，直） | （直，左） | （直，右） |
| 左 | （左，直） | （左，左） | （左，右） |
| 右 | （右，直） | （右，左） | （右，右） |
由表格可知，总共有9种等可能的结果，其中恰好有一车直行、另一车左拐的结果有2种，分别是（直，左）和（左，直）。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{2}{9}$。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算，列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是不重不漏地枚举所有等可能的结果，注意要考虑两车行驶的顺序，避免漏算符合条件的结果。
【难度系数】
0.7
