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10.(2025·宿迁沭阳县三模)某班共有学生36人,在庆祝六一儿童节时进行抽奖,随机抽取一等奖1名,二等奖3名,三等奖5名,则该班每一位学生获奖的概率是
$\frac{1}{4}$
。答案
10.$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题时首先明确等可能事件的概率计算逻辑：某事件发生的概率等于该事件对应的可能结果数除以所有等可能的结果总数。本题中所有等可能的结果总数是班级总人数，获奖对应的可能结果数是获奖总名额，我们先求出获奖总人数，再代入概率公式计算即可。
【解析】
解：第一步，计算获奖总名额：
获奖总人数 = 一等奖人数 + 二等奖人数 + 三等奖人数 = $1+3+5=9$（名）
第二步，代入概率公式计算：
已知班级总人数为36人，且抽奖为随机抽取，每名学生被抽到的可能性相等，因此每一位学生获奖的概率为：
$P=\frac{获奖总人数}{班级总人数}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率、概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确找准对应事件的结果数和总结果数，代入公式计算后注意将结果约分为最简形式，整体解题难度较低。
【难度系数】
0.9
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题时首先明确等可能事件的概率计算逻辑：某事件发生的概率等于该事件对应的可能结果数除以所有等可能的结果总数。本题中所有等可能的结果总数是班级总人数，获奖对应的可能结果数是获奖总名额，我们先求出获奖总人数，再代入概率公式计算即可。
【解析】
解：第一步，计算获奖总名额：
获奖总人数 = 一等奖人数 + 二等奖人数 + 三等奖人数 = $1+3+5=9$（名）
第二步，代入概率公式计算：
已知班级总人数为36人，且抽奖为随机抽取，每名学生被抽到的可能性相等，因此每一位学生获奖的概率为：
$P=\frac{获奖总人数}{班级总人数}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率、概率计算公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确找准对应事件的结果数和总结果数，代入公式计算后注意将结果约分为最简形式，整体解题难度较低。
【难度系数】
0.9
11.小明和小丽做游戏,规则为:桌面上放有7根火柴,每次取1根或2根,最后取完者获胜.若由小明先取,且小明获胜是必然事件,则小明第一次应该取走
1
根火柴.答案
11.1
解析
【分析】
要保证小明获胜是必然事件，需先梳理取火柴的必胜规律：已知每次可取1根或2根，因此两人各取1次的一轮中，取量之和可以控制为1+2=3根。小明先取的情况下，只需第一次取完后剩余火柴的数量是3的倍数，后续不管小丽取1根还是2根，小明都可以取对应数量凑成每轮共取3根，最终小明一定能取到最后一根火柴。结合总火柴数7根，计算7除以3的余数，余数就是小明第一次要取的数量。
【解析】
解：
∵每次取火柴只能取1根或2根，
∴两人各取一次的一轮中，可保证两人共取1+2=3根火柴。
要让小明必然获胜，需小明第一次取完后，剩余火柴数为3的倍数，这样后续每轮两人共取3根，最后一轮一定是小明取完。
∵$7÷3=2······1$，即7除以3的余数为1，
∴小明第一次取走1根火柴后，剩余$7-1=6$根，是3的2倍。
接下来若小丽取1根，小明就取2根；若小丽取2根，小明就取1根，保证每轮共取3根，最后一根必然由小明取到，小明获胜为必然事件。
【答案】
1
【知识点】
1. 游戏最优策略
2. 整除的应用
3. 必然事件的概念
【点评】
本题结合日常游戏场景设计，主要考查逻辑推理能力，解题的核心是找到两人每轮取火柴的可控总数量，通过调整首次取量使剩余火柴数符合规律即可得到必胜方案，题目趣味性较强，能很好地锻炼逻辑思维和逆向推导能力。
【难度系数】
0.6
要保证小明获胜是必然事件，需先梳理取火柴的必胜规律：已知每次可取1根或2根，因此两人各取1次的一轮中，取量之和可以控制为1+2=3根。小明先取的情况下，只需第一次取完后剩余火柴的数量是3的倍数，后续不管小丽取1根还是2根，小明都可以取对应数量凑成每轮共取3根，最终小明一定能取到最后一根火柴。结合总火柴数7根，计算7除以3的余数，余数就是小明第一次要取的数量。
【解析】
解：
∵每次取火柴只能取1根或2根，
∴两人各取一次的一轮中，可保证两人共取1+2=3根火柴。
要让小明必然获胜，需小明第一次取完后，剩余火柴数为3的倍数，这样后续每轮两人共取3根，最后一轮一定是小明取完。
∵$7÷3=2······1$，即7除以3的余数为1，
∴小明第一次取走1根火柴后，剩余$7-1=6$根，是3的2倍。
接下来若小丽取1根，小明就取2根；若小丽取2根，小明就取1根，保证每轮共取3根，最后一根必然由小明取到，小明获胜为必然事件。
【答案】
1
【知识点】
1. 游戏最优策略
2. 整除的应用
3. 必然事件的概念
【点评】
本题结合日常游戏场景设计，主要考查逻辑推理能力，解题的核心是找到两人每轮取火柴的可控总数量，通过调整首次取量使剩余火柴数符合规律即可得到必胜方案，题目趣味性较强，能很好地锻炼逻辑思维和逆向推导能力。
【难度系数】
0.6
12.某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机，张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求.
张先生:我要先处理一些事务，只坐最后出发的那辆车.
李先生:我要早点出发，只坐最先出发的那辆车.
请用所学概率知识解决下列问题.
(1)写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
(2)两人中，谁坐到甲车的可能性最大？请说明理由.
张先生:我要先处理一些事务，只坐最后出发的那辆车.
李先生:我要早点出发，只坐最先出发的那辆车.
请用所学概率知识解决下列问题.
(1)写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；
(2)两人中，谁坐到甲车的可能性最大？请说明理由.
答案
12.解:(1)甲、乙、丙;甲、丙、乙;乙、甲、丙;乙、丙、甲;丙、甲、乙;丙、乙、甲.共6种.
(2)由(1)可知张先生坐到甲车有两种可能:乙、丙、甲;丙、乙、甲,$\therefore P$(张先生坐到甲车)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
由(1)可知李先生坐到甲车有两种可能:甲、乙、丙;甲、丙、乙,$\therefore P$(李先生坐到甲车)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
∴两人坐到甲车的可能性一样.
(2)由(1)可知张先生坐到甲车有两种可能:乙、丙、甲;丙、乙、甲,$\therefore P$(张先生坐到甲车)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
由(1)可知李先生坐到甲车有两种可能:甲、乙、丙;甲、丙、乙,$\therefore P$(李先生坐到甲车)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
∴两人坐到甲车的可能性一样.
解析
【分析】
(1) 三辆车出发顺序随机，属于等可能事件，我们只需按排列规律有序枚举所有出发顺序，做到不重复、不遗漏即可得到全部可能结果。(2) 要比较两人坐到甲车的可能性，先分别找出符合张先生（坐最后出发的车）、李先生（坐最先出发的车）需求且对应车辆为甲车的情况数，再根据“概率=所求事件情况数÷总等可能情况数”分别计算两人坐到甲车的概率，最后比较概率大小就能得出结论。
【解析】
(1) 按顺序枚举三辆车的所有出发顺序：
甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲，共6种等可能的结果。
(2) 计算张先生坐到甲车的概率：张先生只坐最后出发的车，满足甲车是最后出发的结果有2种：乙、丙、甲；丙、乙、甲，因此$P$(张先生坐到甲车)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
计算李先生坐到甲车的概率：李先生只坐最先出发的车，满足甲车是最先出发的结果有2种：甲、乙、丙；甲、丙、乙，因此$P$(李先生坐到甲车)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
二者概率相等，因此两人坐到甲车的可能性相同。
【答案】
(1) 所有可能结果为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲，共6种。
(2) 两人坐到甲车的可能性一样大，理由如上。
【知识点】
列举法求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题是概率基础应用题，核心考查枚举法的应用和简单概率计算，解题时需注意有序枚举所有结果，避免重复或遗漏导致计数错误，进而影响概率计算的准确性。
【难度系数】
0.85
(1) 三辆车出发顺序随机，属于等可能事件，我们只需按排列规律有序枚举所有出发顺序，做到不重复、不遗漏即可得到全部可能结果。(2) 要比较两人坐到甲车的可能性，先分别找出符合张先生（坐最后出发的车）、李先生（坐最先出发的车）需求且对应车辆为甲车的情况数，再根据“概率=所求事件情况数÷总等可能情况数”分别计算两人坐到甲车的概率，最后比较概率大小就能得出结论。
【解析】
(1) 按顺序枚举三辆车的所有出发顺序：
甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲，共6种等可能的结果。
(2) 计算张先生坐到甲车的概率：张先生只坐最后出发的车，满足甲车是最后出发的结果有2种：乙、丙、甲；丙、乙、甲，因此$P$(张先生坐到甲车)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
计算李先生坐到甲车的概率：李先生只坐最先出发的车，满足甲车是最先出发的结果有2种：甲、乙、丙；甲、丙、乙，因此$P$(李先生坐到甲车)$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
二者概率相等，因此两人坐到甲车的可能性相同。
【答案】
(1) 所有可能结果为：甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲，共6种。
(2) 两人坐到甲车的可能性一样大，理由如上。
【知识点】
列举法求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题是概率基础应用题，核心考查枚举法的应用和简单概率计算，解题时需注意有序枚举所有结果，避免重复或遗漏导致计数错误，进而影响概率计算的准确性。
【难度系数】
0.85
13.某单位食堂为全体960名职工提供了A,B,C,D四种套餐,为了解职工对这四种套餐的喜好情况,单位随机抽取了240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐(必选且只选一种)”问卷调查,根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图(不完整).
(1)在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为
(2)依据本次调查的结果,估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数;
(3)现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”,求甲被选中的概率.
(1)在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为
60
,扇形统计图中“C”对应扇形圆心角的度数为108
°;(2)依据本次调查的结果,估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数;
(3)现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”,求甲被选中的概率.
答案
13.(1)60 108
(2)解:由题图可知抽取的240人中最喜欢B套餐的人数为84,因此,最喜欢B套餐的频率为$\frac{84}{240}=0.35$,所以估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为$960×0.35=336$.
(3)解:由题意,从甲、乙、丙、丁四人中任选两人,总共有6种不同的结果,每种结果发生的可能性相同,列举如下:甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,其中甲被选中的结果有甲乙、甲丙、甲丁,共3种,故所求概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
(2)解:由题图可知抽取的240人中最喜欢B套餐的人数为84,因此,最喜欢B套餐的频率为$\frac{84}{240}=0.35$,所以估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为$960×0.35=336$.
(3)解:由题意,从甲、乙、丙、丁四人中任选两人,总共有6种不同的结果,每种结果发生的可能性相同,列举如下:甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,其中甲被选中的结果有甲乙、甲丙、甲丁,共3种,故所求概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 首先结合抽取的总人数和扇形统计图中A套餐的占比，可直接计算出最喜欢A套餐的人数；再用抽取总人数减去A、B、D三类套餐的喜欢人数，得到喜欢C套餐的人数，用C套餐人数占抽取总人数的比例乘360°，即可求出对应扇形的圆心角度数。
(2) 先计算抽取样本中喜欢B套餐的频率，将该频率作为总体中喜欢B套餐人数的占比估计值，乘全体职工总人数，即可得到估计的总人数。
(3) 先列举出从四人中任选两人的所有等可能结果，再统计甲被选中的结果数量，根据概率公式计算对应概率即可。
【解析】
(1) 抽取总人数为240人，A套餐占比25%，因此最喜欢A套餐的人数为：$240×25\%=60$（人）；
最喜欢C套餐的人数为：$240-60-84-24=72$（人），
则“C”对应扇形圆心角的度数为：$\frac{72}{240}×360°=108°$。
(2) 抽取的240人中最喜欢B套餐的人数为84，因此最喜欢B套餐的频率为$\frac{84}{240}=0.35$，
用样本估计总体，全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为：$960×0.35=336$（人）。
(3) 从甲、乙、丙、丁四人中任选两人，所有等可能的结果为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，
其中甲被选中的结果有3种：甲乙、甲丙、甲丁，
因此所求概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{60}$；$\boxed{108}$
(2) $\boxed{336}$
(3) $\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
统计图的应用，用样本估计总体，列举法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合基础题，考查对条形统计图、扇形统计图的信息提取能力，对用样本估计总体思想的理解，以及简单等可能事件概率的计算方法，题型常规，难度较低。
【难度系数】
0.75
(1) 首先结合抽取的总人数和扇形统计图中A套餐的占比，可直接计算出最喜欢A套餐的人数；再用抽取总人数减去A、B、D三类套餐的喜欢人数，得到喜欢C套餐的人数，用C套餐人数占抽取总人数的比例乘360°，即可求出对应扇形的圆心角度数。
(2) 先计算抽取样本中喜欢B套餐的频率，将该频率作为总体中喜欢B套餐人数的占比估计值，乘全体职工总人数，即可得到估计的总人数。
(3) 先列举出从四人中任选两人的所有等可能结果，再统计甲被选中的结果数量，根据概率公式计算对应概率即可。
【解析】
(1) 抽取总人数为240人，A套餐占比25%，因此最喜欢A套餐的人数为：$240×25\%=60$（人）；
最喜欢C套餐的人数为：$240-60-84-24=72$（人），
则“C”对应扇形圆心角的度数为：$\frac{72}{240}×360°=108°$。
(2) 抽取的240人中最喜欢B套餐的人数为84，因此最喜欢B套餐的频率为$\frac{84}{240}=0.35$，
用样本估计总体，全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为：$960×0.35=336$（人）。
(3) 从甲、乙、丙、丁四人中任选两人，所有等可能的结果为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，
其中甲被选中的结果有3种：甲乙、甲丙、甲丁，
因此所求概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{60}$；$\boxed{108}$
(2) $\boxed{336}$
(3) $\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
统计图的应用，用样本估计总体，列举法求概率
【点评】
本题是统计与概率的综合基础题，考查对条形统计图、扇形统计图的信息提取能力，对用样本估计总体思想的理解，以及简单等可能事件概率的计算方法，题型常规，难度较低。
【难度系数】
0.75
