10.如图,在$6×6$的正方形方格中,每个小正方形的边长都是1,顶点都在网格线的交点处的$△ ABC$是一个格点三角形。
(1)在图①中,请判断$△ ABC$与$△ DEF$是否相似,并说明理由;
(2)在图②中,以点$O$为位似中心,再画一个格点三角形,使它与$△ ABC$的位似比为$2:1$;
(3)在图③中,请画出所有满足条件的格点三角形,它与$△ ABC$相似,且有一条公共边和一个公共角。

课后反思
存在的问题:
改进的措施:

10.解:(1)△ABC与△DEF相似。
理由:因为$AB=1,BC=\sqrt{5},AC=2\sqrt{2},DE=\sqrt{2},EF=\sqrt{10},DF=4$,
所以$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AC}{DF}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
所以$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$。
所以$△ ABC ∽ △ DEF$。
(2)如图①,$△ A'B'C'$即为所求。
(3)如图②,$△ ADC,△ CEB,△ ABF$即为所求。

【分析】
(1)判断格点三角形相似可采用“三边成比例法”：首先用勾股定理分别算出两个三角形所有边的长度，再验证三组对应边的比值是否相等，若相等则两个三角形相似。
(2)位似作图步骤：先连接位似中心O和△ABC的三个顶点，将三条线段分别延长，使延长后的线段长度为原线段的2倍（对应位似比2:1），找到格点上的对应顶点后顺次连接即可。
(3)采用分类讨论思想：分别以AB、AC、BC为公共边，结合公共角的要求，根据相似三角形的边长比例关系，在网格中逐一寻找符合条件的格点三角形，避免漏解。
【解析】
(1) 利用勾股定理计算两个三角形的边长：
△ABC中，$AB=1$，$BC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；
△DEF中，$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$DF=4$。
计算对应边比值：$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得三组对应边比值相等。
根据“三边成比例的两个三角形相似”，可判定△ABC∽△DEF。
(2) ①连接OA、OB、OC，分别延长AO、BO、CO至A'、B'、C'，使OA'=2OA，OB'=2OB，OC'=2OC；②顺次连接A'、B'、C'，所得△A'B'C'就是所求位似三角形。
(3) 分情况筛选：①以AB为公共边，公共角为∠B时得△CEB，公共角为∠A时得△ABF；②以AC为公共边，公共角为∠A时得△ADC，三个三角形均满足相似、有公共边和公共角、为格点三角形的要求。
【答案】
10.解:(1)△ABC与△DEF相似。
理由:因为$AB=1,BC=\sqrt{5},AC=2\sqrt{2},DE=\sqrt{2},EF=\sqrt{10},DF=4$,
所以$\frac{AB}{DE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{AC}{DF}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
所以$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$。
所以$△ ABC ∽ △ DEF$。
(2)如图①,$△ A'B'C'$即为所求。
(3)如图②,$△ ADC,△ CEB,△ ABF$即为所求。

【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定、位似图形作图
【点评】
本题是网格类几何综合题，前两问侧重基础知识点的应用，第三问需要具备分类讨论意识，能有效考查学生思维的严谨性，避免漏解。
【难度系数】
0.65

解：依次填入：原点；坐标原点。

【分析】
我们可以结合平面直角坐标系中位似变换的规律来思考：首先回忆学过的位似变换坐标特征：当位似中心是坐标原点时，将原图形所有顶点的坐标都乘以同一个非零实数k，就相当于把图形扩大或缩小为原来的|k|倍，此时得到的新图形和原图形是位似图形。题目中描述的正是这种变换的特征，且这类变换下，若原图形有顶点在原点，变换后该顶点仍为原点，因此可以确定两个空的答案。
【解析】
根据平面直角坐标系中位似图形的性质：以坐标原点为位似中心的位似变换，对应点的坐标比等于位似比，即把原多边形的所有顶点坐标同时扩大或缩小相同倍数，得到的图形与原图形位似，位似中心为坐标原点，且此时原图形的顶点如果是原点，变换后该顶点位置不变，符合题目的描述。因此第一个空填原点，第二个空填坐标原点。
【答案】
原点；坐标原点
【知识点】
坐标系中的位似变换、位似的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，主要考察对坐标系中位似变换规律的记忆，只要掌握以原点为位似中心的位似变换的坐标变化特点，即可快速作答。
【难度系数】
0.9

思考 1. 观察图①和图②，回答下列问题。


（1）四边形$OA'B'C'$与四边形$OABC$相似吗？为什么？
（2）在图③中，四边形$OA'B'C'$与四边形$OABC$如何位似？

（3）在图④中，$△ OA'B'$与$△ OAB$如何位似？

1.(1)相似。因为$\frac{OA}{OA'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{OC}{OC'}=2$,且$∠ OA'B' = ∠ OAB$, $∠ A' B' C' = ∠ ABC$,$∠ B'C'O=∠ BCO$,所以四边形$OABC$与四边形$OA'B'C'$相似。
(2)①它们相似,②$O,B',B$共线,所以它们位似。
(3)因为$△ OA'B'∽△ OAB$,且点$O,A,A'$和点$O,B,B'$都共线,都经过点$O$,所以它们位似。

【分析】
（1）判断两个多边形是否相似，需依据相似多边形的判定条件：对应边成比例且对应角相等。解题时先计算两个四边形对应边的比值，再验证对应角是否相等即可判断。
（2）位似图形的判定需满足两个前提：一是两个图形相似，二是所有对应顶点的连线交于同一点，对应边互相平行或共线。按照这两个条件逐一验证即可得出结论。
（3）三角形位似的判定逻辑和多边形一致，先确认两个三角形相似，再验证对应顶点连线都经过同一点，即可判定位似。
【解析】
（1）要判断两个四边形是否相似，分别验证对应边比例和对应角关系：
由图形缩放关系可得，两个四边形的对应边比值$\frac{OA}{OA'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{OC}{OC'}=2$，满足对应边成比例；同时对应角$∠ OA'B' = ∠ OAB$，$∠ A' B' C' = ∠ ABC$，$∠ B'C'O=∠ BCO$，$∠AOC=∠A'OC'$，满足对应角相等，因此两个四边形相似。
（2）首先四边形$OA'B'C'$与四边形$OABC$已证相似，其次观察对应顶点连线：点$O$为公共顶点，$O、B'、B$三点共线，且$O、A'、A$、$O、C'、C$均共线，所有对应顶点连线都交于点$O$，符合位似图形的判定条件，因此两个四边形位似。
（3）首先可通过对应边成比例且夹角相等证明$△ OA'B'∽△ OAB$，其次观察对应顶点连线：点$O、A、A'$共线，点$O、B、B'$共线，所有对应顶点连线都经过公共点$O$，符合位似图形的判定条件，因此两个三角形位似。
【答案】
1.(1)相似。因为$\frac{OA}{OA'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{OC}{OC'}=2$,且$∠ OA'B' = ∠ OAB$, $∠ A' B' C' = ∠ ABC$,$∠ B'C'O=∠ BCO$,所以四边形$OABC$与四边形$OA'B'C'$相似。
(2)①它们相似,②$O,B',B$共线,所以它们位似。
(3)因为$△ OA'B'∽△ OAB$,且点$O,A,A'$和点$O,B,B'$都共线,都经过点$O$,所以它们位似。
【知识点】
相似多边形判定；位似图形判定；位似的定义
【点评】
本题侧重考查相似和位似的基础概念，解题关键是明确位似图形的两个核心特征：首先是相似图形，其次对应顶点连线交于同一点。通过练习可帮助厘清相似与位似的联系和区别，夯实图形变换的基础。
【难度系数】
0.8