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5. 如图，$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，若 $OA:AD=3:4$，$△ ABC$ 的面积等于 3，则 $△ DEF$ 的面积 = 
$\frac{49}{3}$
。答案
5.$\frac{49}{3}$
解析
【分析】
本题考查位似图形相关计算，解题思路如下：首先，位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次我们需要先根据已知的OA:AD的比值，求出△ABC与△DEF的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合△ABC的面积即可求出△DEF的面积。
【解析】
∵ △ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形
∴ △ABC∽△DEF，且相似比$k=\frac{OA}{OD}$
已知$OA:AD=3:4$，设$OA=3x$，则$AD=4x$
∴ $OD=OA+AD=3x+4x=7x$
∴ 相似比$k=\frac{OA}{OD}=\frac{3x}{7x}=\frac{3}{7}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=k^2=(\frac{3}{7})^2=\frac{9}{49}$
把$S_{△ ABC}=3$代入上式：
$\frac{3}{S_{△ DEF}}=\frac{9}{49}$
解得：$S_{△ DEF}=3×\frac{49}{9}=\frac{49}{3}$
【答案】
$\frac{49}{3}$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比与相似比的关系
【点评】
本题是位似图形的基础计算题，解题的易错点是容易误将OA:AD当做两个图形的相似比，实际要注意对应点到位似中心的距离之比才是相似比，计算时要先求出OD的长度再算相似比。
【难度系数】
0.7
本题考查位似图形相关计算，解题思路如下：首先，位似图形是特殊的相似图形，其相似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次我们需要先根据已知的OA:AD的比值，求出△ABC与△DEF的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，结合△ABC的面积即可求出△DEF的面积。
【解析】
∵ △ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形
∴ △ABC∽△DEF，且相似比$k=\frac{OA}{OD}$
已知$OA:AD=3:4$，设$OA=3x$，则$AD=4x$
∴ $OD=OA+AD=3x+4x=7x$
∴ 相似比$k=\frac{OA}{OD}=\frac{3x}{7x}=\frac{3}{7}$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEF}}=k^2=(\frac{3}{7})^2=\frac{9}{49}$
把$S_{△ ABC}=3$代入上式：
$\frac{3}{S_{△ DEF}}=\frac{9}{49}$
解得：$S_{△ DEF}=3×\frac{49}{9}=\frac{49}{3}$
【答案】
$\frac{49}{3}$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比与相似比的关系
【点评】
本题是位似图形的基础计算题，解题的易错点是容易误将OA:AD当做两个图形的相似比，实际要注意对应点到位似中心的距离之比才是相似比，计算时要先求出OD的长度再算相似比。
【难度系数】
0.7
6.如图是由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形，在这些三角形中，以O为顶点的角都等于$30°$。
（1）图中与$△ ABO$相似的三角形有多少个？
（2）图中有没有与$△ ABO$位似的三角形？如果有，指出它是哪一个。
（1）图中与$△ ABO$相似的三角形有多少个？
（2）图中有没有与$△ ABO$位似的三角形？如果有，指出它是哪一个。
答案
6.(1)图中与△ABO相似的三角形有11个。
(2)△GHO与△ABO位似。
(2)△GHO与△ABO位似。
解析
【分析】
（1）判定相似三角形可利用两角对应相等的判定定理：题中所有三角形均为直角三角形，且以O为顶点的角都是30°，因此所有三角形都有两个角分别相等，全部互相相似，总数量减去△ABO本身即可得到答案。
（2）位似图形需满足三个条件：两图形相似、对应顶点连线交于同一点、对应边平行或共线，结合图形位置找到满足条件的三角形即可。
【解析】
（1）已知12个三角形都是直角三角形，均含90°内角，且所有以O为顶点的角均为30°，因此每个三角形都有30°、90°两个内角。根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得12个直角三角形全部互相相似。排除△ABO自身，与△ABO相似的三角形有$12-1=11$个。
（2）有。根据位似图形的判定规则：①△GHO和△ABO已证相似；②两个三角形的对应顶点连线都经过公共点O；③对应边OA与OG共线，其余对应边互相平行，满足位似的全部条件，因此△GHO与△ABO位似。
【答案】
（1）11个；
（2）有，△GHO。
【知识点】
相似三角形的判定；位似图形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对相似和位似判定规则的理解，解题时注意不要漏算或多算相似三角形的数量，结合图形位置特征判断位似图形即可。
【难度系数】
0.75
（1）判定相似三角形可利用两角对应相等的判定定理：题中所有三角形均为直角三角形，且以O为顶点的角都是30°，因此所有三角形都有两个角分别相等，全部互相相似，总数量减去△ABO本身即可得到答案。
（2）位似图形需满足三个条件：两图形相似、对应顶点连线交于同一点、对应边平行或共线，结合图形位置找到满足条件的三角形即可。
【解析】
（1）已知12个三角形都是直角三角形，均含90°内角，且所有以O为顶点的角均为30°，因此每个三角形都有30°、90°两个内角。根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得12个直角三角形全部互相相似。排除△ABO自身，与△ABO相似的三角形有$12-1=11$个。
（2）有。根据位似图形的判定规则：①△GHO和△ABO已证相似；②两个三角形的对应顶点连线都经过公共点O；③对应边OA与OG共线，其余对应边互相平行，满足位似的全部条件，因此△GHO与△ABO位似。
【答案】
（1）11个；
（2）有，△GHO。
【知识点】
相似三角形的判定；位似图形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对相似和位似判定规则的理解，解题时注意不要漏算或多算相似三角形的数量，结合图形位置特征判断位似图形即可。
【难度系数】
0.75
7.如图，$△ EFD$ 和 $△ CFB$ 是以点 $F$ 为位似中心的位似图形，$EF:FC=1:2$，若$S_{△ EFD}=1$，求四边形 $EBCD$ 的面积。
答案
7.四边形EBCD的面积=9。
解析
【分析】
首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，相似比等于位似比，对应边互相平行。解题第一步先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△CFB的面积；第二步，根据对应边平行得到线段比，再利用同高的三角形面积比等于底的比，求出△EFB和△DFC的面积；最后将四个三角形的面积相加，即可得到四边形EBCD的面积。
【解析】
解：
∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△EFD∽△CFB，相似比$k=EF:FC=1:2$，且$ED// BC$，
∴$\frac{S_{△ EFD}}{S_{△ CFB}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵$S_{△ EFD}=1$，
∴$S_{△ CFB}=4×1=4$。
由$ED// BC$可得$FD:FB=EF:FC=1:2$。
△EFD和△EFB共顶点E，底边FD、FB在同一直线BD上，高相等，因此面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ EFD}}{S_{△ EFB}}=\frac{FD}{FB}=\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ EFB}=2×1=2$。
同理，△EFD和△DFC共顶点D，底边EF、FC在同一直线EC上，高相等，因此：
$\frac{S_{△ EFD}}{S_{△ DFC}}=\frac{EF}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ DFC}=2×1=2$。
∴四边形EBCD的面积为：
$S_{EBCD}=S_{△ EFD}+S_{△ EFB}+S_{△ DFC}+S_{△ CFB}=1+2+2+4=9$。
【答案】
9
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是位似性质的基础应用题型，解题时需注意位似图形兼具相似的所有性质，同时不要忽略利用同高三角形的面积与底的比例关系求出中间两个三角形的面积，避免出现仅用大三角形面积减小三角形面积的错误。
【难度系数】
0.6
首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，相似比等于位似比，对应边互相平行。解题第一步先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出△CFB的面积；第二步，根据对应边平行得到线段比，再利用同高的三角形面积比等于底的比，求出△EFB和△DFC的面积；最后将四个三角形的面积相加，即可得到四边形EBCD的面积。
【解析】
解：
∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△EFD∽△CFB，相似比$k=EF:FC=1:2$，且$ED// BC$，
∴$\frac{S_{△ EFD}}{S_{△ CFB}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵$S_{△ EFD}=1$，
∴$S_{△ CFB}=4×1=4$。
由$ED// BC$可得$FD:FB=EF:FC=1:2$。
△EFD和△EFB共顶点E，底边FD、FB在同一直线BD上，高相等，因此面积比等于底的比：
$\frac{S_{△ EFD}}{S_{△ EFB}}=\frac{FD}{FB}=\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ EFB}=2×1=2$。
同理，△EFD和△DFC共顶点D，底边EF、FC在同一直线EC上，高相等，因此：
$\frac{S_{△ EFD}}{S_{△ DFC}}=\frac{EF}{FC}=\frac{1}{2}$，
∴$S_{△ DFC}=2×1=2$。
∴四边形EBCD的面积为：
$S_{EBCD}=S_{△ EFD}+S_{△ EFB}+S_{△ DFC}+S_{△ CFB}=1+2+2+4=9$。
【答案】
9
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是位似性质的基础应用题型，解题时需注意位似图形兼具相似的所有性质，同时不要忽略利用同高三角形的面积与底的比例关系求出中间两个三角形的面积，避免出现仅用大三角形面积减小三角形面积的错误。
【难度系数】
0.6
8.在放映胶片电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏。如图，点P为放映机的光源，△ABC是胶片上面的画面，△A'B'C'为银幕上看到的画面。若胶片上图片的规格是2.5 cm×2.5 cm，放映的银幕规格是2 m×2 m，光源P与胶片的距离是20 cm，若放映的图像正好布满整个银幕，则银幕到光源P之间的距离为
16 m
。答案
8.16 m
解析
【分析】
本题是位似图形在实际生活中的应用，首先判断△ABC和△A'B'C'是以点P为位似中心的位似图形，根据位似图形的性质：位似图形的相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比。解题时先统一单位，计算胶片与银幕的边长比得到相似比，再设银幕到光源P的距离为未知量，根据相似比和距离的比例关系列方程求解即可。
【解析】
由题意得：△ABC与△A'B'C'是以点P为位似中心的位似图形，二者的相似比等于对应边的长度比，也等于光源到胶片的距离与光源到银幕的距离之比。
先统一单位：$2\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{cm}$
设银幕到光源P的距离为$x\ \mathrm{cm}$，根据位似性质列比例式：
$\frac{2.5}{200}=\frac{20}{x}$
解得：$2.5x=20×200$
$x=\frac{4000}{2.5}=1600$
换算单位：$1600\ \mathrm{cm} = 16\ \mathrm{m}$
【答案】
16 m
【知识点】
位似图形的性质、比例计算、单位换算
【点评】
本题结合胶片放映的实际场景考查位似知识的应用，解题核心是掌握位似图形相似比与对应点到位似中心距离的关系，计算时要注意统一单位，避免因单位不匹配导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是位似图形在实际生活中的应用，首先判断△ABC和△A'B'C'是以点P为位似中心的位似图形，根据位似图形的性质：位似图形的相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比。解题时先统一单位，计算胶片与银幕的边长比得到相似比，再设银幕到光源P的距离为未知量，根据相似比和距离的比例关系列方程求解即可。
【解析】
由题意得：△ABC与△A'B'C'是以点P为位似中心的位似图形，二者的相似比等于对应边的长度比，也等于光源到胶片的距离与光源到银幕的距离之比。
先统一单位：$2\ \mathrm{m} = 200\ \mathrm{cm}$
设银幕到光源P的距离为$x\ \mathrm{cm}$，根据位似性质列比例式：
$\frac{2.5}{200}=\frac{20}{x}$
解得：$2.5x=20×200$
$x=\frac{4000}{2.5}=1600$
换算单位：$1600\ \mathrm{cm} = 16\ \mathrm{m}$
【答案】
16 m
【知识点】
位似图形的性质、比例计算、单位换算
【点评】
本题结合胶片放映的实际场景考查位似知识的应用，解题核心是掌握位似图形相似比与对应点到位似中心距离的关系，计算时要注意统一单位，避免因单位不匹配导致计算错误。
【难度系数】
0.7
9.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O。
(1)过点O作OE⊥BC于点E,连接DE交OC于点F,作FG⊥BC于点G,则△ABC与△FGC是位似三角形吗?若是,请说出位似中心,并求出位似比;若不是,请说明理由。
(2)同(1)的操作步骤,试确定$\frac{CI}{BC}$的值。
(1)过点O作OE⊥BC于点E,连接DE交OC于点F,作FG⊥BC于点G,则△ABC与△FGC是位似三角形吗?若是,请说出位似中心,并求出位似比;若不是,请说明理由。
(2)同(1)的操作步骤,试确定$\frac{CI}{BC}$的值。
答案
9.(1)△ABC与△FGC是位似三角形；C是位似中心；位似比为3:1。
(2)$\frac{CI}{BC}=\frac{1}{4}$。
(2)$\frac{CI}{BC}=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
(1)判断两个三角形是否为位似三角形，需先判定二者相似，再验证对应顶点连线交于同一点、对应边互相平行。首先利用矩形性质得对角线交点O是AC中点，结合OE⊥BC推出OE是△ABC中位线，得到OE与CD的比例关系，通过相似三角形求出CF与AC的比值，再结合AB//FG、对应顶点连线均过点C，即可判定位似关系并求出位似比。
(2)延续(1)的思路，由FG//CD得到对应相似三角形，推出HC与AC的比值，再结合HI//AB，利用平行线分线段成比例的性质即可求出CI与BC的比值。
【解析】
(1)△ABC与△FGC是位似三角形，推导如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，对角线AC、BD交于中点O。
∵OE⊥BC，
∴OE//AB，即E为BC中点，且$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$。
∵OE//CD，
∴$△ OEF ∽ △ CDF$，可得$\frac{OF}{FC}=\frac{OE}{CD}=\frac{1}{2}$，即$FC=2OF$。
∵$AC=2OC=2(OF+FC)=6OF$，
∴$\frac{AC}{FC}=\frac{6OF}{2OF}=\frac{3}{1}$。
又
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG//AB，且△ABC与△FGC的对应顶点连线AF、BG、CC共线过点C，符合位似图形的特征。
(2)由(1)得FG//CD，且$FG=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}CD$，
∴$△ FGH ∽ △ CDH$，可得$\frac{FH}{HC}=\frac{FG}{CD}=\frac{1}{3}$，即$HC=\frac{3}{4}FC$。
∵$FC=\frac{1}{3}AC$，
∴$HC=\frac{3}{4} × \frac{1}{3}AC=\frac{1}{4}AC$。
∵HI⊥BC，AB⊥BC，
∴HI//AB，$△ CIH ∽ △ CBA$，因此$\frac{CI}{BC}=\frac{CH}{AC}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)△ABC与△FGC是位似三角形；位似中心为点C；位似比为$3:1$。
(2)$\frac{CI}{BC}=\frac{1}{4}$
【知识点】
位似的判定；矩形的性质；相似三角形的性质与判定
【点评】
本题将位似图形的判定与矩形、相似三角形的知识结合考查，解题的核心是熟练掌握位似图形的判定条件，通过平行线构造相似三角形得到线段比例关系。
【难度系数】
0.6
(1)判断两个三角形是否为位似三角形，需先判定二者相似，再验证对应顶点连线交于同一点、对应边互相平行。首先利用矩形性质得对角线交点O是AC中点，结合OE⊥BC推出OE是△ABC中位线，得到OE与CD的比例关系，通过相似三角形求出CF与AC的比值，再结合AB//FG、对应顶点连线均过点C，即可判定位似关系并求出位似比。
(2)延续(1)的思路，由FG//CD得到对应相似三角形，推出HC与AC的比值，再结合HI//AB，利用平行线分线段成比例的性质即可求出CI与BC的比值。
【解析】
(1)△ABC与△FGC是位似三角形，推导如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，对角线AC、BD交于中点O。
∵OE⊥BC，
∴OE//AB，即E为BC中点，且$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD$。
∵OE//CD，
∴$△ OEF ∽ △ CDF$，可得$\frac{OF}{FC}=\frac{OE}{CD}=\frac{1}{2}$，即$FC=2OF$。
∵$AC=2OC=2(OF+FC)=6OF$，
∴$\frac{AC}{FC}=\frac{6OF}{2OF}=\frac{3}{1}$。
又
∵FG⊥BC，AB⊥BC，
∴FG//AB，且△ABC与△FGC的对应顶点连线AF、BG、CC共线过点C，符合位似图形的特征。
(2)由(1)得FG//CD，且$FG=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}CD$，
∴$△ FGH ∽ △ CDH$，可得$\frac{FH}{HC}=\frac{FG}{CD}=\frac{1}{3}$，即$HC=\frac{3}{4}FC$。
∵$FC=\frac{1}{3}AC$，
∴$HC=\frac{3}{4} × \frac{1}{3}AC=\frac{1}{4}AC$。
∵HI⊥BC，AB⊥BC，
∴HI//AB，$△ CIH ∽ △ CBA$，因此$\frac{CI}{BC}=\frac{CH}{AC}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)△ABC与△FGC是位似三角形；位似中心为点C；位似比为$3:1$。
(2)$\frac{CI}{BC}=\frac{1}{4}$
【知识点】
位似的判定；矩形的性质；相似三角形的性质与判定
【点评】
本题将位似图形的判定与矩形、相似三角形的知识结合考查，解题的核心是熟练掌握位似图形的判定条件，通过平行线构造相似三角形得到线段比例关系。
【难度系数】
0.6
