登录
1. 关于二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $，下列说法正确的是(
A.图像开口向上
B.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.图像关于 $ x $ 轴对称
D.无论 $ x $ 取何值，$ y $ 的值总是非正数
D
)A.图像开口向上
B.$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
C.图像关于 $ x $ 轴对称
D.无论 $ x $ 取何值，$ y $ 的值总是非正数
答案
1. D
2. 已知二次函数 $ y = (a - 1)x^{2} $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则实数 $ a $ 的取值范围是(
A.$ a ＞ 0 $
B.$ a ＞ 1 $
C.$ a ≠ 1 $
D.$ a ＜ 1 $
B
)A.$ a ＞ 0 $
B.$ a ＞ 1 $
C.$ a ≠ 1 $
D.$ a ＜ 1 $
答案
2. B
解析
对于二次函数$y=(a - 1)x^{2}$，其对称轴为$y$轴（$x=0$）。
当$a - 1＞0$，即$a＞1$时，抛物线开口向上，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大；
当$a - 1＜0$，即$a＜1$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而减小。
已知当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$a - 1＞0$，解得$a＞1$。
B
当$a - 1＞0$，即$a＞1$时，抛物线开口向上，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大；
当$a - 1＜0$，即$a＜1$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而减小。
已知当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$a - 1＞0$，解得$a＞1$。
B
3. (2024·广东)若点 $ (0,y_{1}) $，$ (1,y_{2}) $，$ (2,y_{3}) $ 都在二次函数 $ y = x^{2} $ 的图像上，则(
A.$ y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1} $
B.$ y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3} $
C.$ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $
D.$ y_{3} ＞ y_{1} ＞ y_{2} $
A
)A.$ y_{3} ＞ y_{2} ＞ y_{1} $
B.$ y_{2} ＞ y_{1} ＞ y_{3} $
C.$ y_{1} ＞ y_{3} ＞ y_{2} $
D.$ y_{3} ＞ y_{1} ＞ y_{2} $
答案
3. A
解析
当$x=0$时，$y_{1}=0^{2}=0$；当$x=1$时，$y_{2}=1^{2}=1$；当$x=2$时，$y_{3}=2^{2}=4$。因为$4＞1＞0$，所以$y_{3}＞y_{2}＞y_{1}$。
A
A
4. 给出下列函数：① $ y = -3x + 2 $；② $ y = \frac{3}{x} $；③ $ y = 2x^{2} $；④ $ y = 3x $。其中符合条件“当 $ x ＞ 1 $ 时，函数值 $ y $ 随自变量 $ x $ 的增大而增大”的是
③④
。(填序号)答案
4. ③④
5. 根据条件，求下列各题中 $ m $ 的取值或取值范围。
(1) 二次函数 $ y = (2m - 1)x^{2} $ 有最小值；
(2) 函数 $ y = (m + 1)x^{2} $ 与 $ y = 2x^{2} $ 的图像形状相同；
(3) 函数 $ y = mx^{m^{2}+m} $ 的图像是开口向下的抛物线。
(1) 二次函数 $ y = (2m - 1)x^{2} $ 有最小值；
(2) 函数 $ y = (m + 1)x^{2} $ 与 $ y = 2x^{2} $ 的图像形状相同；
(3) 函数 $ y = mx^{m^{2}+m} $ 的图像是开口向下的抛物线。
答案
5. 解：(1)
∵二次函数$y=(2m - 1)x^{2}$有最小值，
∴$2m - 1＞0$，解得$m＞\frac{1}{2}$。
(2)
∵函数$y=(m + 1)x^{2}$与$y = 2x^{2}$的图像形状相同，
∴$|m + 1| = 2$，解得$m = 1$或$m = - 3$。
(3)
∵函数$y = mx^{m^{2}+m}$的图像是开口向下的抛物线，
∴$m^{2}+m = 2$且$m＜0$，解得$m = - 2$。
∵二次函数$y=(2m - 1)x^{2}$有最小值，
∴$2m - 1＞0$，解得$m＞\frac{1}{2}$。
(2)
∵函数$y=(m + 1)x^{2}$与$y = 2x^{2}$的图像形状相同，
∴$|m + 1| = 2$，解得$m = 1$或$m = - 3$。
(3)
∵函数$y = mx^{m^{2}+m}$的图像是开口向下的抛物线，
∴$m^{2}+m = 2$且$m＜0$，解得$m = - 2$。
6. (2024·常熟月考)已知二次函数 $ y = (a^{2} + 2a - 3)x^{2} $ 的图像开口向下，且经过点 $ (1,3a + 3) $，则 $ a $ 的值为(
A.$ -3 $ 或 $ 2 $
B.$ 3 $
C.$ -2 $
D.$ -2 $ 或 $ 3 $
C
)A.$ -3 $ 或 $ 2 $
B.$ 3 $
C.$ -2 $
D.$ -2 $ 或 $ 3 $
答案
6. C
解析
因为二次函数$y=(a^{2}+2a - 3)x^{2}$的图像开口向下，所以$a^{2}+2a - 3＜0$。
又因为函数图像经过点$(1,3a + 3)$，将$x=1$，$y=3a + 3$代入函数可得：$3a + 3=(a^{2}+2a - 3)×1^{2}$，即$a^{2}+2a - 3=3a + 3$，整理得$a^{2}-a - 6=0$，因式分解为$(a - 3)(a + 2)=0$，解得$a=3$或$a=-2$。
当$a=3$时，$a^{2}+2a - 3=9 + 6 - 3=12＞0$，不符合开口向下，舍去；当$a=-2$时，$a^{2}+2a - 3=4 - 4 - 3=-3＜0$，符合题意。所以$a=-2$。
C
又因为函数图像经过点$(1,3a + 3)$，将$x=1$，$y=3a + 3$代入函数可得：$3a + 3=(a^{2}+2a - 3)×1^{2}$，即$a^{2}+2a - 3=3a + 3$，整理得$a^{2}-a - 6=0$，因式分解为$(a - 3)(a + 2)=0$，解得$a=3$或$a=-2$。
当$a=3$时，$a^{2}+2a - 3=9 + 6 - 3=12＞0$，不符合开口向下，舍去；当$a=-2$时，$a^{2}+2a - 3=4 - 4 - 3=-3＜0$，符合题意。所以$a=-2$。
C
7. 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ A $ 的坐标是 $ (6,4) $，点 $ A $ 关于直线 $ x = 2 $ 的对称点为 $ B $，若抛物线 $ y = ax^{2} $ 与线段 $ AB $ 恰有一个公共点，则 $ a $ 的取值范围是(
A.$ \frac{1}{9} ＜ a ＜ 1 $
B.$ \frac{1}{9} ≤ a ≤ 1 $
C.$ \frac{1}{9} ＜ a ≤ 1 $
D.$ \frac{1}{9} ≤ a ＜ 1 $
D
)A.$ \frac{1}{9} ＜ a ＜ 1 $
B.$ \frac{1}{9} ≤ a ≤ 1 $
C.$ \frac{1}{9} ＜ a ≤ 1 $
D.$ \frac{1}{9} ≤ a ＜ 1 $
答案
7. D
解析
解：
1. 求点B坐标：
点A(6,4)关于直线x=2对称，对称点B的横坐标为$2-(6-2)=-2$，纵坐标不变，故B(-2,4)。
2. 分析线段AB：
A(6,4)，B(-2,4)，线段AB平行于x轴，方程为$y=4$（$-2 ≤ x ≤ 6$）。
3. 抛物线与线段AB的交点条件：
抛物线$y=ax^2$与线段AB恰有一个公共点，即方程$ax^2=4$在$-2 ≤ x ≤ 6$内有且仅有一解。
4. 分类讨论：
相切或端点相交：
当$x=6$时，$a · 6^2 = 4 ⇒ a = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$，此时抛物线过点A，满足条件。
当$x=-2$时，$a · (-2)^2 = 4 ⇒ a = 1$，此时抛物线过点B，但当$a=1$时，方程$x^2=4$的解为$x=\pm2$，其中$x=2$在区间$[-2,6]$内，故抛物线与线段AB有两个交点（B和(2,4)），不满足条件，因此$a ＜ 1$。
中间区间有唯一解：
当$\frac{1}{9} ＜ a ＜ 1$时，方程$ax^2=4$的解为$x=\pm\sqrt{\frac{4}{a}}$，其中$\sqrt{\frac{4}{a}}$在$(2,6)$内，仅有一个交点在AB上，满足条件。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{9} ≤ a ＜ 1$。
答案：D
1. 求点B坐标：
点A(6,4)关于直线x=2对称，对称点B的横坐标为$2-(6-2)=-2$，纵坐标不变，故B(-2,4)。
2. 分析线段AB：
A(6,4)，B(-2,4)，线段AB平行于x轴，方程为$y=4$（$-2 ≤ x ≤ 6$）。
3. 抛物线与线段AB的交点条件：
抛物线$y=ax^2$与线段AB恰有一个公共点，即方程$ax^2=4$在$-2 ≤ x ≤ 6$内有且仅有一解。
4. 分类讨论：
相切或端点相交：
当$x=6$时，$a · 6^2 = 4 ⇒ a = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$，此时抛物线过点A，满足条件。
当$x=-2$时，$a · (-2)^2 = 4 ⇒ a = 1$，此时抛物线过点B，但当$a=1$时，方程$x^2=4$的解为$x=\pm2$，其中$x=2$在区间$[-2,6]$内，故抛物线与线段AB有两个交点（B和(2,4)），不满足条件，因此$a ＜ 1$。
中间区间有唯一解：
当$\frac{1}{9} ＜ a ＜ 1$时，方程$ax^2=4$的解为$x=\pm\sqrt{\frac{4}{a}}$，其中$\sqrt{\frac{4}{a}}$在$(2,6)$内，仅有一个交点在AB上，满足条件。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{9} ≤ a ＜ 1$。
答案：D
8. (2024·海门期中)已知二次函数 $ y = (1 - a)x^{a^{2} - 3} $，在其图像对称轴的左侧，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则 $ a $ 的值为
$-\sqrt{5}$
。答案
8. $-\sqrt{5}$
解析
因为函数是二次函数，所以$a^{2}-3=2$，解得$a=\pm\sqrt{5}$。
又因为在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，所以二次函数开口向上，即$1 - a＞0$，解得$a＜1$。
综上，$a=-\sqrt{5}$。
$-\sqrt{5}$
又因为在对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小，所以二次函数开口向上，即$1 - a＞0$，解得$a＜1$。
综上，$a=-\sqrt{5}$。
$-\sqrt{5}$
