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7. 二次函数 $ y = a x ^ { 2 } $ 与一次函数 $ y = a x + a $ 在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是(
D
)答案
7.D
解析
解：一次函数$y = ax + a = a(x + 1)$，与$x$轴交于点$(-1,0)$，选项A、B、C、D均满足此条件。
当$a＞0$时：
二次函数$y = ax^2$开口向上；
一次函数$y = ax + a$斜率为正，截距为正，图像过一、二、三象限。
此时选项D符合。
当$a＜0$时：
二次函数$y = ax^2$开口向下；
一次函数$y = ax + a$斜率为负，截距为负，图像过二、三、四象限，无符合选项。
综上，图像可能是D。
D
当$a＞0$时：
二次函数$y = ax^2$开口向上；
一次函数$y = ax + a$斜率为正，截距为正，图像过一、二、三象限。
此时选项D符合。
当$a＜0$时：
二次函数$y = ax^2$开口向下；
一次函数$y = ax + a$斜率为负，截距为负，图像过二、三、四象限，无符合选项。
综上，图像可能是D。
D
8. 已知二次函数 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $ 的图像如图所示，线段 $ A B // x $ 轴，交抛物线于 $ A $，$ B $ 两点，且点 $ A $ 的横坐标为 2，则线段 $ A B $ 的长度为
4
.答案
8.4
解析
解：当$x = 2$时，$y=\frac{1}{2}×2^{2}=2$，则点$A$的坐标为$(2,2)$。
因为线段$AB// x$轴，所以点$B$与点$A$的纵坐标相同，均为$2$。
令$\frac{1}{2}x^{2}=2$，解得$x = \pm 2$，则点$B$的坐标为$(-2,2)$。
所以线段$AB$的长度为$2 - (-2)=4$。
4
因为线段$AB// x$轴，所以点$B$与点$A$的纵坐标相同，均为$2$。
令$\frac{1}{2}x^{2}=2$，解得$x = \pm 2$，则点$B$的坐标为$(-2,2)$。
所以线段$AB$的长度为$2 - (-2)=4$。
4
9. 如图，菱形 $ O A B C $ 的顶点 $ O $，$ A $，$ C $ 在抛物线 $ y = \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $ 上，其中 $ O $ 为坐标原点，对角线 $ O B $ 在 $ y $ 轴上，且 $ O B = 2 $，则菱形 $ O A B C $ 的面积是
$ 2 \sqrt { 3 } $
.答案
9. $ 2 \sqrt { 3 } $
解析
解：
∵菱形$OABC$的对角线$OB$在$y$轴上，$O$为坐标原点，$OB = 2$，
∴点$B$的坐标为$(0, 2)$，$O$的坐标为$(0, 0)$。
设点$A$的坐标为$(a, b)$，点$C$的坐标为$(-a, b)$（$a ＞ 0$）。
∵点$A$在抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}$上，
∴$b=\frac{1}{3}a^{2}$。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴$OA = AB$。
$OA^{2}=a^{2}+b^{2}$，$AB^{2}=(a - 0)^{2}+(b - 2)^{2}=a^{2}+(b - 2)^{2}$。
则$a^{2}+b^{2}=a^{2}+(b - 2)^{2}$，
解得$b = 1$。
将$b = 1$代入$b=\frac{1}{3}a^{2}$，得$1=\frac{1}{3}a^{2}$，$a^{2}=3$，$a=\sqrt{3}$（$a ＞ 0$）。
∴$AC = 2a = 2\sqrt{3}$。
菱形$OABC$的面积为$\frac{1}{2}×OB×AC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
$2\sqrt{3}$
∵菱形$OABC$的对角线$OB$在$y$轴上，$O$为坐标原点，$OB = 2$，
∴点$B$的坐标为$(0, 2)$，$O$的坐标为$(0, 0)$。
设点$A$的坐标为$(a, b)$，点$C$的坐标为$(-a, b)$（$a ＞ 0$）。
∵点$A$在抛物线$y=\frac{1}{3}x^{2}$上，
∴$b=\frac{1}{3}a^{2}$。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴$OA = AB$。
$OA^{2}=a^{2}+b^{2}$，$AB^{2}=(a - 0)^{2}+(b - 2)^{2}=a^{2}+(b - 2)^{2}$。
则$a^{2}+b^{2}=a^{2}+(b - 2)^{2}$，
解得$b = 1$。
将$b = 1$代入$b=\frac{1}{3}a^{2}$，得$1=\frac{1}{3}a^{2}$，$a^{2}=3$，$a=\sqrt{3}$（$a ＞ 0$）。
∴$AC = 2a = 2\sqrt{3}$。
菱形$OABC$的面积为$\frac{1}{2}×OB×AC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
$2\sqrt{3}$
10. 已知抛物线 $ y = m x ^ { 2 } $ 和直线 $ y = - x + b $ 都经过点 $ M ( - 2,4 ) $，$ O $ 为坐标原点，$ P $ 为抛物线上的动点，直线 $ y = - x + b $ 与 $ x $ 轴，$ y $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $.
（1）求 $ m $，$ b $ 的值；
（2）当 $ △ P A M $ 是以 $ A M $ 为底边的等腰三角形时，求点 $ P $ 的坐标.
（1）求 $ m $，$ b $ 的值；
（2）当 $ △ P A M $ 是以 $ A M $ 为底边的等腰三角形时，求点 $ P $ 的坐标.
答案
10.解:(1)将 $ M ( - 2, 4 ) $ 代入 $ y = m x ^ { 2 } $，得 $ 4 = 4 m $，
解得 $ m = 1 $.
将 $ M ( - 2, 4 ) $ 代入 $ y = - x + b $，得 $ 4 = 2 + b $，解得 $ b = 2 $.
(2)由(1)可知，抛物线的函数表达式为 $ y = x ^ { 2 } $，直线 $ A B $ 的函数表达式为 $ y = - x + 2 $.
当 $ y = 0 $ 时， $ - x + 2 = 0 $，解得 $ x = 2 $， $ \therefore $ 点 $ A $ 的坐标为 $ ( 2, 0 ) $， $ O A = 2 $.
设点 $ P $ 的坐标为 $ ( x, x ^ { 2 } ) $，
则 $ P A ^ { 2 } = ( 2 - x ) ^ { 2 } + ( 0 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } = x ^ { 4 } + x ^ { 2 } - 4 x + 4 $， $ P M ^ { 2 } = ( - 2 - x ) ^ { 2 } + ( 4 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } = x ^ { 4 } - 7 x ^ { 2 } + 4 x + 20 $.
$ \because △ P A M $ 是以 $ A M $ 为底边的等腰三角形，
$ \therefore P A ^ { 2 } = P M ^ { 2 } $，即 $ x ^ { 4 } + x ^ { 2 } - 4 x + 4 = x ^ { 4 } - 7 x ^ { 2 } + 4 x + 20 $，整理，得 $ x ^ { 2 } - x - 2 = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = - 1 $， $ x _ { 2 } = 2 $，
$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ ( - 1, 1 ) $ 或 $ ( 2, 4 ) $.
解得 $ m = 1 $.
将 $ M ( - 2, 4 ) $ 代入 $ y = - x + b $，得 $ 4 = 2 + b $，解得 $ b = 2 $.
(2)由(1)可知，抛物线的函数表达式为 $ y = x ^ { 2 } $，直线 $ A B $ 的函数表达式为 $ y = - x + 2 $.
当 $ y = 0 $ 时， $ - x + 2 = 0 $，解得 $ x = 2 $， $ \therefore $ 点 $ A $ 的坐标为 $ ( 2, 0 ) $， $ O A = 2 $.
设点 $ P $ 的坐标为 $ ( x, x ^ { 2 } ) $，
则 $ P A ^ { 2 } = ( 2 - x ) ^ { 2 } + ( 0 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } = x ^ { 4 } + x ^ { 2 } - 4 x + 4 $， $ P M ^ { 2 } = ( - 2 - x ) ^ { 2 } + ( 4 - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } = x ^ { 4 } - 7 x ^ { 2 } + 4 x + 20 $.
$ \because △ P A M $ 是以 $ A M $ 为底边的等腰三角形，
$ \therefore P A ^ { 2 } = P M ^ { 2 } $，即 $ x ^ { 4 } + x ^ { 2 } - 4 x + 4 = x ^ { 4 } - 7 x ^ { 2 } + 4 x + 20 $，整理，得 $ x ^ { 2 } - x - 2 = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = - 1 $， $ x _ { 2 } = 2 $，
$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ ( - 1, 1 ) $ 或 $ ( 2, 4 ) $.
11. 如图，点 $ A $，$ B $ 在 $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } $ 的图像上，它们的横坐标分别为 $ - 2 $，$ 4 $，直线 $ A B $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $，连接 $ O A $，$ O B $.
（1）求直线 $ A B $ 的函数表达式；
（2）求 $ △ A O B $ 的面积；
（3）若函数 $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } $ 的图像上存在点 $ P $，使 $ △ P A B $ 的面积等于 $ △ A O B $ 的面积的一半，试说明这样的点 $ P $ 共有几个.
（1）求直线 $ A B $ 的函数表达式；
（2）求 $ △ A O B $ 的面积；
（3）若函数 $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } $ 的图像上存在点 $ P $，使 $ △ P A B $ 的面积等于 $ △ A O B $ 的面积的一半，试说明这样的点 $ P $ 共有几个.
答案
11.解:(1) $ \because $ 点 $ A $， $ B $ 在 $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } $ 的图像上，横坐标分别为 $ - 2 $， $ 4 $， $ \therefore A ( - 2, 1 ) $， $ B ( 4, 4 ) $.
设直线 $ A B $ 的函数表达式为 $ y = k x + b $，
$ \therefore \{ \begin{array} { l } { - 2 k + b = 1 }, \\ { 4 k + b = 4 }, \end{array} $ 解得 $ \{ \begin{array} { l } { k = \frac { 1 } { 2 } }, \\ { b = 2 }, \end{array} $
$ \therefore $ 直线 $ A B $ 的函数表达式为 $ y = \frac { 1 } { 2 } x + 2 $.
(2)在 $ y = \frac { 1 } { 2 } x + 2 $ 中，令 $ x = 0 $，则 $ y = 2 $，
$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ ( 0, 2 ) $， $ \therefore O C = 2 $，
$ \therefore S _ { △ A O B } = S _ { △ A O C } + S _ { △ B O C } = \frac { 1 } { 2 } × 2 × 2 + \frac { 1 } { 2 } × 2 × 4 = 6 $.
(3)如答图，过 $ O C $ 的中点作 $ A B $ 的平行线，与抛物线有两个交点 $ P _ { 1 } $， $ P _ { 2 } $，此时 $ △ P _ { 1 } A B $ 的面积和 $ △ P _ { 2 } A B $ 的面积均等于 $ △ A O B $ 的面积的一半，
作直线 $ P _ { 1 } P _ { 2 } $ 关于直线 $ A B $ 的对称直线，与抛物线有两个交点 $ P _ { 3 } $， $ P _ { 4 } $，此时 $ △ P _ { 3 } A B $ 的面积和 $ △ P _ { 4 } A B $ 的面积均等于 $ △ A O B $ 的面积的一半，所以这样的点 $ P $ 共有 4 个.
