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9. 对于二次函数 $ y = ax^{2} $，已知当 $ x $ 由 $ 1 $ 增加到 $ 2 $ 时，函数值减少 $ 4 $，则常数 $ a $ 的值是
$-\frac{4}{3}$
。答案
9. $-\frac{4}{3}$
解析
当$x=1$时，$y=a×1^{2}=a$；当$x=2$时，$y=a×2^{2}=4a$。
因为当$x$由$1$增加到$2$时，函数值减少$4$，所以$a - 4a=4$，即$-3a=4$，解得$a=-\frac{4}{3}$。
$-\frac{4}{3}$
因为当$x$由$1$增加到$2$时，函数值减少$4$，所以$a - 4a=4$，即$-3a=4$，解得$a=-\frac{4}{3}$。
$-\frac{4}{3}$
10. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A(2,4) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} $ 上，过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $ B $，点 $ C $，$ D $ 在线段 $ AB $ 上，分别过点 $ C $，$ D $ 作 $ x $ 轴的垂线交抛物线于 $ E $，$ F $ 两点。当四边形 $ CDFE $ 为正方形时，线段 $ CD $ 的长为
$-2 + 2\sqrt{5}$
。答案
10. $-2 + 2\sqrt{5}$
解析
解：
∵点$A(2,4)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴$4=a·2^2$，解得$a=1$，抛物线解析式为$y=x^2$。
∵$AB⊥ y$轴，点$A(2,4)$，
∴点$B$与$A$关于$y$轴对称，$B(-2,4)$，$AB$的长度为$4$，$AB$上点的纵坐标均为$4$。
设点$C(m,4)$，$D(n,4)$（$m＞n$），则$CD=m-n$。
∵$CE⊥ x$轴，$DF⊥ x$轴，交抛物线于$E$，$F$，
∴$E(m,m^2)$，$F(n,n^2)$，$CE=4-m^2$，$DF=4-n^2$。
∵四边形$CDFE$为正方形，
∴$CD=CE=DF$，且$C$，$D$关于$y$轴对称（对称轴为$y$轴），
∴$m=-n$，$CD=m-n=2m$，$CE=4-m^2$。
则$2m=4-m^2$，即$m^2+2m-4=0$，
解得$m=-1+\sqrt{5}$（负值舍去），
∴$CD=2m=2(-1+\sqrt{5})=-2+2\sqrt{5}$。
$-2 + 2\sqrt{5}$
∵点$A(2,4)$在抛物线$y=ax^2$上，
∴$4=a·2^2$，解得$a=1$，抛物线解析式为$y=x^2$。
∵$AB⊥ y$轴，点$A(2,4)$，
∴点$B$与$A$关于$y$轴对称，$B(-2,4)$，$AB$的长度为$4$，$AB$上点的纵坐标均为$4$。
设点$C(m,4)$，$D(n,4)$（$m＞n$），则$CD=m-n$。
∵$CE⊥ x$轴，$DF⊥ x$轴，交抛物线于$E$，$F$，
∴$E(m,m^2)$，$F(n,n^2)$，$CE=4-m^2$，$DF=4-n^2$。
∵四边形$CDFE$为正方形，
∴$CD=CE=DF$，且$C$，$D$关于$y$轴对称（对称轴为$y$轴），
∴$m=-n$，$CD=m-n=2m$，$CE=4-m^2$。
则$2m=4-m^2$，即$m^2+2m-4=0$，
解得$m=-1+\sqrt{5}$（负值舍去），
∴$CD=2m=2(-1+\sqrt{5})=-2+2\sqrt{5}$。
$-2 + 2\sqrt{5}$
11. 如图，直线 $ l $ 经过点 $ A(4,0) $ 和点 $ B(0,4) $，且与二次函数 $ y = ax^{2} $ 的图像在第一象限内相交于点 $ P $，若 $ △ AOP $ 的面积为 $ \frac{9}{2} $，求二次函数 $ y = ax^{2} $ 的表达式。
答案
11. 解：
∵直线$l$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A(4,0)$，$B(0,4)$，
∴直线$l$的函数表达式为$y = - x + 4$。
设点$P$的坐标为$(m,n)$，
∵$△ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×4n=\frac{9}{2}$，解得$n=\frac{9}{4}$。
∵点$P$在直线$l$上，
∴$-m + 4=\frac{9}{4}$，解得$m=\frac{7}{4}$，
∴$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。
∵点$P$在抛物线$y = ax^{2}$上，
∴$\frac{9}{4}=a×(\frac{7}{4})^{2}$，解得$a=\frac{36}{49}$，
∴二次函数$y = ax^{2}$的表达式为$y=\frac{36}{49}x^{2}$。
∵直线$l$与$x$轴，$y$轴分别交于点$A(4,0)$，$B(0,4)$，
∴直线$l$的函数表达式为$y = - x + 4$。
设点$P$的坐标为$(m,n)$，
∵$△ AOP$的面积为$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{1}{2}×4n=\frac{9}{2}$，解得$n=\frac{9}{4}$。
∵点$P$在直线$l$上，
∴$-m + 4=\frac{9}{4}$，解得$m=\frac{7}{4}$，
∴$P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$。
∵点$P$在抛物线$y = ax^{2}$上，
∴$\frac{9}{4}=a×(\frac{7}{4})^{2}$，解得$a=\frac{36}{49}$，
∴二次函数$y = ax^{2}$的表达式为$y=\frac{36}{49}x^{2}$。
12. 画出二次函数 $ y = -x^{2} $ 的图像并利用其图像解答下列问题：
(1) 指出它的图像与 $ x $ 轴的交点坐标；
(2) 当 $ 1 ＜ x ＜ 2 $ 时，求 $ y $ 的取值范围；
(3) 当 $ -3 ＜ x ＜ 2 $ 时，求 $ y $ 的取值范围。
(1) 指出它的图像与 $ x $ 轴的交点坐标；
(2) 当 $ 1 ＜ x ＜ 2 $ 时，求 $ y $ 的取值范围；
(3) 当 $ -3 ＜ x ＜ 2 $ 时，求 $ y $ 的取值范围。
答案
12. 解：列表：
描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出。
连线：用平滑的线顺次连接各点。
如答图所示.
(1)图像与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$。
(2)当$x = 1$时，$y = - 1$；当$x = 2$时，$y = - 4$，
∴当$1＜x＜2$时，$y$的取值范围为$-4＜y＜-1$。
(3)当$x = - 3$时，$y = - 9$；当$x = 0$时，$y = 0$，
∴当$-3＜x＜2$时，$y$的取值范围为$-9＜y≤0$。
13. 如图，二次函数的图像顶点在原点，且点 $ (2,1) $ 在二次函数的图像上，过点 $ F(0,1) $ 作 $ x $ 轴的平行线交二次函数的图像于 $ M $，$ N $ 两点。
(1) 求二次函数的表达式；
(2) $ P $ 为平面内一点，当 $ △ PMN $ 是等边三角形时，求点 $ P $ 的坐标。
(1) 求二次函数的表达式；
(2) $ P $ 为平面内一点，当 $ △ PMN $ 是等边三角形时，求点 $ P $ 的坐标。
答案
13. 解：(1)
∵二次函数的图像顶点在原点，
∴设二次函数的表达式为$y = ax^{2}$，
将$(2,1)$代入，得$1 = 4a$，解得$a=\frac{1}{4}$，
∴二次函数的表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}$。
(2)将$y = 1$代入$y=\frac{1}{4}x^{2}$，得$1=\frac{1}{4}x^{2}$，解得$x=\pm2$，故点$M$，$N$的坐标分别为$(-2,1)$，$(2,1)$，则$MN = 4$。
∵$△ PMN$是等边三角形，
∴点$P$在$y$轴上且$PM = 4$，
∴$PF = 2\sqrt{3}$。
∵$F(0,1)$，
∴点$P$的坐标为$(0,1 + 2\sqrt{3})$或$(0,1 - 2\sqrt{3})$。
∵二次函数的图像顶点在原点，
∴设二次函数的表达式为$y = ax^{2}$，
将$(2,1)$代入，得$1 = 4a$，解得$a=\frac{1}{4}$，
∴二次函数的表达式为$y=\frac{1}{4}x^{2}$。
(2)将$y = 1$代入$y=\frac{1}{4}x^{2}$，得$1=\frac{1}{4}x^{2}$，解得$x=\pm2$，故点$M$，$N$的坐标分别为$(-2,1)$，$(2,1)$，则$MN = 4$。
∵$△ PMN$是等边三角形，
∴点$P$在$y$轴上且$PM = 4$，
∴$PF = 2\sqrt{3}$。
∵$F(0,1)$，
∴点$P$的坐标为$(0,1 + 2\sqrt{3})$或$(0,1 - 2\sqrt{3})$。
