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8.《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门。出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步。正方形小城ABCD的边长是（
A.150步
B.200步
C.250步
D.300步
D
）A.150步
B.200步
C.250步
D.300步
答案
8. D
解析
【分析】
本题是相似三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，设正方形小城的边长为x步，根据E、G是中点，可表示出DE、DG的长度均为$\frac{x}{2}$步；第二步，根据角的关系证明两个直角三角形相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可求出边长。
【解析】
设正方形ABCD的边长为x步。
∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴$DE=DG=\frac{x}{2}$步。
∵EF⊥CD，GH⊥AD，
∴∠FED=∠DGH=90°。
∵∠ADC=90°，
∴∠FDE + ∠HDG=90°，
又
∵在Rt△DGH中，∠H + ∠HDG=90°，
∴∠FDE=∠H，
∴△FED∽△DGH（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{EF}{DG}=\frac{DE}{GH}$
代入EF=30步，GH=750步，$DE=DG=\frac{x}{2}$，得：
$\frac{30}{\frac{x}{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{750}$
交叉相乘得：$(\frac{x}{2})^2=30×750=22500$
∵边长为正数，
∴$\frac{x}{2}=150$，解得x=300。
即正方形小城的边长是300步。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以古代数学经典问题为背景，考查相似三角形的实际应用，解题的核心是通过角的等量关系找到相似三角形，再结合比例式建立方程求解，能较好地考查学生数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
本题是相似三角形在实际问题中的应用，解题思路如下：第一步，设正方形小城的边长为x步，根据E、G是中点，可表示出DE、DG的长度均为$\frac{x}{2}$步；第二步，根据角的关系证明两个直角三角形相似；第三步，利用相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可求出边长。
【解析】
设正方形ABCD的边长为x步。
∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴$DE=DG=\frac{x}{2}$步。
∵EF⊥CD，GH⊥AD，
∴∠FED=∠DGH=90°。
∵∠ADC=90°，
∴∠FDE + ∠HDG=90°，
又
∵在Rt△DGH中，∠H + ∠HDG=90°，
∴∠FDE=∠H，
∴△FED∽△DGH（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{EF}{DG}=\frac{DE}{GH}$
代入EF=30步，GH=750步，$DE=DG=\frac{x}{2}$，得：
$\frac{30}{\frac{x}{2}}=\frac{\frac{x}{2}}{750}$
交叉相乘得：$(\frac{x}{2})^2=30×750=22500$
∵边长为正数，
∴$\frac{x}{2}=150$，解得x=300。
即正方形小城的边长是300步。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以古代数学经典问题为背景，考查相似三角形的实际应用，解题的核心是通过角的等量关系找到相似三角形，再结合比例式建立方程求解，能较好地考查学生数学建模的能力。
【难度系数】
0.7
9.如图,在台球赛中,一球在点A处,要从A射出,经球台边挡板CD反射,击中球B。已知AC=10 cm,BD=15 cm,CD=x cm,EC=y cm,恰好能击中球B,则y关于x的函数关系式为
$y=\dfrac{2}{5}x$
。答案
9. $y=\dfrac{2}{5}x$
解析
【分析】
首先根据光的反射性质可得入射角等于反射角，即∠AEC=∠BED，结合AC、BD均垂直于挡板CD，可得∠C=∠D=90°，由此可判定△ACE与△BDE相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长和变量，整理后即可得到y关于x的函数关系式。
【解析】
解：由光的反射原理可知，∠AEC=∠BED，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠C=∠D=90°，
∴△ACE∽△BDE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{EC}{ED}$。
由题意得：AC=10cm，BD=15cm，EC=y cm，ED=CD-EC=(x-y)cm，
代入比例式得：$\frac{10}{15}=\frac{y}{x-y}$，
化简得：$\frac{2}{3}=\frac{y}{x-y}$，
交叉相乘得：$2(x-y)=3y$，
整理得：$2x=5y$，即$y=\frac{2}{5}x$。
【答案】
$y=\dfrac{2}{5}x$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；光的反射原理
【点评】
本题是相似三角形的实际应用问题，结合了光的反射规律，解题核心是通过角的相等关系证明三角形相似，再利用相似的性质建立比例关系求解函数表达式，考查了学生结合跨学科知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
首先根据光的反射性质可得入射角等于反射角，即∠AEC=∠BED，结合AC、BD均垂直于挡板CD，可得∠C=∠D=90°，由此可判定△ACE与△BDE相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长和变量，整理后即可得到y关于x的函数关系式。
【解析】
解：由光的反射原理可知，∠AEC=∠BED，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠C=∠D=90°，
∴△ACE∽△BDE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{EC}{ED}$。
由题意得：AC=10cm，BD=15cm，EC=y cm，ED=CD-EC=(x-y)cm，
代入比例式得：$\frac{10}{15}=\frac{y}{x-y}$，
化简得：$\frac{2}{3}=\frac{y}{x-y}$，
交叉相乘得：$2(x-y)=3y$，
整理得：$2x=5y$，即$y=\frac{2}{5}x$。
【答案】
$y=\dfrac{2}{5}x$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；光的反射原理
【点评】
本题是相似三角形的实际应用问题，结合了光的反射规律，解题核心是通过角的相等关系证明三角形相似，再利用相似的性质建立比例关系求解函数表达式，考查了学生结合跨学科知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图，学校要为举办文艺汇演搭建舞台及登台的台阶，台阶总高度AB＝60 cm，台阶部分铺红地毯，地毯长度为140 cm，支撑钢梁DE⊥AC，且D为BC的中点，求钢梁DE的长度。
答案
10. 地毯长度为140 cm,支撑钢梁$DE ⊥ AC$,且D为BC的中点,由题意得$AB ⊥ BC, \therefore ∠ ABC=90°$。$\because DE ⊥ AC, \therefore ∠ DEC=90°, \therefore ∠ DEC=∠ ABC=90°$。$\because AB=60\ \mathrm{cm}, AB+BC=140\ \mathrm{cm}, \therefore BC=140-60=80\ \mathrm{cm}, \therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{60^2+80^2}=100\ \mathrm{cm}$。$\because$ 点D为BC的中点,$\therefore CD=\dfrac{1}{2}BC=40\ \mathrm{cm}$。$\because ∠ ACB=∠ DCE, \therefore △ ECD ∽ △ BCA, \therefore \dfrac{CD}{CA}=\dfrac{DE}{BA}, \therefore \dfrac{40}{100}=\dfrac{DE}{60}$,解得$DE=24\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时首先要明确台阶铺地毯的总长度等于台阶所有竖直高度的和加所有水平宽度的和，也就是AB+BC，由此可先求出BC的长度；接着在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AC的长度；再观察△ECD和△BCA，二者有公共角∠C，且都有直角，可判定两三角形相似；最后结合D是BC中点得到CD的长度，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长度。
【解析】
由题意可知$AB⊥BC$，$\therefore ∠ABC=90°$。
$\because DE⊥AC$，$\therefore ∠DEC=90°$，$\therefore ∠DEC=∠ABC=90°$。
已知台阶地毯总长度为140cm，根据台阶地毯长度等于竖直高度和加水平宽度和，可得$AB+BC=140\ \mathrm{cm}$，又$AB=60\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=140-60=80\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{60^2+80^2}=100\ \mathrm{cm}$。
$\because$ D为BC的中点，$\therefore CD=\dfrac{1}{2}BC=40\ \mathrm{cm}$。
又$\because ∠ACB=∠DCE$，$∠DEC=∠ABC=90°$，
$\therefore △ECD ∽ △BCA$，
$\therefore \dfrac{CD}{CA}=\dfrac{DE}{BA}$，
代入数值得$\dfrac{40}{100}=\dfrac{DE}{60}$，
解得$DE=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，平移的性质
【点评】
本题结合生活中台阶铺地毯的实际场景，综合考查了几何知识的应用，解题的关键是理解地毯长度的构成，再通过相似三角形的比例关系求解未知线段，能够很好地考查学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确台阶铺地毯的总长度等于台阶所有竖直高度的和加所有水平宽度的和，也就是AB+BC，由此可先求出BC的长度；接着在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AC的长度；再观察△ECD和△BCA，二者有公共角∠C，且都有直角，可判定两三角形相似；最后结合D是BC中点得到CD的长度，利用相似三角形对应边成比例即可求出DE的长度。
【解析】
由题意可知$AB⊥BC$，$\therefore ∠ABC=90°$。
$\because DE⊥AC$，$\therefore ∠DEC=90°$，$\therefore ∠DEC=∠ABC=90°$。
已知台阶地毯总长度为140cm，根据台阶地毯长度等于竖直高度和加水平宽度和，可得$AB+BC=140\ \mathrm{cm}$，又$AB=60\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=140-60=80\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{60^2+80^2}=100\ \mathrm{cm}$。
$\because$ D为BC的中点，$\therefore CD=\dfrac{1}{2}BC=40\ \mathrm{cm}$。
又$\because ∠ACB=∠DCE$，$∠DEC=∠ABC=90°$，
$\therefore △ECD ∽ △BCA$，
$\therefore \dfrac{CD}{CA}=\dfrac{DE}{BA}$，
代入数值得$\dfrac{40}{100}=\dfrac{DE}{60}$，
解得$DE=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，平移的性质
【点评】
本题结合生活中台阶铺地毯的实际场景，综合考查了几何知识的应用，解题的关键是理解地毯长度的构成，再通过相似三角形的比例关系求解未知线段，能够很好地考查学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.7
