1.已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（）

A.π
B.3π
C.5π
D.15π

1.D

【分析】
要解决这道题，首先需要回忆扇形面积的计算公式，题目明确给出了扇形的圆心角度数和半径，因此选择用圆心角和半径表示的扇形面积公式$S=\frac{nπ R^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径），再将已知条件代入公式准确计算，即可得出结果匹配对应选项。
【解析】
解：已知扇形半径$R=6$，圆心角$n=150°$，根据扇形面积公式：
$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$
将数值代入公式计算：
$S=\frac{150×π×6^2}{360}=\frac{150×π×36}{360}=15π$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
扇形面积的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查扇形面积公式的直接应用，解题时只要准确记忆公式，代入数值计算时注意约分，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

2.某扇形的面积为$12π \ \mathrm{cm}^2$，圆心角为$120°$，则该扇形的半径是 （）

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

2.D

【分析】
本题已知扇形的面积和圆心角，要求扇形半径，解题的核心是利用含圆心角的扇形面积公式建立方程求解。首先回忆扇形面积公式：圆心角为n°，半径为r的扇形面积$S=\frac{nπ r^2}{360}$，将已知的面积、圆心角代入公式，得到关于半径r的方程，求解后结合半径为正数的实际意义取舍即可得到结果。
【解析】
设该扇形的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（其中$n$为圆心角度数），将$S=12π$，$n=120$代入公式得：
$12π=\frac{120π r^2}{360}$
化简等式右侧得：$\frac{120π r^2}{360}=\frac{π r^2}{3}$，因此方程可化为：
$12π=\frac{π r^2}{3}$
两边同时除以$π$得：$12=\frac{r^2}{3}$，解得$r^2=36$。
因为半径为正数，所以$r=6$（负值舍去），即该扇形的半径为6cm。
【答案】
D
【知识点】
1.扇形面积公式
2.一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，主要考查扇形面积公式的直接应用，解题的关键是熟记扇形面积公式，代入数值计算时注意约分简化运算，同时要注意半径为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.8

3.一个扇形的弧长是10π cm，其圆心角是150°，此扇形的面积为 （）

A.30π cm²
B.60π cm²
C.120π cm²
D.180π cm²

3.B

【分析】
要计算扇形面积，已知扇形的弧长和圆心角，可按两步求解：第一步，利用弧长公式求出扇形的半径；第二步，将求出的半径和已知弧长代入扇形面积公式计算结果即可，计算时角度直接代入角度制公式即可，无需额外转换。
【解析】
首先根据弧长公式 $ l = \frac{nπ r}{180} $ 求半径 $ r $：
已知 $ l=10π \, \mathrm{cm} $，$ n=150° $，代入公式得：
$ 10π = \frac{150π r}{180} $
两边同时消去$ π $，化简得：$ 10 = \frac{5r}{6} $
解得：$ r = 12 \, \mathrm{cm} $
再根据扇形面积公式 $ S_{\mathrm{扇形}} = \frac{1}{2}lr $ 计算面积：
代入 $ l=10π \, \mathrm{cm} $，$ r=12 \, \mathrm{cm} $ 得：
$ S_{\mathrm{扇形}} = \frac{1}{2} × 10π × 12 = 60π \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
B
【知识点】
弧长公式应用、扇形面积计算
【点评】
本题是扇形相关公式的基础应用题，解题核心是熟练掌握弧长和扇形面积的计算公式，按逻辑分步计算即可，计算时注意约分能提升正确率。
【难度系数】
0.8

4.如图,在等腰直角△AOB中,点E在OA上,以点O为圆心、OE长为半径作圆弧交OB于点F,连结EF,已知阴影部分面积为π-2,则EF的长度为 ()

A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$2\sqrt{2}$
D.$3\sqrt{2}$

(第4题图)
(第5题图)

4.C

【分析】
要解决本题，首先明确阴影部分的面积构成：阴影面积等于圆心角为90°的扇形OEF的面积减去等腰直角△OEF的面积。我们先设扇形半径OE=OF=r，分别用含r的式子表示扇形面积和三角形面积，结合已知阴影面积列方程求出r，再根据勾股定理或等腰直角三角形三边关系求出EF的长度即可。
【解析】
设OE=OF=r，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠O=90°，
∴扇形OEF的面积：$S_{扇形OEF}=\frac{90°}{360°}×π r^2=\frac{1}{4}π r^2$，
等腰直角△OEF的面积：$S_{△ OEF}=\frac{1}{2}× OE× OF=\frac{1}{2}r^2$，
由题意可得：$S_{阴影}=S_{扇形OEF}-S_{△ OEF}=π-2$，
代入得：$\frac{1}{4}π r^2-\frac{1}{2}r^2=π-2$，
方程两边同乘4得：$π r^2-2r^2=4π-8$，
整理得：$r^2(π-2)=4(π-2)$，
∵$π-2≠0$，
∴$r^2=4$，解得$r=2$（边长为正，舍去负根），
在Rt△OEF中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{OE^2+OF^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
扇形面积计算，等腰直角三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题，解题核心是将阴影面积转化为规则图形的面积差，再通过列方程求解未知量，很好地考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7

5.如图，将$\odot O$沿弦$AB$折叠，$\overset{\frown}{AB}$恰经过圆心$O$.若$AB=2\sqrt{3}$，则阴影部分的面积为.

5.$\frac{2}{3}π$

【分析】
解题时先利用折叠的性质得到圆心到弦AB的距离与半径的关系，再结合垂径定理求出AB的一半长度，通过勾股定理计算出圆的半径，接着求出圆心角∠AOB的度数，最后利用割补法将不规则的阴影部分面积转化为规则图形的面积计算即可。具体步骤：第一步作辅助线OC⊥AB于C，根据折叠性质得OC=½r；第二步用垂径定理得AC=½AB=√3；第三步用勾股定理列方程求半径r；第四步求∠AOB的度数；第五步通过割补发现阴影部分面积可转化为对应扇形面积减去重叠部分，最终求得结果。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，
1. 由折叠的性质可知，折叠后$\overset{\frown}{AB}$过圆心O，因此OC=$\frac{1}{2}$OA。
2. 根据垂径定理，OC⊥AB，所以AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
3. 设⊙O的半径为r，则OA=r，OC=$\frac{1}{2}$r，在Rt△AOC中，由勾股定理得：
$OA^2=OC^2+AC^2$，即$r^2=(\frac{1}{2}r)^2+(\sqrt{3})^2$，
整理得$\frac{3}{4}r^2=3$，解得$r=2$（半径为正，舍去负解）。
4. 在Rt△AOC中，$\cos∠AOC=\frac{OC}{OA}=\frac{\frac{1}{2}r}{r}=\frac{1}{2}$，因此∠AOC=60°，则∠AOB=2∠AOC=120°。
5. 由折叠的性质可知，阴影部分中弧AO、弧BO对应的小弓形与AB下方空白处的弓形全等，通过割补可得阴影部分的面积等于圆心角为60°的扇形面积的2倍：
$S_{阴影}=2×\frac{60π×2^2}{360}=2×\frac{2π}{3}×\frac{1}{2}=\frac{2π}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}π$
【知识点】
垂径定理；扇形面积计算；折叠的性质
【点评】
本题主要考查折叠的性质、垂径定理和扇形面积的计算，解题关键是作辅助线构造直角三角形求出半径和圆心角，利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积计算，是圆的性质和面积计算的综合典型题。
【难度系数】
0.6

6.如图,已知AB是$\odot O$的直径,C,D是$\odot O$上的点,$OC// BD$,交AD于点E,连结BC.
(1)求证:$AE=ED$.
(2)若$AB=6$,$∠ ABC=30°$,求图中阴影部分的面积.

6.(1)证明:$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,
$\because OC// BD,\therefore OC⊥ AD,\therefore AE=ED$.
(2)解:连结$CD,OD$,$\because OC⊥ AD$,$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore ∠ COD=∠ AOC=60°$,$\therefore ∠ AOD=120°$,
$\because AB=6$,$\therefore BD=3$,$AD=3\sqrt{3}$,$OE=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}$,
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOD}-S_{△ AOD}=\frac{120· π× 3^2}{360}-\frac{1}{2}× 3\sqrt{3}× \frac{3}{2}=3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$.

【分析】
(1) 要证$AE=ED$，可结合垂径定理推导：首先根据直径所对圆周角为直角得到$BD⊥ AD$，再由$OC// BD$推出$OC⊥ AD$，最后根据垂径定理即可得到$AE=ED$。
(2) 阴影部分是不规则图形，采用割补法转化为规则图形面积差求解：连接$OD$后，可证阴影面积等于扇形$AOD$的面积减去$△ AOD$的面积。先由$∠ ABC=30°$推出$∠ AOC=60°$，结合(1)的结论得弧$AC=$弧$CD$，因此$∠ AOD=120°$；再根据直径长得到半径，分别计算扇形和三角形面积，作差即可得结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ ADB=90°$，即$BD⊥ AD$，
$\because OC// BD$，
$\therefore OC⊥ AD$，
由垂径定理可得：$AE=ED$。
(2) 解：连接$CD$、$OD$，
$\because OC⊥ AD$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore ∠ COD=∠ AOC$，
$\because OC=OB$，$\therefore ∠ OCB=∠ ABC=30°$，
$\therefore ∠ AOC=∠ OCB+∠ ABC=60°$，
$\therefore ∠ COD=60°$，$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=120°$，
$\because AB=6$，$\therefore \odot O$的半径为$3$，
在$Rt△ ADB$中，$BD=AB·\cos60°=3$，$AD=AB·\sin60°=3\sqrt{3}$，
$\because O$是$AB$中点，$OE// BD$，$\therefore OE$是$△ ABD$的中位线，
$\therefore OE=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{扇形}AOD}-S_{△ AOD}$
$=\frac{120· π× 3^2}{360}-\frac{1}{2}× 3\sqrt{3}× \frac{3}{2}$
$=3π-\frac{9\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
(1) 已证$AE=ED$；
(2) $\boldsymbol{3π-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和不规则图形面积的计算，第一问侧重基础性质的直接应用，第二问核心是利用割补法将不规则阴影转化为规则图形的面积差，是圆相关计算的典型题型，需要熟练掌握圆心角与圆周角的关系、扇形面积公式。
【难度系数】
0.65