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7.如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，E，F分别为BC，AD的中点。以C为圆心、2为半径作圆弧$\overset{\frown}{BD}$，再分别以E，F为圆心、1为半径作圆弧$\overset{\frown}{BO}$，$\overset{\frown}{OD}$，则图中阴影部分的面积为（
A.$π -1$
B.$π -2$
C.$π -3$
D.$4 - π$
B
）A.$π -1$
B.$π -2$
C.$π -3$
D.$4 - π$
答案
7.B
解析
【分析】
本题属于不规则阴影面积计算问题，核心解题思路是用割补法将不规则面积转化为规则图形的面积差。首先观察阴影部分位于以C为圆心、边长2为半径的四分之一扇形CBD内部，再分析扇形内的空白区域：通过割补可发现，扇形内的空白部分可拼接为等腰直角△BCD，因此只需计算扇形CBD的面积减去△BCD的面积即可得到阴影面积。
【解析】
1. 计算扇形CBD的面积：
正方形边长为2，扇形CBD的圆心角为90°，半径$r=2$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），代入得：
$S_{扇形CBD}=\frac{90× π × 2^2}{360}=π$
2. 计算空白部分拼接后的△BCD的面积：
△BCD是等腰直角三角形，直角边长等于正方形边长2，因此面积为：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× 2 × 2=2$
3. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形CBD}-S_{△ BCD}=π - 2$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，正方形性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常考题型，解题关键是灵活运用割补法转化图形，将未知的不规则面积转化为已知的规则图形面积进行计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
本题属于不规则阴影面积计算问题，核心解题思路是用割补法将不规则面积转化为规则图形的面积差。首先观察阴影部分位于以C为圆心、边长2为半径的四分之一扇形CBD内部，再分析扇形内的空白区域：通过割补可发现，扇形内的空白部分可拼接为等腰直角△BCD，因此只需计算扇形CBD的面积减去△BCD的面积即可得到阴影面积。
【解析】
1. 计算扇形CBD的面积：
正方形边长为2，扇形CBD的圆心角为90°，半径$r=2$，根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{nπ r^2}{360}$（$n$为圆心角度数），代入得：
$S_{扇形CBD}=\frac{90× π × 2^2}{360}=π$
2. 计算空白部分拼接后的△BCD的面积：
△BCD是等腰直角三角形，直角边长等于正方形边长2，因此面积为：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× 2 × 2=2$
3. 计算阴影面积：
$S_{阴影}=S_{扇形CBD}-S_{△ BCD}=π - 2$
【答案】
B
【知识点】
扇形面积计算，割补法求面积，正方形性质
【点评】
本题是不规则图形面积计算的常考题型，解题关键是灵活运用割补法转化图形，将未知的不规则面积转化为已知的规则图形面积进行计算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
8.如图所示,将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$\mathrm{Rt}△ AB_1C_1$,阴影部分为线段$BC$扫过的区域.已知$AB=4$,$BC=3$,求阴影部分面积.
答案
8.解:$\because AB=4$,$BC=3$,由勾股定理,得$AC=5$.
$\because$ 将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$\mathrm{Rt}△ AB_1C_1$,$\therefore △ ABC$的面积等于$△ AB_1C_1$的面积,
$∠ CAB=∠ C_1AB_1$,$AC_1=AC=5$,
$AB_1=AB=4$,$\therefore ∠ C_1AC=∠ B_1AB=90°$,
$\therefore$ 阴影部分的面积是 $S=S_{\mathrm{扇形}AC_1C}+S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}B_1AB}-S_{△ AC_1B_1}=\frac{90π× 5^2}{360}+\frac{1}{2}× 4× 3-\frac{90π× 4^2}{360}-\frac{1}{2}× 4× 3=\frac{9π}{4}$.
$\because$ 将$\mathrm{Rt}△ ABC$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$\mathrm{Rt}△ AB_1C_1$,$\therefore △ ABC$的面积等于$△ AB_1C_1$的面积,
$∠ CAB=∠ C_1AB_1$,$AC_1=AC=5$,
$AB_1=AB=4$,$\therefore ∠ C_1AC=∠ B_1AB=90°$,
$\therefore$ 阴影部分的面积是 $S=S_{\mathrm{扇形}AC_1C}+S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}B_1AB}-S_{△ AC_1B_1}=\frac{90π× 5^2}{360}+\frac{1}{2}× 4× 3-\frac{90π× 4^2}{360}-\frac{1}{2}× 4× 3=\frac{9π}{4}$.
解析
【分析】
这道题是求旋转后阴影部分的不规则面积，解题思路如下：①阴影部分是线段BC扫过的区域，无法直接计算，考虑用割补法转化为规则图形面积的和差；②结合旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等、旋转角相等，可知△ABC和△AB₁C₁面积相等，旋转角∠C₁AC=∠B₁AB=90°；③先利用勾股定理求出AC的长度，再将阴影面积表示为“扇形ACC₁的面积+△ABC的面积 - 扇形ABB₁的面积 - △AB₁C₁的面积”，两个三角形面积抵消后，只需要计算两个扇形的面积差即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△AB₁C₁
∴$S_{△ABC}=S_{△AB_1C_1}$，∠CAB=∠C₁AB₁，AC₁=AC=5，AB₁=AB=4，∠C₁AC=∠B₁AB=90°
∴阴影部分的面积：
$\begin{aligned}S&=S_{\mathrm{扇形}AC_1C}+S_{△ABC}-S_{\mathrm{扇形}B_1AB}-S_{△AC_1B_1}\\&=\frac{90π×5^2}{360}+\frac{1}{2}×4×3-\frac{90π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×4×3\\&=\frac{25π}{4}-\frac{16π}{4}\\&=\frac{9π}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{9π}{4}}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，扇形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题的关键是利用旋转的性质将阴影部分的面积转化为两个同圆心角的扇形面积之差，巧妙避开了直接计算不规则图形面积的难点，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
这道题是求旋转后阴影部分的不规则面积，解题思路如下：①阴影部分是线段BC扫过的区域，无法直接计算，考虑用割补法转化为规则图形面积的和差；②结合旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等、旋转角相等，可知△ABC和△AB₁C₁面积相等，旋转角∠C₁AC=∠B₁AB=90°；③先利用勾股定理求出AC的长度，再将阴影面积表示为“扇形ACC₁的面积+△ABC的面积 - 扇形ABB₁的面积 - △AB₁C₁的面积”，两个三角形面积抵消后，只需要计算两个扇形的面积差即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到Rt△AB₁C₁
∴$S_{△ABC}=S_{△AB_1C_1}$，∠CAB=∠C₁AB₁，AC₁=AC=5，AB₁=AB=4，∠C₁AC=∠B₁AB=90°
∴阴影部分的面积：
$\begin{aligned}S&=S_{\mathrm{扇形}AC_1C}+S_{△ABC}-S_{\mathrm{扇形}B_1AB}-S_{△AC_1B_1}\\&=\frac{90π×5^2}{360}+\frac{1}{2}×4×3-\frac{90π×4^2}{360}-\frac{1}{2}×4×3\\&=\frac{25π}{4}-\frac{16π}{4}\\&=\frac{9π}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{\dfrac{9π}{4}}$
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，扇形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，解题的关键是利用旋转的性质将阴影部分的面积转化为两个同圆心角的扇形面积之差，巧妙避开了直接计算不规则图形面积的难点，体现了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
9.如图1,已知四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,AD=DB,AC与BD交于点E,且AE=BC.
(1)求证:AB=CB.
(2)如图2,△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC,点A经过的路径为弧AF.若AC=4,求图中阴影部分的面积.
(1)求证:AB=CB.
(2)如图2,△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC,点A经过的路径为弧AF.若AC=4,求图中阴影部分的面积.
答案
9.(1)证明:$\because AD=BD$,$∠ DAE=∠ DBC$,
$AE=BC$,$\therefore △ ADE≌ △ BDC(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ADE=∠ BDC$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.$\therefore AB=BC$.
(2)解:$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{扇形}CAF}+S_{△ CFG}-S_{△ ABC}=S_{\mathrm{扇形}CAF}=\frac{35· π· 4^2}{360}=\frac{14π}{9}$.
$AE=BC$,$\therefore △ ADE≌ △ BDC(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ADE=∠ BDC$,$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$.$\therefore AB=BC$.
(2)解:$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{扇形}CAF}+S_{△ CFG}-S_{△ ABC}=S_{\mathrm{扇形}CAF}=\frac{35· π· 4^2}{360}=\frac{14π}{9}$.
解析
【分析】
（1）要证明AB=CB，可转化为证明同圆中AB、CB对应的弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。已知AD=DB、AE=BC，再结合同弧所对的圆周角相等可得∠DAE=∠DBC，可先证△ADE和△BDC全等，得到两角对应相等推出对应弧相等，即可得到弦相等的结论。
（2）求阴影部分面积时，根据旋转的性质可知旋转前后△CFG和△ABC的面积相等，因此可通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则扇形CAF的面积，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
$\because AD=BD$，同弧$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠DAE=∠DBC$，
又$\because AE=BC$，
$\therefore △ADE≌△BDC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ADE=∠BDC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AB=CB$。
（2）解：
$\because △ABC$绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，
$\therefore △CFG≌△ABC$，即$S_{△CFG}=S_{△ABC}$，旋转角$∠ACF=35°$，
由图形面积关系可得：
$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{扇形}CAF}+S_{△CFG}-S_{△ABC}=S_{\mathrm{扇形}CAF}$，
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入$n=35$，$r=AC=4$得：
$S_{\mathrm{阴}}=\frac{35· π· 4^2}{360}=\frac{14π}{9}$。
【答案】
（1）AB=CB得证；
（2）$\frac{14π}{9}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，旋转的性质，扇形面积计算
【点评】
本题综合了圆的基本性质、全等证明、图形旋转和不规则面积计算的考点，第一问需结合圆周角性质找全等条件，第二问利用割补法转化面积是解题核心，属于几何综合类常规题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AB=CB，可转化为证明同圆中AB、CB对应的弧$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$。已知AD=DB、AE=BC，再结合同弧所对的圆周角相等可得∠DAE=∠DBC，可先证△ADE和△BDC全等，得到两角对应相等推出对应弧相等，即可得到弦相等的结论。
（2）求阴影部分面积时，根据旋转的性质可知旋转前后△CFG和△ABC的面积相等，因此可通过割补法将不规则的阴影面积转化为规则扇形CAF的面积，代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
（1）证明：
$\because AD=BD$，同弧$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角相等，
$\therefore ∠DAE=∠DBC$，
又$\because AE=BC$，
$\therefore △ADE≌△BDC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ADE=∠BDC$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AB=CB$。
（2）解：
$\because △ABC$绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，
$\therefore △CFG≌△ABC$，即$S_{△CFG}=S_{△ABC}$，旋转角$∠ACF=35°$，
由图形面积关系可得：
$S_{\mathrm{阴}}=S_{\mathrm{扇形}CAF}+S_{△CFG}-S_{△ABC}=S_{\mathrm{扇形}CAF}$，
根据扇形面积公式$S_{\mathrm{扇形}}=\frac{nπ r^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入$n=35$，$r=AC=4$得：
$S_{\mathrm{阴}}=\frac{35· π· 4^2}{360}=\frac{14π}{9}$。
【答案】
（1）AB=CB得证；
（2）$\frac{14π}{9}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，旋转的性质，扇形面积计算
【点评】
本题综合了圆的基本性质、全等证明、图形旋转和不规则面积计算的考点，第一问需结合圆周角性质找全等条件，第二问利用割补法转化面积是解题核心，属于几何综合类常规题型。
【难度系数】
0.7
