8.如图所示,在平面直角坐标系中,多边形ABCDEFGH是正八边形,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,2).求点E的坐标.

8.解:延长 ED 交 y 轴于点 K,连结 OE,
∵点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(0,2),
$\therefore AB=\sqrt {OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt {2^{2}+2^{2}}=2\sqrt {2},$
$\therefore OK=2OB+BC=2×2+2\sqrt {2}=4+2\sqrt {2},$
$EK=KD+DE=2+2\sqrt {2},$
∴E 点坐标为$(2+2\sqrt {2},4+2\sqrt {2}).$

【分析】
要求点E的坐标，需先明确其横、纵坐标的实际含义，即点E到y轴、x轴的距离。解题思路如下：第一步，根据已知的A、B两点坐标，用勾股定理计算出正八边形的边长AB；第二步，作辅助线延长ED交y轴于点K，利用正八边形对边平行的性质，可得DE平行于x轴，因此EK的长度就是点E的横坐标，OK的长度就是点E的纵坐标；第三步，结合正八边形各边相等的性质，分别计算EK和OK的长度，即可得到E点坐标。
【解析】
延长ED交y轴于点K。
∵点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,2)，
∴OA=2，OB=2，
在Rt△OAB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt {OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt {2^{2}+2^{2}}=2\sqrt {2}$，即正八边形的边长为$2\sqrt{2}$。
∵多边形ABCDEFGH是正八边形，
∴各边长度相等，对边平行，因此BC=DE=AB=$2\sqrt{2}$，且DE//x轴，即EK⊥y轴。
结合图形特征可得KD=OA=2，
∴$EK=KD+DE=2+2\sqrt {2}$，
同理可得OK的长度为两段竖直偏移量加BC的长度：
$OK=OB+OA+BC=2+2+2\sqrt {2}=4+2\sqrt {2}$，
∵点E在第一象限，横坐标等于EK的长度，纵坐标等于OK的长度，
∴E点坐标为$(2+2\sqrt {2},4+2\sqrt {2})$。
【答案】
$(2+2\sqrt {2},4+2\sqrt {2})$
【知识点】
正多边形的性质，勾股定理，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题将正多边形的性质和平面直角坐标系结合考查，解题的关键是通过作辅助线将点的坐标转化为线段长度的计算，同时利用正多边形边相等、对边平行的性质简化计算过程，能较好地考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6

9.如图1，正五边形ABCDE内接于$\odot O$，阅读以下作图过程，并回答下列问题.作法:如图2，①作直径AF；②以F为圆心、FO长为半径作圆弧，与$\odot O$交于点M，N；③连结AM，MN，NA.
(1)求$∠ ABC$的度数.
(2)$△ AMN$是正三角形吗？请说明理由.
(3)从点A开始，以DN长为半径，在$\odot O$上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正$n$边形，求$n$的值.

9.(1)解:$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{AE},$
$\therefore ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=\frac {360^{\circ }}{5}=72^{\circ },$
$\because \overset{\frown}{AEC}=3\overset{\frown}{AE},\therefore ∠AOC$(优弧所对圆心角)$=3×72^{\circ }=216^{\circ },$
$\therefore ∠ABC=\frac {1}{2}∠AOC=\frac {1}{2}×216^{\circ }=108^{\circ }.$


(2)解:$△AMN$ 是正三角形,理由如下:
连结 ON,FN,由作图知:$FN=FO$,
$\because ON=OF,\therefore ON=OF=FN,$
$\therefore △OFN$ 是正三角形,$\therefore ∠OFN=60^{\circ },$
$\therefore ∠AMN=∠OFN=60^{\circ }$,同理$∠ANM=60^{\circ },$
$\therefore ∠MAN=60^{\circ }$,即$∠AMN=∠ANM=∠MAN,$
$\therefore △AMN$ 是正三角形.
(3)$\because ∠AON=2∠AMN=120^{\circ }.\because \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AE},$
$\therefore ∠AOD=2×72^{\circ }=144^{\circ },\because \overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AN},$
$\therefore ∠NOD=144^{\circ }-120^{\circ }=24^{\circ },\therefore n=\frac {360}{24}=15.$

【分析】
(1)求正五边形内角$∠ ABC$，可利用正五边形各边相等对应各段弧相等的性质，先求出每段弧对应的圆心角，再找到$∠ ABC$所对优弧的圆心角，根据圆周角定理即可计算角度；也可直接用正多边形内角和公式求解。
(2)判断$△ AMN$是否为正三角形，只需证明三个内角均为$60°$即可。结合作图条件可得$FN=FO=ON$，即$△ OFN$是等边三角形，得到$60°$角后，再通过圆周角定理推导$△ AMN$的三个内角均为$60°$即可。
(3)求正$n$边形的$n$值，正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此只需先求出$\overset{\frown}{DN}$对应的圆心角$∠ DON$的度数，再用$360°$除以该角度即可得到$n$的值，可先求$∠ AOD$再减去$∠ AON$得到$∠ DON$。
【解析】
(1)解：$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{AE},$
$\therefore ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA=\frac {360^{\circ }}{5}=72^{\circ },$
$\because \overset{\frown}{AEC}=3\overset{\frown}{AE},\therefore ∠AOC$(优弧所对圆心角)$=3×72^{\circ }=216^{\circ },$
$\therefore ∠ABC=\frac {1}{2}∠AOC=\frac {1}{2}×216^{\circ }=108^{\circ }.$


(2)解:$△ AMN$ 是正三角形,理由如下:
连结 ON,FN,由作图知:$FN=FO$,
$\because ON=OF,\therefore ON=OF=FN,$
$\therefore △OFN$ 是正三角形,$\therefore ∠OFN=60^{\circ },$
$\therefore ∠AMN=∠OFN=60^{\circ }$,同理$∠ANM=60^{\circ },$
$\therefore ∠MAN=60^{\circ }$,即$∠AMN=∠ANM=∠MAN,$
$\therefore △AMN$ 是正三角形.
(3)$\because ∠AON=2∠AMN=120^{\circ }.\because \overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AE},$
$\therefore ∠AOD=2×72^{\circ }=144^{\circ },\because \overset{\frown}{DN}=\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{AN},$
$\therefore ∠NOD=144^{\circ }-120^{\circ }=24^{\circ },\therefore n=\frac {360}{24}=15.$
【答案】
(1)$∠ ABC=108°$
(2)$△ AMN$是正三角形，理由见解析
(3)$n=15$
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形判定
【点评】
本题综合考查了正多边形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握同圆中弧、圆心角、圆周角的对应关系，结合作图条件推导角度关系，属于圆的常规综合题型。
【难度系数】
0.6