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1.如果一个正多边形的一个内角为135°，那么这个正多边形为 （
A.正八边形
B.正九边形
C.正七边形
D.正十边形
A
）A.正八边形
B.正九边形
C.正七边形
D.正十边形
答案
1.A
解析
【分析】
本题已知正多边形的一个内角度数，要求正多边形的边数，可从两个方向思考：①正多边形的内角与相邻外角互补，且任意多边形外角和恒为360°，先求外角度数，再用外角和求边数，这种方法更简便；②利用多边形内角和公式列方程求解。
【解析】
方法一（利用外角和求解）：
∵正多边形的每个内角与相邻外角互补，
∴该正多边形的一个外角度数为：$180° - 135° = 45°$，
∵任意多边形的外角和均为$360°$，且正多边形各外角相等，
∴边数 $n = 360° ÷ 45° = 8$，即该多边形为正八边形。
方法二（利用内角和公式求解）：
设该正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2) × 180° = 135° × n$
展开得：$180n - 360 = 135n$
移项合并同类项得：$45n = 360$
解得：$n = 8$，即该多边形为正八边形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质；多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题是正多边形相关计算的基础常考题，利用外角和恒为360°的性质解题可简化计算过程，熟练掌握内角、外角的相关性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
本题已知正多边形的一个内角度数，要求正多边形的边数，可从两个方向思考：①正多边形的内角与相邻外角互补，且任意多边形外角和恒为360°，先求外角度数，再用外角和求边数，这种方法更简便；②利用多边形内角和公式列方程求解。
【解析】
方法一（利用外角和求解）：
∵正多边形的每个内角与相邻外角互补，
∴该正多边形的一个外角度数为：$180° - 135° = 45°$，
∵任意多边形的外角和均为$360°$，且正多边形各外角相等，
∴边数 $n = 360° ÷ 45° = 8$，即该多边形为正八边形。
方法二（利用内角和公式求解）：
设该正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2) × 180° = 135° × n$
展开得：$180n - 360 = 135n$
移项合并同类项得：$45n = 360$
解得：$n = 8$，即该多边形为正八边形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质；多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题是正多边形相关计算的基础常考题，利用外角和恒为360°的性质解题可简化计算过程，熟练掌握内角、外角的相关性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知正五边形ABCDE内接于$\odot O$,连结BD,则$∠ ABD$的度数是 (
A.$60°$
B.$70°$
C.$72°$
D.$144°$
(第2题图)
(第3题图)
(第4题图)
C
)A.$60°$
B.$70°$
C.$72°$
D.$144°$
(第2题图)
(第3题图)
(第4题图)
答案
2.C
解析
【分析】
要求∠ABD的度数，可分三步思考：第一步，先利用正多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数；第二步，根据正五边形边长相等，得到△BCD是等腰三角形，算出∠CBD的度数；第三步，用∠ABC的度数减去∠CBD的度数，即可得到∠ABD的度数。也可以结合正五边形的弧长相等，利用圆周角定理直接计算。
【解析】
正五边形的内角和为：$(5-2)×180°=540°$
因此正五边形每个内角的度数为：$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$。
∵正五边形各边相等，
∴$BC=CD$，△BCD为等腰三角形。
在△BCD中，$∠ CBD=\frac{180°-∠ BCD}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$
∴$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算、等腰三角形性质
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握正多边形内角和公式，结合等腰三角形的角度计算即可求解，也可通过圆周角定理快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要求∠ABD的度数，可分三步思考：第一步，先利用正多边形内角和公式算出正五边形每个内角的度数；第二步，根据正五边形边长相等，得到△BCD是等腰三角形，算出∠CBD的度数；第三步，用∠ABC的度数减去∠CBD的度数，即可得到∠ABD的度数。也可以结合正五边形的弧长相等，利用圆周角定理直接计算。
【解析】
正五边形的内角和为：$(5-2)×180°=540°$
因此正五边形每个内角的度数为：$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=∠ BCD=108°$。
∵正五边形各边相等，
∴$BC=CD$，△BCD为等腰三角形。
在△BCD中，$∠ CBD=\frac{180°-∠ BCD}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$
∴$∠ ABD=∠ ABC-∠ CBD=108°-36°=72°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算、等腰三角形性质
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握正多边形内角和公式，结合等腰三角形的角度计算即可求解，也可通过圆周角定理快速得到结果。
【难度系数】
0.8
3.如图,在正五边形ABCDE中,连结AC,以点A为圆心、AB长为半径画圆弧交AC于点F,连结DF,则∠FDC的度数是 （
A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$40°$
C
）A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$40°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路分四步开展：1. 利用正多边形内角和公式计算正五边形的每个内角度数；2. 在等腰△ABC中求出∠BAC的度数，进而得到∠EAC的度数；3. 结合正五边形边长相等、AF=AB的条件，推导得ED=AF，再通过∠AED+∠EAC=180°证明ED//AF，判定四边形AEDF是平行四边形，得到∠EDF的度数；4. 用正五边形内角∠EDC减去∠EDF，即可求出∠FDC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)× 180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ EAB=∠ AED=∠ EDC=108°$。
2. 求$∠ EAC$的度数：
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，因此$∠ BAC=∠ BCA=(180°-108°)÷2=36°$，可得$∠ EAC=∠ EAB-∠ BAC=108°-36°=72°$。
3. 判定四边形AEDF的形状：
正五边形边长相等，故$AE=AB=ED$，又由题意$AF=AB$，因此$ED=AF$。
$\because ∠ AED+∠ EAC=108°+72°=180°$，$\therefore ED// AF$，结合$ED=AF$，可知四边形AEDF是平行四边形。
4. 计算$∠ FDC$的度数：
平行四边形中$∠ EDF=180°-∠ AED=180°-108°=72°$，因此$∠ FDC=∠ EDC-∠ EDF=108°-72°=36°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是正多边形与特殊三角形、平行四边形的综合应用题，解题核心是熟练运用正五边形边长相等、内角度数固定的性质，通过角度和边长的推导构造平行四边形，进而求解未知角度。
【难度系数】
0.6
解题思路分四步开展：1. 利用正多边形内角和公式计算正五边形的每个内角度数；2. 在等腰△ABC中求出∠BAC的度数，进而得到∠EAC的度数；3. 结合正五边形边长相等、AF=AB的条件，推导得ED=AF，再通过∠AED+∠EAC=180°证明ED//AF，判定四边形AEDF是平行四边形，得到∠EDF的度数；4. 用正五边形内角∠EDC减去∠EDF，即可求出∠FDC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)× 180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ EAB=∠ AED=∠ EDC=108°$。
2. 求$∠ EAC$的度数：
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=108°$，因此$∠ BAC=∠ BCA=(180°-108°)÷2=36°$，可得$∠ EAC=∠ EAB-∠ BAC=108°-36°=72°$。
3. 判定四边形AEDF的形状：
正五边形边长相等，故$AE=AB=ED$，又由题意$AF=AB$，因此$ED=AF$。
$\because ∠ AED+∠ EAC=108°+72°=180°$，$\therefore ED// AF$，结合$ED=AF$，可知四边形AEDF是平行四边形。
4. 计算$∠ FDC$的度数：
平行四边形中$∠ EDF=180°-∠ AED=180°-108°=72°$，因此$∠ FDC=∠ EDC-∠ EDF=108°-72°=36°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是正多边形与特殊三角形、平行四边形的综合应用题，解题核心是熟练运用正五边形边长相等、内角度数固定的性质，通过角度和边长的推导构造平行四边形，进而求解未知角度。
【难度系数】
0.6
4.如图,在正六边形ABCDEF中,连结AC,CF,则∠ACF=
30
度.答案
4.30
解析
【分析】
解题时首先回忆正六边形的基本性质：正六边形各边相等、各内角相等，先通过内角和公式计算正六边形的内角度数；再利用等腰三角形的性质求出∠BAC的度数；最后结合正六边形对边平行的特点，利用平行线内错角相等的性质即可求出∠ACF的度数。
【解析】
解：
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且$AB=BC$，$AF// BC$、$AF=BC$，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴$AB// CF$，
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=120°$，
∴$∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵$AB// CF$，
∴$∠ ACF=∠ BAC=30°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
30
【知识点】
正多边形的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握正六边形的内角、边长及对边平行的性质，结合等腰三角形、平行线的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正六边形的基本性质：正六边形各边相等、各内角相等，先通过内角和公式计算正六边形的内角度数；再利用等腰三角形的性质求出∠BAC的度数；最后结合正六边形对边平行的特点，利用平行线内错角相等的性质即可求出∠ACF的度数。
【解析】
解：
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，且$AB=BC$，$AF// BC$、$AF=BC$，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴$AB// CF$，
在$△ ABC$中，$AB=BC$，$∠ ABC=120°$，
∴$∠ BAC=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵$AB// CF$，
∴$∠ ACF=∠ BAC=30°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
30
【知识点】
正多边形的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握正六边形的内角、边长及对边平行的性质，结合等腰三角形、平行线的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5.已知$\odot O$的内接正六边形周长为12 cm,则这个圆的半径是
2
cm.答案
5.2
解析
【分析】
解题时先从已知的正六边形周长入手，首先根据正六边形边长相等的性质，算出单条边长；再结合圆内接正六边形的特征：正六边形的中心角为60°，连接圆心与相邻两个顶点得到的三角形是等腰三角形（两条边为圆的半径），且顶角为60°，因此该三角形为等边三角形，可推出正六边形的边长等于外接圆的半径，进而求出圆的半径。
【解析】
解：已知$\odot O$的内接正六边形周长为12 cm，
正六边形6条边长度相等，因此正六边形的边长为：$12÷6=2\ \mathrm{cm}$。
正六边形的中心角为：$\frac{360°}{6}=60°$，
设正六边形相邻两个顶点为A、B，连接OA、OB，
则OA、OB均为$\odot O$的半径，即$OA=OB$，且$∠ AOB=60°$，
因此$△ AOB$是等边三角形，可得$OA=AB=2\ \mathrm{cm}$，即圆的半径为2 cm。
【答案】
2
【知识点】
正多边形与圆；等边三角形判定；正六边形性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正六边形和其外接圆的关系，解题的关键是掌握“正六边形的边长等于其外接圆半径”这一常用结论，能够大大提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的正六边形周长入手，首先根据正六边形边长相等的性质，算出单条边长；再结合圆内接正六边形的特征：正六边形的中心角为60°，连接圆心与相邻两个顶点得到的三角形是等腰三角形（两条边为圆的半径），且顶角为60°，因此该三角形为等边三角形，可推出正六边形的边长等于外接圆的半径，进而求出圆的半径。
【解析】
解：已知$\odot O$的内接正六边形周长为12 cm，
正六边形6条边长度相等，因此正六边形的边长为：$12÷6=2\ \mathrm{cm}$。
正六边形的中心角为：$\frac{360°}{6}=60°$，
设正六边形相邻两个顶点为A、B，连接OA、OB，
则OA、OB均为$\odot O$的半径，即$OA=OB$，且$∠ AOB=60°$，
因此$△ AOB$是等边三角形，可得$OA=AB=2\ \mathrm{cm}$，即圆的半径为2 cm。
【答案】
2
【知识点】
正多边形与圆；等边三角形判定；正六边形性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正六边形和其外接圆的关系，解题的关键是掌握“正六边形的边长等于其外接圆半径”这一常用结论，能够大大提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6.如图,正五边形ABCDE中,M是CD的中点,连结AC,BE,AM.
求证:(1)$AC=BE$.
(2)$AM⊥ CD$.
求证:(1)$AC=BE$.
(2)$AM⊥ CD$.
答案
6.解:(1)证明:由正五边形 ABCDE 得$BC=AB=AE$,
$∠ABC=∠BAE,\therefore △ABC≌ △EAB,\therefore AC=BE.$
(2)证明:连结AD,易证$△ABC≌ △AED,\therefore AC=AD$,
∵M 为等腰$△ACD$ 底边 CD 的中点,$\therefore AM⊥CD.$
$∠ABC=∠BAE,\therefore △ABC≌ △EAB,\therefore AC=BE.$
(2)证明:连结AD,易证$△ABC≌ △AED,\therefore AC=AD$,
∵M 为等腰$△ACD$ 底边 CD 的中点,$\therefore AM⊥CD.$
解析
【分析】
要证明线段相等，通常可通过证明线段所在三角形全等求解；要证明线段垂直，结合已知中点条件，可考虑等腰三角形三线合一的性质推导。
(1) 证$AC=BE$：先利用正五边形各边相等、各内角相等的性质，得到$△ ABC$和$△ EAB$的对应边、对应角相等，用SAS判定两三角形全等，即可得对应边$AC=BE$。
(2) 证$AM⊥CD$：先连接$AD$，利用正五边形的性质证明$△ ABC≌△ AED$，得到$AC=AD$，即$△ ACD$为等腰三角形，再结合$M$是$CD$中点，根据等腰三角形三线合一即可得到$AM⊥CD$。
【解析】
(1) 证明：
∵五边形$ABCDE$是正五边形，
∴$AB=BC=AE$，$∠ ABC=∠ BAE$，
在$△ ABC$和$△ EAB$中：
$\begin{cases} AB=EA \\ ∠ ABC=∠ EAB \\ BC=AB \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ EAB$（SAS），
∴$AC=BE$。
(2) 证明：连接$AD$，
∵五边形$ABCDE$是正五边形，
∴$AB=AE$，$BC=DE$，$∠ ABC=∠ AED$，
∴$△ ABC≌△ AED$（SAS），
∴$AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形，
∵$M$是等腰$△ ACD$底边$CD$的中点，
∴$AM⊥CD$。
【答案】
(1) 证明：由正五边形$ABCDE$得$BC=AB=AE$，$∠ ABC=∠ BAE$，$\therefore △ ABC≌△ EAB$，$\therefore AC=BE$。
(2) 证明：连结$AD$，易证$△ ABC≌△ AED$，$\therefore AC=AD$，
∵$M$为等腰$△ ACD$底边$CD$的中点，$\therefore AM⊥CD$。
【知识点】
正多边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础证明题，重点考查正多边形性质、全等三角形的判定及等腰三角形性质的综合应用，解题关键是结合图形特征合理运用全等三角形证明线段相等，再结合等腰三角形三线合一解决垂直问题。
【难度系数】
0.7
要证明线段相等，通常可通过证明线段所在三角形全等求解；要证明线段垂直，结合已知中点条件，可考虑等腰三角形三线合一的性质推导。
(1) 证$AC=BE$：先利用正五边形各边相等、各内角相等的性质，得到$△ ABC$和$△ EAB$的对应边、对应角相等，用SAS判定两三角形全等，即可得对应边$AC=BE$。
(2) 证$AM⊥CD$：先连接$AD$，利用正五边形的性质证明$△ ABC≌△ AED$，得到$AC=AD$，即$△ ACD$为等腰三角形，再结合$M$是$CD$中点，根据等腰三角形三线合一即可得到$AM⊥CD$。
【解析】
(1) 证明：
∵五边形$ABCDE$是正五边形，
∴$AB=BC=AE$，$∠ ABC=∠ BAE$，
在$△ ABC$和$△ EAB$中：
$\begin{cases} AB=EA \\ ∠ ABC=∠ EAB \\ BC=AB \end{cases}$
∴$△ ABC≌△ EAB$（SAS），
∴$AC=BE$。
(2) 证明：连接$AD$，
∵五边形$ABCDE$是正五边形，
∴$AB=AE$，$BC=DE$，$∠ ABC=∠ AED$，
∴$△ ABC≌△ AED$（SAS），
∴$AC=AD$，即$△ ACD$是等腰三角形，
∵$M$是等腰$△ ACD$底边$CD$的中点，
∴$AM⊥CD$。
【答案】
(1) 证明：由正五边形$ABCDE$得$BC=AB=AE$，$∠ ABC=∠ BAE$，$\therefore △ ABC≌△ EAB$，$\therefore AC=BE$。
(2) 证明：连结$AD$，易证$△ ABC≌△ AED$，$\therefore AC=AD$，
∵$M$为等腰$△ ACD$底边$CD$的中点，$\therefore AM⊥CD$。
【知识点】
正多边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于几何基础证明题，重点考查正多边形性质、全等三角形的判定及等腰三角形性质的综合应用，解题关键是结合图形特征合理运用全等三角形证明线段相等，再结合等腰三角形三线合一解决垂直问题。
【难度系数】
0.7
7.边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起,则∠ABO的度数为 （
A.24°
B.48°
C.60°
D.72°
A
）A.24°
B.48°
C.60°
D.72°
答案
7.A
解析
【分析】
要求∠ABO的度数，可按以下思路推导：首先回忆正多边形内角计算公式，分别求出正六边形、正五边形的内角度数；再利用周角为360°，计算出△AOB的顶角∠AOB的度数；最后结合正五边形与正六边形边长相等，可知OA=OB，△AOB为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠ABO的度数。
【解析】
1. 计算正多边形内角：
根据正n边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$，
正六边形的内角：代入$n=6$，得$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$；
正五边形的内角：代入$n=5$，得$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
2. 求∠AOB的度数：
周角为$360°$，因此$∠ AOB=360°-120°-108°=132°$。
3. 计算∠ABO：
已知正五边形与正六边形边长相等，故$OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形，$∠ ABO=∠ OAB$。
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ABO=\frac{180°-132°}{2}=24°$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角计算；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法，结合周角、等腰三角形的性质推导角度，是正多边形相关性质的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
要求∠ABO的度数，可按以下思路推导：首先回忆正多边形内角计算公式，分别求出正六边形、正五边形的内角度数；再利用周角为360°，计算出△AOB的顶角∠AOB的度数；最后结合正五边形与正六边形边长相等，可知OA=OB，△AOB为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质即可求出∠ABO的度数。
【解析】
1. 计算正多边形内角：
根据正n边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$，
正六边形的内角：代入$n=6$，得$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$；
正五边形的内角：代入$n=5$，得$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$。
2. 求∠AOB的度数：
周角为$360°$，因此$∠ AOB=360°-120°-108°=132°$。
3. 计算∠ABO：
已知正五边形与正六边形边长相等，故$OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形，$∠ ABO=∠ OAB$。
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ABO=\frac{180°-132°}{2}=24°$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形内角计算；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法，结合周角、等腰三角形的性质推导角度，是正多边形相关性质的典型应用考题。
【难度系数】
0.7
