1.在同一平面直角坐标系中，用描点法画出下列函数的图象.
(1)$y=\frac{5}{4}x^2$.
(2)$y=-\frac{5}{4}x^2$.

解:由题意,列表如下.
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{5}{4}x^2$ | $\dots$ | $5$ | $\frac{5}{4}$ | $0$ | $\frac{5}{4}$ | $5$ | $\dots$ |
| $y=-\frac{5}{4}x^2$ | $\dots$ | $-5$ | $-\frac{5}{4}$ | $0$ | $-\frac{5}{4}$ | $-5$ | $\dots$ |
画图如下：

【分析】
要绘制这两个二次函数的图象，我们使用描点法，遵循“列表、描点、连线”三步完成：首先观察两个函数均为$y=ax^2$型二次函数，图象关于y轴对称、顶点在原点，因此列表时可选取关于原点对称的x值（如-2、-1、0、1、2），能简化y值的计算；之后将每组(x,y)对应的坐标点在坐标系中准确描出；最后用平滑曲线按自变量从小到大的顺序连接各点，即可得到两个函数的图象。
【解析】
1. 列表：选取对称的x值，分别计算两个函数对应的y值，结果如下：
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{5}{4}x^2$ | $\dots$ | $5$ | $\frac{5}{4}$ | $0$ | $\frac{5}{4}$ | $5$ | $\dots$ |
| $y=-\frac{5}{4}x^2$ | $\dots$ | $-5$ | $-\frac{5}{4}$ | $0$ | $-\frac{5}{4}$ | $-5$ | $\dots$ |
2. 描点：根据上表的坐标值，在平面直角坐标系中依次描出对应的点。
3. 连线：用平滑的曲线按x从小到大的顺序依次连接各点，最终得到两个函数的图象。
【答案】
解:由题意,列表如下.
| $x$ | $\dots$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $\dots$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=\frac{5}{4}x^2$ | $\dots$ | $5$ | $\frac{5}{4}$ | $0$ | $\frac{5}{4}$ | $5$ | $\dots$ |
| $y=-\frac{5}{4}x^2$ | $\dots$ | $-5$ | $-\frac{5}{4}$ | $0$ | $-\frac{5}{4}$ | $-5$ | $\dots$ |
画图如下：
【知识点】
1. 描点法画函数图象
2. 二次函数$y=ax^2$的图象特征
3. 二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数作图的基础题型，核心是掌握描点法的操作流程，利用$y=ax^2$的对称性选点可降低计算量，作图时需注意用平滑曲线连接各点，不能画为折线。
【难度系数】
0.8

【例2】已知点$(-2,y_1),(-2.5,y_2),(-1.5,y_3)$在函数$y=x^2$的图象上，试比较$y_1,y_2,y_3$的大小。
解：

$y_3＜y_1＜y_2$

【分析】
要比较三个函数值的大小，可利用二次函数的性质简便求解：首先回忆二次函数$y=x^2$的图象性质，其开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），在对称轴左侧（$x＜0$）时，$y$随$x$的增大而减小。题目给出的三个点横坐标均为负数，都在对称轴左侧，因此只需先比较三个横坐标的大小，再结合该区间的增减性，即可得出对应$y$值的大小关系。
【解析】
解：$\because$ 二次函数$y=x^2$中$a=1＞0$，
$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，
$\therefore$ 当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小，
又$\because$ 三个点的横坐标满足$-2.5＜-2＜-1.5＜0$，
$\therefore$ 根据增减性可得：$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，利用增减性比较函数值比直接代入计算更简便，解题时先明确抛物线的开口方向、对称轴，再判断点所在区间对应的增减规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.已知$a＞1$，且点$(a-1,y_1),(a,y_2),(a+1,y_3)$都在函数$y=-x^2$的图象上，则（）

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_3＜y_1$

C

【分析】
首先回忆二次函数$y=-x^2$的图象性质：该函数二次项系数为负，开口向下，对称轴为y轴（$x=0$），在对称轴右侧（$x＞0$时），$y$随$x$的增大而减小。接下来先根据$a＞1$判断三个点的横坐标的大小关系，以及横坐标是否都在对称轴右侧，再结合函数增减性即可比较三个$y$值的大小。
【解析】
解：对于二次函数$y=-x^2$：
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，
$\therefore$ 函数图象开口向下，对称轴为直线$x=0$（y轴），当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$a＞1$，则三个点的横坐标满足：
$a-1＞1-1=0$，且$a-1 ＜ a ＜ a+1$，即三个点都在对称轴右侧，且横坐标依次增大。
根据$x＞0$时$y$随$x$增大而减小的性质，横坐标越大，对应的函数值越小，因此$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数图象性质的应用，解题关键是先确定三个点所在的函数区间，再结合对应区间的增减性比较函数值大小，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

3.已知抛物线$y=(m-1)x^{m^2 - m}$的开口向下.
(1)求$m$的值.
(2)若点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$在该抛物线上，且$x_1＜x_2＜0$，试比较$y_1$与$y_2$的大小.

解:(1)$m$的值为$-1$.
(2)$y_1＜y_2$.

【分析】
(1) 抛物线是二次函数，首先要满足二次函数的定义：自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0；再结合开口向下的性质，可知二次项系数小于0，联立以上条件求解即可得到m的值。
(2) 先将求得的m值代入解析式，得到具体的二次函数表达式，再根据开口向下的二次函数y=ax²的增减性：当x＜0时，y随x的增大而增大，结合已知x₁＜x₂＜0的大小关系，就能比较出y₁和y₂的大小。
【解析】
(1)
∵ 函数$y=(m-1)x^{m^2 - m}$是抛物线，即该函数为二次函数
∴ 需满足：$\begin{cases}m^2 - m = 2&①\\m - 1 ≠ 0&②\\m - 1 ＜ 0&③\end{cases}$
解方程①：$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$
由不等式③得$m ＜ 1$，故$m=2$不符合条件，舍去
综上，$m=-1$
(2) 将$m=-1$代入解析式，得抛物线的表达式为$y=-2x^2$
∵ $a=-2＜0$，
∴ 抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$）
∴ 当$x＜0$时，y随x的增大而增大
又
∵ $x_1 ＜ x_2 ＜ 0$，
∴ $y_1 ＜ y_2$
【答案】
(1) $m=-1$；(2) $y_1 ＜ y_2$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数y=ax²的图象与性质
【点评】
本题主要考查二次函数的定义和增减性的应用，解题时要注意二次项系数不为0是二次函数的隐含条件，结合开口方向判断函数在对应区间的增减性即可解题，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

【例3】已知抛物线 $ y = ax^2 $ 经过点 $ A(-2, -8) $.
(1)求此抛物线对应的函数解析式.
(2)判断点 $ B(-1, -4) $ 是否在此抛物线上.
(3)求出抛物线上纵坐标为－18 的点的坐标.
|思路分析| 铺路设桥
思考1:求该抛物线对应的函数解析式需先求出 的值.
思考2:判断某一点是否在该抛物线上,可直接将该点的坐标 函数解析式进行验证.
解:
【规律方法】
求二次函数 $ y = ax^2 $ 的解析式的方法
(1)设出函数解析式 $ y = ax^2 $ (若题目中已知,则直接应用).
(2)把已知点的坐标代入函数解析式,求出字母的值.
(3)把字母的值代入解析式中,得出函数解析式.

解:(1)$y=-2x^2$.
(2)点$B(-1,-4)$不在抛物线$y=-2x^2$上.
(3)$(3,-18)$或$(-3,-18)$.

【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的基础应用展开，解题思路如下：
1. 求函数解析式：解析式中仅有未知系数$a$，将已知点$A$的坐标代入解析式即可求出$a$的值，进而得到完整解析式（对应思考1：需先求出$a$的值）；
2. 判断点是否在抛物线上：将点的坐标代入函数解析式，若坐标满足解析式则点在抛物线上，反之不在（对应思考2：将点的坐标代入函数解析式验证）；
3. 已知纵坐标求点的坐标：将给定的纵坐标代入解析式，解关于$x$的方程即可得到对应的横坐标，进而得到点的坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-2,-8)$代入$y=ax^2$中，得：
$-8 = a×(-2)^2$
即$4a = -8$，解得$a=-2$
因此抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$。
(2) 将点$B$的横坐标$x=-1$代入$y=-2x^2$，得：
$y=-2×(-1)^2=-2$
$\because -2 ≠ -4$，即计算得到的纵坐标与点$B$的纵坐标不相等
$\therefore$点$B(-1,-4)$不在此抛物线上。
(3) 令抛物线上点的纵坐标$y=-18$，代入$y=-2x^2$得：
$-18 = -2x^2$
化简得$x^2=9$，解得$x=3$或$x=-3$
因此纵坐标为$-18$的点的坐标为$(3,-18)$或$(-3,-18)$。
【答案】
(1)$y=-2x^2$
(2)点$B(-1,-4)$不在抛物线$y=-2x^2$上
(3)$(3,-18)$或$(-3,-18)$
【知识点】
待定系数法求解析式；点与函数图象的判定；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查代入法在二次函数中的应用，解题逻辑清晰，掌握代入求系数、代入验证点位置、代入解方程求坐标的方法即可顺利解答，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.9