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4.如图,点$A(-2,1),B(4,m)$在函数$y=ax^2$的图象上.直线AB与y轴交于点C.
(1)$a=$
(2)求直线AB对应的函数解析式.
(3)当$-2＜x＜4$时,求$y$的取值范围.
(1)$a=$
$\frac{1}{4}$
,$m=$$4$
.(2)求直线AB对应的函数解析式.
(3)当$-2＜x＜4$时,求$y$的取值范围.
答案
解:(1)$\frac{1}{4}$，$4$
(2)直线$AB$对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$.
(3)$0≤ y＜4$.
(2)直线$AB$对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$.
(3)$0≤ y＜4$.
解析
【分析】
(1) 已知点A在二次函数$y=ax^2$的图象上，将点A坐标代入解析式即可求出参数a的值；得到a后，再将点B的横坐标代入二次函数解析式，即可求出m的值。
(2) 求直线AB的函数解析式，采用待定系数法：先设出一次函数的一般形式，再将A、B两点的坐标代入，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数的系数，进而得到解析式。
(3) 求$-2＜x＜4$时二次函数y的取值范围，先根据二次函数的开口方向、对称轴找到区间内的最小值，再比较区间两端点对应的函数值，确定y的最大值范围，最终得到y的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(-2,1)$代入$y=ax^2$得：
$1=a×(-2)^2$，即$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$。
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{4}x^2$，将点$B(4,m)$代入得：
$m=\frac{1}{4}×4^2=4$。
(2) 设直线AB对应的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-2,1)$、$B(4,4)$代入得：
$\begin{cases}-2k+b=1\\4k+b=4\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$6k=3$，解得$k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入$-2k+b=1$得：$-1+b=1$，解得$b=2$。
因此直线AB的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(3) 对于二次函数$y=\frac{1}{4}x^2$，$\because a=\frac{1}{4}＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
当$x=0$时，y取得最小值$0$；
在区间$-2＜x＜4$内，x离对称轴越远函数值越大，$x=4$时$y=4$，$x=-2$时$y=1$，因此区间内y的最大值小于$4$。
综上，y的取值范围为$0≤y＜4$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$，$4$
(2)$y=\frac{1}{2}x+2$
(3)$0≤ y＜4$
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.待定系数法求一次函数解析式
3.二次函数的增减性
【点评】
本题是函数基础综合题，核心考查待定系数法求函数解析式、二次函数的基本性质，解题时要注意结合函数图象分析取值范围，避免忽略顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点A在二次函数$y=ax^2$的图象上，将点A坐标代入解析式即可求出参数a的值；得到a后，再将点B的横坐标代入二次函数解析式，即可求出m的值。
(2) 求直线AB的函数解析式，采用待定系数法：先设出一次函数的一般形式，再将A、B两点的坐标代入，得到关于系数的二元一次方程组，解方程组即可得到一次函数的系数，进而得到解析式。
(3) 求$-2＜x＜4$时二次函数y的取值范围，先根据二次函数的开口方向、对称轴找到区间内的最小值，再比较区间两端点对应的函数值，确定y的最大值范围，最终得到y的取值范围。
【解析】
(1) 将点$A(-2,1)$代入$y=ax^2$得：
$1=a×(-2)^2$，即$4a=1$，解得$a=\frac{1}{4}$。
因此二次函数解析式为$y=\frac{1}{4}x^2$，将点$B(4,m)$代入得：
$m=\frac{1}{4}×4^2=4$。
(2) 设直线AB对应的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-2,1)$、$B(4,4)$代入得：
$\begin{cases}-2k+b=1\\4k+b=4\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程得：$6k=3$，解得$k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入$-2k+b=1$得：$-1+b=1$，解得$b=2$。
因此直线AB的解析式为$y=\frac{1}{2}x+2$。
(3) 对于二次函数$y=\frac{1}{4}x^2$，$\because a=\frac{1}{4}＞0$，$\therefore$ 抛物线开口向上，对称轴为y轴（$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
当$x=0$时，y取得最小值$0$；
在区间$-2＜x＜4$内，x离对称轴越远函数值越大，$x=4$时$y=4$，$x=-2$时$y=1$，因此区间内y的最大值小于$4$。
综上，y的取值范围为$0≤y＜4$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$，$4$
(2)$y=\frac{1}{2}x+2$
(3)$0≤ y＜4$
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.待定系数法求一次函数解析式
3.二次函数的增减性
【点评】
本题是函数基础综合题，核心考查待定系数法求函数解析式、二次函数的基本性质，解题时要注意结合函数图象分析取值范围，避免忽略顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
1.在同一平面直角坐标系中，二次函数$y=-3x^2$，$y=\frac{1}{3}x^2$，$y=3x^2$的图象的共同点是（
A.关于y轴对称，开口向上
B.关于y轴对称，当$x＜0$时，y随x的增大而减小
C.关于y轴对称，最高点是原点
D.关于y轴对称，顶点坐标是$(0,0)$
D
）A.关于y轴对称，开口向上
B.关于y轴对称，当$x＜0$时，y随x的增大而减小
C.关于y轴对称，最高点是原点
D.关于y轴对称，顶点坐标是$(0,0)$
答案
D
解析
【分析】
要解决本题，首先需掌握二次函数$y=ax^2$的图象性质：这类函数的对称轴均为y轴，顶点坐标为$(0,0)$；开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，顶点是最低点，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大；$a＜0$时开口向下，顶点是最高点，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小。我们可结合三个函数的$a$的取值，逐一验证选项，找到三个函数均满足的共同性质。
【解析】
三个函数均为$y=ax^2(a≠0)$的形式，因此共性为：都关于y轴对称，顶点坐标均为$(0,0)$；个性为：$y=-3x^2$中$a=-3＜0$，开口向下，顶点是最高点，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大；$y=\frac{1}{3}x^2$、$y=3x^2$中$a＞0$，开口向上，顶点是最低点，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小。
逐一判断选项：
A选项：$y=-3x^2$开口向下，不是所有函数都开口向上，故A错误；
B选项：$y=-3x^2$当$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，不满足该描述，故B错误；
C选项：$y=\frac{1}{3}x^2$、$y=3x^2$开口向上，原点是最低点，没有最高点，故C错误；
D选项：三个函数均关于y轴对称，顶点坐标都是$(0,0)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数的顶点坐标
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查$y=ax^2$型二次函数的性质，解题关键是区分$a$的正负对开口方向、增减性、最值的影响，牢记该类函数的共性和个性即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需掌握二次函数$y=ax^2$的图象性质：这类函数的对称轴均为y轴，顶点坐标为$(0,0)$；开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，顶点是最低点，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小，$x＞0$时$y$随$x$增大而增大；$a＜0$时开口向下，顶点是最高点，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，$x＞0$时$y$随$x$增大而减小。我们可结合三个函数的$a$的取值，逐一验证选项，找到三个函数均满足的共同性质。
【解析】
三个函数均为$y=ax^2(a≠0)$的形式，因此共性为：都关于y轴对称，顶点坐标均为$(0,0)$；个性为：$y=-3x^2$中$a=-3＜0$，开口向下，顶点是最高点，$x＜0$时$y$随$x$增大而增大；$y=\frac{1}{3}x^2$、$y=3x^2$中$a＞0$，开口向上，顶点是最低点，$x＜0$时$y$随$x$增大而减小。
逐一判断选项：
A选项：$y=-3x^2$开口向下，不是所有函数都开口向上，故A错误；
B选项：$y=-3x^2$当$x＜0$时$y$随$x$增大而增大，不满足该描述，故B错误；
C选项：$y=\frac{1}{3}x^2$、$y=3x^2$开口向上，原点是最低点，没有最高点，故C错误；
D选项：三个函数均关于y轴对称，顶点坐标都是$(0,0)$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数的顶点坐标
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查$y=ax^2$型二次函数的性质，解题关键是区分$a$的正负对开口方向、增减性、最值的影响，牢记该类函数的共性和个性即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
2.对于二次函数$y=mx^{m^2+1}$，当$x＜0$时，y随x的增大而增大，则（
A.$m=\pm1$
B.$m=1$
C.$m=-1$
D.$m≠0$
C
）A.$m=\pm1$
B.$m=1$
C.$m=-1$
D.$m≠0$
答案
C
解析
【分析】
解决本题需分两步推导：第一步先依据二次函数的定义确定m的可取值范围：二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此先求出m的可能值；第二步结合题目给出的增减性条件判断m的符号：对于y=ax²型的二次函数，x＜0时y随x增大而增大说明开口向下，即二次项系数为负，即可筛选出正确的m值。
【解析】
首先根据二次函数的定义列条件：
1. 自变量x的最高次数为2：$m^2+1=2$，解得$m^2=1$，即$m=\pm1$；
2. 二次项系数不为0：$m≠0$，因此$m=\pm1$均满足该条件。
再结合增减性判断m的符号：
对于二次函数$y=mx^2$，对称轴为y轴：
若$m＞0$，抛物线开口向上，$x＜0$时y随x的增大而减小，不符合题中“x＜0时y随x的增大而增大”的要求；
若$m＜0$，抛物线开口向下，$x＜0$时y随x的增大而增大，符合题意，因此$m=-1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数的基础考察题，解题时要注意同时兼顾二次函数的定义限制和图象性质要求，避免只满足次数要求忽略系数符号而出错。
【难度系数】
0.7
解决本题需分两步推导：第一步先依据二次函数的定义确定m的可取值范围：二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此先求出m的可能值；第二步结合题目给出的增减性条件判断m的符号：对于y=ax²型的二次函数，x＜0时y随x增大而增大说明开口向下，即二次项系数为负，即可筛选出正确的m值。
【解析】
首先根据二次函数的定义列条件：
1. 自变量x的最高次数为2：$m^2+1=2$，解得$m^2=1$，即$m=\pm1$；
2. 二次项系数不为0：$m≠0$，因此$m=\pm1$均满足该条件。
再结合增减性判断m的符号：
对于二次函数$y=mx^2$，对称轴为y轴：
若$m＞0$，抛物线开口向上，$x＜0$时y随x的增大而减小，不符合题中“x＜0时y随x的增大而增大”的要求；
若$m＜0$，抛物线开口向下，$x＜0$时y随x的增大而增大，符合题意，因此$m=-1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题属于二次函数的基础考察题，解题时要注意同时兼顾二次函数的定义限制和图象性质要求，避免只满足次数要求忽略系数符号而出错。
【难度系数】
0.7
3.抛物线 $ C_1: y = 5x^2, C_2: y = ax^2, C_3: y = \frac{3}{2}x^2 $ 
。若a的值为整数，则a的值为
。若a的值为整数，则a的值为2或3或4
。答案
2或3或4
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握二次函数$y=ax^2$（$a＞0$）的图像性质：$a$越大，抛物线开口越窄，当$x＞0$时，相同横坐标对应的纵坐标值越大。观察图像可知三条抛物线开口均向上，开口宽度$C_1＜C_2＜C_3$，因此二次项系数满足$\frac{3}{2}＜a＜5$，再结合$a$为整数的条件，即可求出符合要求的$a$的值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$（$a＞0$），$a$的大小决定抛物线的开口宽窄：$a$越大，抛物线开口越窄，在$x＞0$时，相同$x$对应的$y$值越大。
由图像可得，三条抛物线的开口宽窄关系为：$C_1＜C_2＜C_3$，因此它们的二次项系数满足：
$\frac{3}{2} ＜ a ＜5$
已知$a$为整数，因此$a$的可能取值为2、3、4。
【答案】
2或3或4
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；不等式的整数解
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的关系，解题关键是牢记$a＞0$时$a$的大小和开口宽窄的对应规律，结合图像判断出$a$的取值范围即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是掌握二次函数$y=ax^2$（$a＞0$）的图像性质：$a$越大，抛物线开口越窄，当$x＞0$时，相同横坐标对应的纵坐标值越大。观察图像可知三条抛物线开口均向上，开口宽度$C_1＜C_2＜C_3$，因此二次项系数满足$\frac{3}{2}＜a＜5$，再结合$a$为整数的条件，即可求出符合要求的$a$的值。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$（$a＞0$），$a$的大小决定抛物线的开口宽窄：$a$越大，抛物线开口越窄，在$x＞0$时，相同$x$对应的$y$值越大。
由图像可得，三条抛物线的开口宽窄关系为：$C_1＜C_2＜C_3$，因此它们的二次项系数满足：
$\frac{3}{2} ＜ a ＜5$
已知$a$为整数，因此$a$的可能取值为2、3、4。
【答案】
2或3或4
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；不等式的整数解
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的关系，解题关键是牢记$a＞0$时$a$的大小和开口宽窄的对应规律，结合图像判断出$a$的取值范围即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.已知抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$A(-2,-8)$。
(1)求此抛物线对应的函数解析式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(2)判断点$B(-1,-6),C(2,-8)$是否在此抛物线上。
(1)求此抛物线对应的函数解析式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(2)判断点$B(-1,-6),C(2,-8)$是否在此抛物线上。
答案
解:(1)抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$,开口向下,对称轴是$y$轴,顶点坐标是$(0,0)$.
(2)因为$-2×(-1)^2=2≠-6$,$-2×2^2=-8$,所以点$B$不在此抛物线上,点$C$在此抛物线上.
(2)因为$-2×(-1)^2=2≠-6$,$-2×2^2=-8$,所以点$B$不在此抛物线上,点$C$在此抛物线上.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线解析式为$y=ax^2$，仅含1个未知系数$a$，且已知抛物线过点$A$，因此用待定系数法，将点$A$的横、纵坐标代入解析式即可求出$a$的值，得到函数解析式；再根据$a$的正负判断开口方向，结合$y=ax^2$的固有性质直接写出对称轴和顶点坐标即可。
(2) 判断点是否在抛物线上的通用方法为：将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，若计算结果与点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。
【解析】
(1) 把点$A(-2,-8)$代入$y=ax^2$，可得：
$\quad -8 = a× (-2)^2$
即$4a=-8$，解得$a=-2$，因此抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$。
$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下。
形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
(2) ① 判定点$B(-1,-6)$：
将$x=-1$代入$y=-2x^2$，得$y=-2× (-1)^2=-2$，
$\because -2≠ -6$，$\therefore$ 点$B$不在此抛物线上。
② 判定点$C(2,-8)$：
将$x=2$代入$y=-2x^2$，得$y=-2× 2^2=-8$，
$\because -8=-8$，$\therefore$ 点$C$在此抛物线上。
【答案】
(1) 函数解析式为$y=-2x^2$，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是$(0,0)$；
(2) 点$B$不在此抛物线上，点$C$在此抛物线上。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数$y=ax^2$的性质，点在函数图象上的判定
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查$y=ax^2$的基本性质与代入验证法的应用，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线解析式为$y=ax^2$，仅含1个未知系数$a$，且已知抛物线过点$A$，因此用待定系数法，将点$A$的横、纵坐标代入解析式即可求出$a$的值，得到函数解析式；再根据$a$的正负判断开口方向，结合$y=ax^2$的固有性质直接写出对称轴和顶点坐标即可。
(2) 判断点是否在抛物线上的通用方法为：将点的横坐标代入函数解析式，计算对应的函数值，若计算结果与点的纵坐标相等，则点在抛物线上，反之则不在。
【解析】
(1) 把点$A(-2,-8)$代入$y=ax^2$，可得：
$\quad -8 = a× (-2)^2$
即$4a=-8$，解得$a=-2$，因此抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2$。
$\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下。
形如$y=ax^2$的二次函数，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$。
(2) ① 判定点$B(-1,-6)$：
将$x=-1$代入$y=-2x^2$，得$y=-2× (-1)^2=-2$，
$\because -2≠ -6$，$\therefore$ 点$B$不在此抛物线上。
② 判定点$C(2,-8)$：
将$x=2$代入$y=-2x^2$，得$y=-2× 2^2=-8$，
$\because -8=-8$，$\therefore$ 点$C$在此抛物线上。
【答案】
(1) 函数解析式为$y=-2x^2$，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是$(0,0)$；
(2) 点$B$不在此抛物线上，点$C$在此抛物线上。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数$y=ax^2$的性质，点在函数图象上的判定
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查$y=ax^2$的基本性质与代入验证法的应用，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
