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1.抛物线:二次函数 $ y=ax^2+bx+c $ 的图象是一条曲线,这条曲线叫作抛物线.
2.二次函数 $ y=ax^2 $ 的图象和性质
| 函数 | $ y=ax^2(a＞0) $ | $ y=ax^2(a＜0) $ |
| --- | --- | --- |
| 图象 |
| |
| 开口方向 | | |
| 对称轴 | | |
| 顶点坐标 | | |
续表
| 函数 | $ y=ax^2(a＞0) $ | $ y=ax^2(a＜0) $ |
| --- | --- | --- |
| 增减性 | 当 $ x＞0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而;当 $ x＜0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而 | 当 $ x＞0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而;当 $ x＜0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而 |
| 最值 | 当 $ x=0 $ 时,函数取得最小值, $ y_{\mathrm{最小值}}= $ | 当 $ x=0 $ 时,函数取得最大值, $ y_{\mathrm{最大值}}= $ |
3. $ |a| $ 决定抛物线 $ y=ax^2 $ 的开口大小, $ |a| $ 越大,抛物线的开口; $ |a| $ 越小,抛物线的开口.
2.二次函数 $ y=ax^2 $ 的图象和性质
| 函数 | $ y=ax^2(a＞0) $ | $ y=ax^2(a＜0) $ |
| --- | --- | --- |
| 图象 |
| || 开口方向 | | |
| 对称轴 | | |
| 顶点坐标 | | |
续表
| 函数 | $ y=ax^2(a＞0) $ | $ y=ax^2(a＜0) $ |
| --- | --- | --- |
| 增减性 | 当 $ x＞0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而;当 $ x＜0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而 | 当 $ x＞0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而;当 $ x＜0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而 |
| 最值 | 当 $ x=0 $ 时,函数取得最小值, $ y_{\mathrm{最小值}}= $ | 当 $ x=0 $ 时,函数取得最大值, $ y_{\mathrm{最大值}}= $ |
3. $ |a| $ 决定抛物线 $ y=ax^2 $ 的开口大小, $ |a| $ 越大,抛物线的开口; $ |a| $ 越小,抛物线的开口.
答案
2.开口方向：向上、向下；对称轴：y轴、y轴；顶点坐标：(0,0)、(0,0)；增减性：增大、减小、减小、增大；最值：0、0
3.越小、越大
3.越小、越大
解析
【分析】
解题时可以结合二次函数$y=ax^2$的图象特征逐步推导性质：1. 先看二次项系数$a$的符号：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 由于$y=ax^2$没有一次项和常数项，图象关于y轴对称，顶点在坐标原点；3. 结合开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴右侧（$x＞0$）y随x增大而增大，左侧（$x＜0$）y随x增大而减小，开口向下时增减性规律相反；4. 顶点处为函数的最值点，$x=0$时$y=0$，因此两类函数的最值均为0；5. 最后记忆$|a|$对开口大小的影响：$|a|$越大开口越窄，$|a|$越小开口越宽。
【解析】
2. 开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；
对称轴：两种形式的$y=ax^2$对称轴均为y轴；
顶点坐标：两种形式的$y=ax^2$顶点均为坐标原点$(0,0)$；
增减性：$a＞0$时，当$x＞0$，y随x的增大而增大，当$x＜0$，y随x的增大而减小；$a＜0$时，当$x＞0$，y随x的增大而减小，当$x＜0$，y随x的增大而增大；
最值：$a＞0$时$x=0$处y取最小值0；$a＜0$时$x=0$处y取最大值0；
3. $|a|$越大，抛物线开口越小；$|a|$越小，抛物线开口越大。
【答案】
2.开口方向：向上、向下；对称轴：y轴、y轴；顶点坐标：(0,0)、(0,0)；增减性：增大、减小、减小、增大；最值：0、0
3.越小、越大
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 抛物线开口的影响因素
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的识记考查题，需要熟练掌握$a$的符号、$|a|$的大小对抛物线图象和性质的影响，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9
解题时可以结合二次函数$y=ax^2$的图象特征逐步推导性质：1. 先看二次项系数$a$的符号：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 由于$y=ax^2$没有一次项和常数项，图象关于y轴对称，顶点在坐标原点；3. 结合开口方向判断增减性：开口向上时，对称轴右侧（$x＞0$）y随x增大而增大，左侧（$x＜0$）y随x增大而减小，开口向下时增减性规律相反；4. 顶点处为函数的最值点，$x=0$时$y=0$，因此两类函数的最值均为0；5. 最后记忆$|a|$对开口大小的影响：$|a|$越大开口越窄，$|a|$越小开口越宽。
【解析】
2. 开口方向：$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；
对称轴：两种形式的$y=ax^2$对称轴均为y轴；
顶点坐标：两种形式的$y=ax^2$顶点均为坐标原点$(0,0)$；
增减性：$a＞0$时，当$x＞0$，y随x的增大而增大，当$x＜0$，y随x的增大而减小；$a＜0$时，当$x＞0$，y随x的增大而减小，当$x＜0$，y随x的增大而增大；
最值：$a＞0$时$x=0$处y取最小值0；$a＜0$时$x=0$处y取最大值0；
3. $|a|$越大，抛物线开口越小；$|a|$越小，抛物线开口越大。
【答案】
2.开口方向：向上、向下；对称轴：y轴、y轴；顶点坐标：(0,0)、(0,0)；增减性：增大、减小、减小、增大；最值：0、0
3.越小、越大
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 抛物线开口的影响因素
3. 二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的识记考查题，需要熟练掌握$a$的符号、$|a|$的大小对抛物线图象和性质的影响，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象经过点 $ P(2,4) $，则该图象必经过点 （
A. $ (-2,-4) $
B. $ (-2,4) $
C. $ (-4,2) $
D. $ (4,-2) $
【规律方法】
1.判断点是否在二次函数的图象上，主要是把点的坐标代入解析式，等式成立，则该点在图象上，不成立，则不在图象上。
2.描点法画二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象的步骤
(1)列表:让 $ x $ 取一些代表性的值(正数、负数或0)，求出对应的 $ y $ 值，列出表格。
(2)描点:在平面直角坐标系内，以自变量 $ x $ 的取值为横坐标，以相应的函数值 $ y $ 为纵坐标，描出相应的点。
(3)连线:用一条平滑曲线顺次连接各点，得到对应的函数 $ y = ax^2 $ 的图象。
B
）A. $ (-2,-4) $
B. $ (-2,4) $
C. $ (-4,2) $
D. $ (4,-2) $
【规律方法】
1.判断点是否在二次函数的图象上，主要是把点的坐标代入解析式，等式成立，则该点在图象上，不成立，则不在图象上。
2.描点法画二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象的步骤
(1)列表:让 $ x $ 取一些代表性的值(正数、负数或0)，求出对应的 $ y $ 值，列出表格。
(2)描点:在平面直角坐标系内，以自变量 $ x $ 的取值为横坐标，以相应的函数值 $ y $ 为纵坐标，描出相应的点。
(3)连线:用一条平滑曲线顺次连接各点，得到对应的函数 $ y = ax^2 $ 的图象。
答案
B
解析
【分析】
解题有两种思路：思路一，先将已知点P的坐标代入二次函数解析式，求出参数a的值，得到完整的函数解析式，再将各选项的点坐标代入解析式，若等式成立则该点在函数图象上；思路二，利用二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称的性质，图象上横坐标互为相反数的点纵坐标相等，直接找到已知点关于y轴的对称点即可。
【解析】
方法一：先求解析式再验证
将点$P(2,4)$代入$y=ax^2$，得：
$4=a×2^2$
解得$a=1$，即二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，故该点不在图象上；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$，等式成立，故该点在图象上；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，故该点不在图象上；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，故该点不在图象上。
方法二：利用对称性求解
二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴，因此若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上。
已知图象过点$P(2,4)$，则其对称点$(-2,4)$也必在图象上。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过代入求值的常规方法求解，也可以利用函数对称性快速得到答案，要求熟练掌握二次函数的基本性质和图象上点的坐标规律。
【难度系数】
0.9
解题有两种思路：思路一，先将已知点P的坐标代入二次函数解析式，求出参数a的值，得到完整的函数解析式，再将各选项的点坐标代入解析式，若等式成立则该点在函数图象上；思路二，利用二次函数$y=ax^2$的图象关于y轴对称的性质，图象上横坐标互为相反数的点纵坐标相等，直接找到已知点关于y轴的对称点即可。
【解析】
方法一：先求解析式再验证
将点$P(2,4)$代入$y=ax^2$，得：
$4=a×2^2$
解得$a=1$，即二次函数解析式为$y=x^2$。
逐一验证选项：
A. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4≠-4$，故该点不在图象上；
B. 当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4$，等式成立，故该点在图象上；
C. 当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16≠2$，故该点不在图象上；
D. 当$x=4$时，$y=4^2=16≠-2$，故该点不在图象上。
方法二：利用对称性求解
二次函数$y=ax^2$的图象对称轴为y轴，因此若点$(x,y)$在图象上，则其关于y轴的对称点$(-x,y)$也一定在图象上。
已知图象过点$P(2,4)$，则其对称点$(-2,4)$也必在图象上。
【答案】
B
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础题型，既可以通过代入求值的常规方法求解，也可以利用函数对称性快速得到答案，要求熟练掌握二次函数的基本性质和图象上点的坐标规律。
【难度系数】
0.9
